2019高中數(shù)學(xué) 第二章2.2 平面向量的線性運(yùn)算 2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案4

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1、 2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 ( ( ( 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．?重點(diǎn))2.理解并掌握向 量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算．?重點(diǎn))3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方 法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)向量共線問題．?難點(diǎn))4.理解實(shí)數(shù)相乘與向量數(shù)乘的 區(qū)別．(易混點(diǎn)) [自?主?預(yù)?習(xí)·探?新?知] 1．向量的數(shù)乘運(yùn)算 定義 記法 長度 方向 λ?＞0 λ?＜0 實(shí)數(shù)?λ?與向量?a?的乘積是一個(gè)向量 λ?a |λ?a|＝|λ?||a|

2、 方向與?a?的方向相同 方向與?a?的方向相反 (2)從幾何角度考慮，向量?2a?和－?a?與向量?a?分別有什么關(guān)系？ (2)2a?與?a?方向相同，2a?的長度是?a?的長度的?2?倍，－?a?與?a?方向相反，－?a?的長度 是?a?的長度的??. 思考：(1)何時(shí)有?λ?a＝0? 1 2 [提示] (1)若?λ?＝0?或?a＝0?則?λ?a＝0. 1 1 2 2 1 2 2．向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律 設(shè)?λ?，μ?為任意實(shí)數(shù) ①λ?(μ?a)＝(λ?μ?)a； ②(λ?＋μ?)a＝λ?a＋μ?a； ③

3、λ?(a＋b)＝λ?a＋λ?b. 3．共線向量定理 向量?a(a≠0)與?b?共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)?λ?，使得?b＝λ?a. 4．向量的線性運(yùn)算 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向 量?a，b，以及任意實(shí)數(shù)?λ?，μ?1，μ?2，恒有?λ?(μ?1a±μ?2b)＝λ?μ?1a±λ?μ?2b. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)對(duì)于任意的向量?a，總有?0·a＝0.( ) (2)當(dāng)?λ?＞0?時(shí)，|λ?a|＝λ?a.( ) 1 (3)若?a≠0，λ?≠0，則?a?與－λ?a?的方向相

4、反．( ) [解析] (1)錯(cuò)誤.0·a＝0；(2)錯(cuò)誤．|λ?a|＝λ?|a|(λ?＞0)．(3)錯(cuò)誤．當(dāng)?λ?＜0?時(shí)， －λ?＞0，a?與－λ?a?的方向相同． [答案] (1)× (2)× (3)× 2．點(diǎn)?C?是線段?AB?靠近點(diǎn)?B?的三等分點(diǎn)，下列正確的是( ) C.AC＝??BC → → A.AB＝3BC → 1→ 2 →??→ B.AC＝2BC →??→ D.AC＝2CB → → → → → D [由題意可知：AB＝－3BC；AC＝－2BC＝2CB.故只有?D?正確．] → → → 3．如

5、圖?2227，在平行四邊形 ABCD?中，對(duì)角線?AC?與?BD?交于點(diǎn)?O，AB＋AD＝λ?AO，則 λ?＝________. ??? 1?? ①3(6a＋b)－9?a＋?b÷； 圖?2227 → → → 2 [由向量加法的平行四邊形法則知AB＋AD＝AC. 又∵O?是?AC?的中點(diǎn)，∴AC＝2AO， → → → → → ∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO， ∴λ?＝2.] [合?作?探?究·攻?重?難] 向量的線性運(yùn)算 (1)若?3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則?x＝_____

6、___. (2)化簡下列各式： è 3?? 1é 2? ? 1??ù ?1?? 3?? a＋2b －?a＋??b÷ú－2???a＋?b÷； ②?ê  è?2?????è2?8?? 1??????????? 3????? 3????? 3 ②原式＝??2a＋??b÷－a－??b＝a＋??b－a－??b＝0. ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. (1)4b－3a [(1)由已知得?3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以?x＋3a－4b＝0，所 以?x＝4b－3a. (2)①原式＝18a＋

7、3b－9a－3b＝9a. 2?? 2è 4 4 4 ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.] 2 ù 3??? a－3b ＋?b－4?? a－7b???ú； 1．(1)化簡?ê 2? 1??? 3?? 7?? ＝??4a－3b＋?b－?a＋??b÷ 2é??? 3??? ? 1 7??ù ＝?ê?4－?÷a＋?－3＋??＋?÷bú 2?5?? 11?? 5?? 11 ＝????a－ b÷＝??a－ b. [規(guī)律方法] 向量數(shù)乘運(yùn)算的方法 向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)

8、、合并同 類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因 式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù). 向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求 解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算. [跟蹤訓(xùn)練] 2é 1 1 3 (2)已知向量為?a，b，未知向量為?x，y，向量?a，b，x，y?滿足關(guān)系式?3x－2y＝a，－ 4x＋3y＝b，求向量?x，y. [解] (1)原式 3è 3 2 4?? 2? 3?è è 3 4??? 3

9、è2 12?? 3 18 ì?3x－2y＝a ①， (2)í ? ?－4x＋3y＝b ②，  由①×3＋②×2?得，x＝3a＋2b，代入①得?3×(3a＋2b)－ 2y＝a， 所以?x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 用已知向量表示未知向量 → → → (1)如圖?2228， ABCD?中，E?是?BC?的中點(diǎn)，若AB＝a，AD＝b，則DE＝( ) A．??a－b B．??a＋b C．a(chǎn)＋??b D．a(chǎn)－??b 1 2  1 2 圖?2228

10、 1 2  1 2 (2)如圖?2229 所示，D，E?分別是△ABC?的邊?AB，AC?的中點(diǎn)，M，N?分別是?DE，BC?的 → → → → → 中點(diǎn)，已知BC＝a，BD＝b，試用?a，b?分別表示DE，CE，MN. 3 ＝AB－??AD＝a－??b.] (2)由三角形中位線定理，知?DE?綊??BC，故DE＝??BC，即DE＝??a. CE＝CB＋BD＋DE＝－a＋b＋??a＝－??a＋b. MN＝MD＋DB＋BN＝??ED＋DB＋??BC＝－??a－b＋??a

11、＝??a－b. 又因?yàn)?DF＝??OD＝??×??BD＝??BD， AB???BF 3 所以AG＝AD＋DG＝AD＋??AB＝??a＋b. ??????→ → → →???? 1→? ??(1)D [(1)DE＝DC＋CE＝AB＋?－??AD÷ 圖?2229 [思路探究] 先用向量加減法的幾何意義設(shè)計(jì)好總體思路，然后利用平面圖形的特征和 數(shù)乘向量的幾何意義表示． è 2?? → 1→ 1 2 2 1 → 1→ → 1 2 2 2 → → → → 1 1 2 2 → → → → 1→ → 1→ 1 1 1 2 2 4 2 4

12、 母題探究：1.本例(1)中，設(shè)?AC?與?BD?相交于點(diǎn)?O，F(xiàn)?是線段?OD?的中點(diǎn)，AF?的延長線交 → DC?于點(diǎn)?G，試用?a，b?表示AG. [解] 因?yàn)?DG∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 1→ 1 1 1 2 2 2 4 DG?DF 1 所以 ＝ ＝?， → → → → 1→ 1 3 3 → → → 2．本例(1)中，若點(diǎn)?F?為邊?AB?的中點(diǎn)，設(shè)?a＝DE，b＝DF，用?a，b?表示DB. → 2→ ì?a＝AB－1AD， [解] 由題意í 2→ → ??b＝1AB－AD， → 3

13、3 ì?AB＝4a－2b， 解得í → 2 4 ??AD＝3a－3b， 4 所以DB＝AB－AD＝??a＋??b. → → → 2 2 3 3 [規(guī)律方法] 用已知向量表示其他向量的兩種方法 (1)直接法． ì?6λ??＝3， (2)方程法． 當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量 和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程． 提醒：用已知向量表示未知向量的關(guān)鍵是弄清向量之間的數(shù)量關(guān)系. 向量共線問題 [探究問題]

14、 1．已知?m，n?是不共線向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判斷?a?與?b?是否共線？ 提示：要判斷兩向量是否共線，只需看是否能找到一個(gè)實(shí)數(shù)?λ?，使得?a＝λ?b?即可． 若?a?與?b?共線，則存在?λ?∈R，使?a＝λ?b，即?3m＋4n＝λ?(6m－8n)． ∵m，n?不共線，∴í ??－8λ?＝4. ∵不存在?λ?同時(shí)滿足此方程組，∴a?與?b?不共線． 2．設(shè)兩非零向量?e1?和?e2?不共線，是否存在實(shí)數(shù)?k，使?ke1＋e2?和?e1＋ke2?共線？ 提示：設(shè)?ke1＋e2?與?e1＋ke2?共線， ∴存在?λ?使?ke1＋e

15、2＝λ?(e1＋ke2)， 則(k－λ?)e1＝(λ?k－1)e2. ∵e1?與?e2?不共線，∴只能有í ì?k－λ?＝0， ? ?λ?k－1＝0，  則?k＝±1. → → → (1)已知非零向量?e1，e2?不共線，如果AB＝e1＋2e2，BC＝－5e1＋6e2，CD＝7e1 －2e2，則共線的三個(gè)點(diǎn)是________． → → → (2)已知?A，B，P?三點(diǎn)共線，O?為直線外任意一點(diǎn)，若OP＝xOA＋yOB，求?x＋y?的值． → → [思路探究] (1)將三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題，例如AB∥BD可推出?A，B，D?

16、三 點(diǎn)共線． → → → → (2)先用共線向量定理引入?yún)?shù)?λ?得AP＝λ?AB，再用向量減法的幾何意義向OP＝xOA＋ 5 → yOB變形，最后對(duì)比求?x＋y. → → → → → B??D (1)A，?， [(1)∵AB＝e1＋2e2，BD＝BC＋CD＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2AB. → → ∴AB，BD共線，且有公共點(diǎn)?B， ∴A，B，D?三點(diǎn)共線．] → → (2)由于?A，B，P?三點(diǎn)共線，則AB，AP在同一直線上，由共線向量定理可知，必存在實(shí) →

17、→ → → → → → → → 數(shù)?λ?使得AP＝λ?AB，即OP－OA＝λ?(OB－OA)，∴OP＝(1－λ?)OA＋λ?OB. ∴x＝1－λ?，y＝λ?，則?x＋y＝1. [規(guī)律方法] 1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法 → → (1)一般來說，要判定?A，B，C?三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)?λ?，使得AB＝λ?AC → → (或BC＝λ?AB等)即可． → → → (2)利用結(jié)論：若?A，B，C?三點(diǎn)共線，O?為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)?x，y，使OA＝xOB＋yOC 且?x＋y＝1. 2．利用向量共線求參數(shù)的方法 判斷、證明向量共線問

18、題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù) λ?，使得?a＝ λ?b(b≠0)．而已知向量共線求?λ?，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若 兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得?λ?的值． [當(dāng)?堂?達(dá)?標(biāo)·固?雙?基] 1．設(shè)?a，b?是兩個(gè)不共線的向量．若向量?ka＋2b?與?8a＋kb?的方向相反，則?k＝( ) A．－4 C．4 B．－8 D．8 ì?2＝λ???k， ??．(2018·全國卷Ⅰ)在 ABC?中，AD?為?BC?邊上的中線，E?為?AD?的中點(diǎn)，則

19、EB＝(??? ) A [因?yàn)橄蛄?ka＋2b?與?8a＋kb?的方向相反，所以?ka＋2b＝λ?(8a＋kb)??í ? ?k＝8λ ??k＝－4(因?yàn)榉较蛳喾矗?λ?＜0??k＜0)．] → 3→? 1→ A.??AB－??AC 1→? 3→ B.??AB－??AC 3→? 1→ C.??AB＋??AC 1→? 3→ D.??AB＋??AC 4 4 4 4 4???4 4???4 →?? → →??????????????? → 3→ 1→ A?? [由題可得EB＝EA＋AB

20、＝－??(AB＋AC)＋AB＝??AB－??AC.] 4 4 4 3．對(duì)于向量?a，b?有下列表示： 6 －5 5．如圖?2230?? 所示，已知AP＝??AB，用OA，OB表示OP. ①a＝2e，b＝－2e； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； 2 1 ③a＝4e1－5e2，b＝e1－10e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 其中，向量?a，b?一定共線的有( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ A [對(duì)于①，b＝－a，有?a∥b； 對(duì)于②，b＝－2a，有?a∥

21、b； 對(duì)于③，a＝4b，有?a∥b； 對(duì)于④，a?與?b?不共線．] 4．若|a|＝5，b?與?a?方向相反，且|b|＝7，則?a＝________b. 5 7 [由題意知?a＝－7b.] → 4→ → → → 3 [解] OP＝OA＋AP＝OA＋??AB＝OA＋??(OB－OA) ＝－??OA＋??OB. 圖?2230 → → → → 4→ → 4?→ → 3 3 1→ 4→ 3 3 7