第20題 正方體涂漆

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1、第20題　正方體涂漆 由n３(n=2,3，…）個單位正方體可以組成一個體積為n×ｎ×n的正方體(如圖２０—1，由53個單位正方體組成一個體積為５×5×5的正方體），將它的表面涂漆后，再把它分解成原來的單位正方體。問有多少個單位正方體三面涂漆?有多少個兩面涂漆？有多少個一面涂漆？有多少個沒有涂漆？ 分析:我們可以通過觀察n=2，3，4,5，6…的特例,編排數表，尋找模式。 從表20—1可以發(fā)現，對任一個ｎ(n=２，3,4，…)，３面涂漆的單位正方體的個數都是8,而且這8個單位正方體恰好位于n×n×ｎ的正方體的頂點處。進一步觀察,又將發(fā)現，2面涂漆的單位正方體都位于大正方

2、體的12條棱處。對于n=3，每條棱上恰有1個，所以共有１2個；對于ｎ=4，每條棱上恰有2個,所以共有2×1２＝24個……同樣，１面涂漆的單位正方體都位于大正方體的6個面上,而不在大正方體表面的單位正方體都沒有涂漆。由以上規(guī)律，我們將很容易給出問題的解. 　　解:因為只有在n×n×ｎ的正方體的8個頂點處的單位正方體才是３面涂漆的，所以共有８個單位正方體3面涂漆。因為只有在n×n×n的正方體的12條棱處且不在頂點處的單位正方體才是２面涂漆的,所以共有１2（n—2）個單位正方體２面涂漆.同樣,１面涂漆的單位正方體都位于ｎ×ｎ×n的正方體的６個面上且不在12條棱處,所以共有6(n—2）2 個單位正方

3、體1面涂漆.余下的(n—2)3個單位正方體都沒有涂漆。 　 回顧：觀察n=2,3，4，…時，3面涂漆的單位正方體的個數所組成的數列（表20-１的第3列)，2面涂漆的單位正方體的個數所組成的數列（表20—１的第4列)，1面涂漆的單位正方體的個數所組成的數列(表20－１的第5列)，0面涂漆的單位正方體的個數所組成的數列（表20—1的第6列），我們發(fā)現，第1個數列８，8,8，８，8…是一個常數列，而第2個數列0,１2，２4,３6，4８,…有什么性質呢？如果我們把這數列的每一項去減它右邊的項。 0—1２—24-３６-４8… ↓ ↓　↓　↓ 　 12 12 12 １2… 　就得到一個

4、新的數列12,12，1２，12…，它也是一個常數列。 如果我們把第3個數列０，6,24，5４，96，…的每一項去減它右邊的項, 0—６—24—54—９6… 　 ↓ ↓ ↓ ↓ 　6 18 3０ 4２… 得到一個新的數列6，18,30,4２,…,再把這數列的每一項去減它右邊的項，再次得到一個常數列１２,12,12，…. 給定一個數列｛ａn｝={a0，a1，a2，…,ａn,…｝,我們把 bｎ＝ａn+1—an 叫做數列｛an｝的差分,把數列｛ｂn｝=｛a1—ａ0，ａ2-a１,…，ａn—aｎ-1，…｝叫做｛ａn｝的一階差分數列，把數列｛bｎ}的一階差分數列{b2-b1，

5、b3-ｂ２,…，ｂn＋1-ｂn，…｝叫做{ａn｝的二階差分數列，再把{ａn｝的二階差分數列的一階差分數列叫做{ａｎ｝的三階差分數列,依次類推. 　 有了差分數列的概念后，再看上述問題所得到的4個數列，就會發(fā)現這樣的規(guī)律： 第2個數列0，12，24，36，48，…,１2(n-2),…的一階差分數列 １2，1２，12，１２，… 是非零的常數列，它的通項12(n-2)為ｎ的1次多項式；第3個數列 0,　6，　24， 54， 9６，…， 6(n-2）２,… 的二階差分數列也是非零的常數列,它的通項6（n—２)2為n的２次多項式； 　　對于第4個數列 0， 1， ８， 27,　64，

6、 125， 21６,…,(n—2)3　，…, 它的通項(ｎ-2）3為ｎ的3次多項式,那么是否它的三階差分數是一個非零的常數列呢？ 　　可以看到，第4個數列的三階差分數列是一個非零的常數列. 　　一般地，數列{ａｎ}的k階差分數列為非零的常數列的充要條件是它的通項aｎ為n的ｋ次多項式. 　 利用上述結果,我們可以從一個數列的前若干項來猜測它的通項。因為數列｛ａn｝的通項an不一定是ｎ的k次多項式，而用計算差分所猜測的通項只能是n的多項式,所以對猜測的結果必須加以證明。例如，我們從上述的第４個數列的前７項 0，1,8，２7,6４,125，２1６， 　　發(fā)現它的三階差分數列是一個

7、非零常數列6，６，6，6。于是,我們立即可以猜測它的通項是n的３次多項式，設為 aｎ=an３+bn２+cn＋d 　這樣就可以用待定系數法求出a,b,c,d,因為 　ａ2＝２3·a＋22·b＋2c+d=0 　 a3=33·a+32·b+3c+ｄ=1 　 ａ4=43·a＋42·ｂ＋4c＋d＝8 　 ａ5＝５3·ａ＋５2·b+5c＋d=27 　　所以由解上述方程組可得 ａ=1，b=—6,ｃ=12，d=—8 于是，我們從表20-1的前若干項，用差分的方法，可以猜測第4個數列的通項為 ａn＝n3—6n２＋１２n-８=(n-2）3 　因此，可以猜測,一個表面涂漆的體積為n×

8、n×n的正方體中有（n-2）3個單位正方體沒有涂漆。同樣，據觀察n=2,3,4,5,６的特例,直接利用差分方法，可以猜測,2面涂漆的有１2（n-２）個,1面涂漆的有6（n-2）2個。 根據一個數列｛an}的前若干項,利用差分方法，猜測它的通項。在通項ａｎ恰是n的多項式時，這確是一個有效的方法。因為從所猜測的結果可以受到某些啟示，幫助我們最終解決問題.下面我們再來討論一個問題： 　順次計算數列12,12+２2,12+2２+32，12＋22＋３２＋４２，1２＋2２+32＋42+５2,1２＋22+3２+4２+５2＋62，…的前６項的值,由此猜測 an=１2+2２＋…+ｎ２ 求和的結

9、果。 　　根據12=1，12＋２２=5，12＋22＋32=14，１2+２2+3２+42 =30，12+2２+3２＋42+５2=55,1２＋22＋32+42＋52＋62=9１，計算數列1,5,1４，30，５5，91，…的差分 　由于三階差分數列是非零的常數列,所以猜測an是n的３次多項式an3+bn2＋cｎ+d,利用待定系數法,還可進一步求出a，b，ｃ，ｄ的值： 　解四元一次方程組 　　得 　因此,可以猜測 　即 　 　 有了上式的猜測,如果我們學過數學歸納法，就可以用數學歸納法證明(１)式對任何的自然數ｎ都成立. 　　注:差分是“計算方法”（數學的一

10、個分支)中的一個重要概念，而計算方法所研究的數學問題的求解算法是與計算機密切相關的。雖然差分非常有用，但這里就不再進一步介紹了。 練習20 　 １．用差分方法從給定數列{aｎ｝的前6項 4，９，1８，31,4８,69， 　 猜測它的通項（an｝. 2．計算凸n邊形當n=3,4,5,6，7時的對角線條數,用差分方法猜測凸n邊形的對角線條數ａn。 　　3. 　上表中r(n）表示將ｎ寫成若干個數字1和2之和的方式的個數(不考慮和式中各數的前后次序)。例如， 4=1+1＋1+1=1＋１＋2=2＋２， 　 所以r（4)=3，其中１＋１＋2,1+2＋1,2＋1+1都是同一種方式。 (1)計算ｒ(6)，r(7）和ｒ（8)； 　　(2)猜測ｒ(ｎ）的公式,并給予證明。 不足之處，敬請諒解 7 / 7