江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題八 附加題 第4講 幾何證明選講、不等式選講課件.ppt

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1、第4講 幾何證明選講、不等式選講,專題八 附加題,板塊三 專題突破核心考點,,[考情考向分析],1.考查三角形及相似三角形的判定與性質；圓的相交弦定理，切割線定理； 圓內接四邊形的性質與判定，屬B級要求. 2.考查含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質求最值以及幾個重要不等式的應用，屬B級要求.,,,熱點分類突破,真題押題精練,內容索引,熱點分類突破,,熱點一 三角形相似的判定及應用,證明,例1 (2018徐州模擬)如圖，AB是圓O的直徑，弦BD, CA的延長線相交于點E, EF垂直BA的延長線于點F.,求證：AB2＝BEBD－AEAC.,所以BDBE＝BABF.,證明 連

2、結AD，BC，因為AB為圓O的直徑，所以AD⊥BD，又EF⊥AB，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓，,所以BEBD－AEAC＝BABF－ABAF＝AB(BF－AF)＝AB2.,,在證明線段的乘積相等時，通常用三角形相似或圓的切割線定理.同時，要注意等量的代換.,證明,跟蹤演練1 如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.,證明 連結OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，,所以∠ADO＝∠ACB＝90. 又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.,又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.,,熱點二 圓有關定理、性質的應用,證明,例2 (

3、2018江蘇南京師大附中模擬)在△ABC中，已知AC＝ AB，CM是∠ACB的角平分線，△AMC的外接圓交BC邊于點N，求證：BN＝2AM.,證明 如圖，在△ABC中，因為CM是∠ACB的角平分線，,因為BA與BC是圓O過同一點B的弦，,所以BN＝2AM.,本題使用三角形內角平分線定理和圓的切割線定理，靈活進行等量代換，較好體現(xiàn)了化歸和轉化的數(shù)學思想.,,證明,跟蹤演練2 (1)(2018南通、徐州、揚州等六市模擬)如圖，A，B，C是⊙O上的3個不同的點，半徑OA交弦BC于點D.求證：DBDC＋OD2＝OA2.,證明 如圖，延長AO交⊙O于點E，,則DBDC＝DEDA＝(OD＋OE)(OA－O

4、D). ∵OE＝OA， ∴DBDC＝(OA＋OD)(OA－OD)＝OA2－OD2. ∴DBDC＋OD2＝OA2.,證明,(2)(2018江蘇鹽城中學模擬)如圖，過點A的圓與BC切于點D，且與AB，AC分別交于點E，F(xiàn).已知AD為∠BAC的平分線.,求證：EF∥BC.,證明 如圖，連結ED.,因為圓與BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD. 因為AD平分∠BAC.所以∠BAD＝∠DAC. 又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF. 所以EF∥BC.,,熱點三 不等式的證明,證明,證明 ∵a, b, c為正實數(shù)，,(當且僅當a＝b＝c時取“＝”). 故原式成立.,證明,(2)已知x＞0，y＞0，證

5、明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.,證明 因為x＞0，y＞0，,當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立.,,證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等；依據(jù)不等式的結構特征，也可以直接使用柯西不等式進行證明.,證明,跟蹤演練3 已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.,證明 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因為a≥b＞0， 所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a

6、2b.,,熱點四 柯西不等式,證明,＝(a＋b＋c＋d)2＝1，,又(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)＝5，,解答,因為a＋b＋c＝1，,,利用柯西不等式證明不等式或求最值時，要先根據(jù)柯西不等式的結構特征對式子變形，使之與柯西不等式有相似的結構.,解答,解 由柯西不等式得，,＝(x＋y＋z)2 ＝16，,真題押題精練,證明,1.(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點，過P作圓O的切線，切點為C.若PC＝ ，求BC的長.,證明 如圖，連結OC.,因為PC與圓O相切， 所以OC⊥PC.,又因為OB＝2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點， 所以BC＝

7、2.,證明,2.(2018江蘇)若x，y，z為實數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.,證明 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2. 因為x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，,所以x2＋y2＋z2的最小值為4.,3.(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足.,求證：(1)∠PAC＝∠CAB；,證明 因為PC切半圓O于點C， 所以∠PCA＝∠CBA， 因為AB為半圓O的直徑，所以∠ACB＝90， 因為AP⊥PC，所以∠APC＝90. 因此∠PAC＝∠CAB.,證明,證明,(2)AC2＝APAB.,即AC2＝APAB.,證明,4.(2017江蘇)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8.,證明 由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8.,