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1、機(jī)械工程控制基礎(chǔ),5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 5.2 穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù) 5.3 穩(wěn)定性的幾何判據(jù) 5.4 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,1,2,5. 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,控制系統(tǒng)能在實(shí)際中應(yīng)用的首要條件就是必須穩(wěn)定。一個(gè)不能穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能工作的。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，也稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。,勞斯（Routh）-胡爾維茨（Hurwitz）判據(jù):是依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性做出判別，它是一種代數(shù)判據(jù)。,奈奎斯特判據(jù):是依據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特圖與坐標(biāo)上（-1，j0）點(diǎn)之間的位置關(guān)系對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判別，這是一種幾何判據(jù)。,波德判據(jù):實(shí)際上是奈奎斯特判據(jù)的另一種描述法，它們之
2、間有著相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系。但在描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)裕度這些概念時(shí)，波德判據(jù)顯得更為清晰、直觀,從而獲得廣泛采用。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),3,5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念,一 穩(wěn)定的概念,4,用圖形表示：,5,注意：,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內(nèi)部條件，與輸入無關(guān) 系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象，必須有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔?控制理論所討論的穩(wěn)定性是指輸入為零時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定,6,5.1 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念,5.1.1 穩(wěn)定性概念 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在給定信號(hào)作用下，輸出應(yīng)能達(dá)到新的平衡狀態(tài)，或在擾動(dòng)去掉之后，系統(tǒng)的輸出能以足夠的精度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。如圖5-1(a)所示，這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的系統(tǒng)。若系統(tǒng)
3、承受的外界擾動(dòng)終止作用后，系統(tǒng)輸出不能再恢復(fù)原先的平衡狀態(tài)位置，或發(fā)生不衰減的持續(xù)振蕩。如圖5-1（b）所示，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),7,圖5-1系統(tǒng)穩(wěn)定性示意圖 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)所決定的，而與輸入信號(hào)的形式無關(guān)。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),8,線性定常系統(tǒng),5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,9,經(jīng)過Laplace變換（考慮到初始條件）,10,當(dāng)輸入為零時(shí)：,當(dāng)Resi<0時(shí),11,12,13,14,從以上分析可以看出，如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半面內(nèi)，即系統(tǒng)的特征方程式根的實(shí)部都為負(fù)，那么隨著時(shí)間t的增大，方程（5-4）式中的指數(shù)項(xiàng)和阻尼指數(shù)項(xiàng)將趨近于零。即系統(tǒng)
4、是穩(wěn)定的。,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：是特征方程的根均具有負(fù)的實(shí)部?；蛘哒f閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根全部位于s平面的左半平面內(nèi)。一旦特征方程出現(xiàn)右根時(shí)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。,設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,（5-5）,則系統(tǒng)的特征方程為,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,15,例如某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程式為 特征根,因?yàn)樘卣鞣匠谈哂胸?fù)實(shí)部，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),16,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：,系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負(fù)實(shí)部；反之，若系統(tǒng)特征根只要有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定,17,綜上可見： 特征根中只要有一個(gè)是正實(shí)
5、根，則式(5-4) 的解就發(fā)散，系統(tǒng)就不穩(wěn)定； 當(dāng)特征根中的共軛復(fù)根具有正實(shí)部時(shí)，式(5-4)解呈發(fā)散振蕩，故系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若特征根中有零根，則式(5-4)全解中的瞬態(tài)分量將趨于某個(gè)常值，故系統(tǒng)也不穩(wěn)定； 若特征根中含有共軛虛根，則式(5-4)的解呈等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)所謂臨界穩(wěn)定狀態(tài)。由于在實(shí)際工作中，系統(tǒng)的參數(shù)值往往要發(fā)生變化，因此共軛虛根有可能轉(zhuǎn)變成具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，而使系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，從控制工程實(shí)踐角度看，一般認(rèn)為臨界穩(wěn)定屬于系統(tǒng)的實(shí)際不不穩(wěn)定工作狀態(tài)。 當(dāng)特征根中沒有零根，沒有共軛虛根，并且所有實(shí)根都是復(fù)的，共軛復(fù)根具有負(fù)實(shí)部時(shí)，式(5-4)的解是指數(shù)衰減的，或衰減振蕩的，因
6、而系統(tǒng)穩(wěn)定。,5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),18,由上述分析可以得出如下結(jié)論： 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件：是他的特征方程的所有根必須是復(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分。 因?yàn)橄到y(tǒng)的特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，故線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件就是它的全部極點(diǎn)必須位于復(fù)平面的左半部分。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,19,例,系統(tǒng)穩(wěn)定,系統(tǒng)不穩(wěn)定,s1=-1,s2=-2,s3=-5,s1=1 s2=-2 s3=-5,20,5.2勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，就是要確定系統(tǒng)特征方程根是否全部具有負(fù)的實(shí)部，或者說特征根是否全部位于s平面的虛軸左側(cè)。
7、這樣就面臨著兩種選擇；,1. 解特征方程確定特征根，這對(duì)于高階系統(tǒng)來說是困難的。,2. 討論根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有幾個(gè)右根。,代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)是基于特征方程根的分布與系數(shù)間的關(guān)系來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。無需解特征方程而能迅速判定根的分布情況。這是一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的穩(wěn)定性判據(jù)。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),21,5.2.1 胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為,（1）則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是： 1 .特征方程的各項(xiàng)系數(shù) 均不為零。 2. 特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)一致。 以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),22,5.2.1 胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：對(duì)于,式中
8、 。則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： （1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù) 均為正。 （2）各項(xiàng)系數(shù)組成的胡爾維茨n階行列式中各階子行列式 都大于零。 滿足該條件的系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),23,5.2.1 胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),胡爾維茨行列式：對(duì)于,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),24,5.2.2 勞斯穩(wěn)定判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為,則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是： 1 .特征方程的各項(xiàng)系數(shù) 均不為零。 2. 特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)一致。 以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),（1）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的必要條件,25,特征方程系數(shù)的勞斯陣列如下：,（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件,機(jī)械工程
9、控制基礎(chǔ),26,在上面的勞斯陣列中bi、ci、di、ei的計(jì)算公式如下：,(5-6),機(jī)械工程控制基礎(chǔ),（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件,27,勞斯陣列的計(jì)算順序是由上兩行組成新的一行。例如由第一行與第二行可組成第三行，在第二行第三行的基礎(chǔ)上產(chǎn)生第四行，這樣計(jì)算直到只有零為止。一般情況下可以得到一個(gè)n+1行的勞斯陣列。而最后兩行每行只有一個(gè)元素。每行計(jì)算到出現(xiàn)零元素為止。,把a(bǔ)n，an-1，b1，c1，，d1，e1 稱為勞斯陣列中的第一列元素。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充分且必要條件是：特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列第一列元素符號(hào)一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第一列元素符號(hào)改變次數(shù)就是特征方程中所包含的
10、右根數(shù)目。,（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),28,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式,勞斯陣列為,例5-1 某一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,由于特征方程式的系數(shù)以及第一列的所有元素都為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),29,,例 系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，試判斷 的穩(wěn)定性,1,1,勞斯表第一列元素不全為正，則系統(tǒng)不穩(wěn)定,s2,s3,s1,s0,有兩個(gè)右根,30,例5-2 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試確定K值的閉環(huán)穩(wěn)定范圍。,解：其單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程式為,勞斯陣列為,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),3
11、1,例5-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要求閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部均小于-1，問K值應(yīng)取在什么范圍？如果要求根的實(shí)部均小于-2，情況又如何？,由穩(wěn)定條件得 因此K的穩(wěn)定范圍為,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),32,解：系統(tǒng)的特征方程式為s3+9s2+18s+18K=0 令u=s+1得如下u特征方程,勞斯陣列為,所以 5/9
12、穩(wěn)定的條件：a20, a10, a00,階次較低的系統(tǒng)， Routh判據(jù)可表示為：,35,三階系統(tǒng)：特征方程D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0,36,例：控制系統(tǒng)的方框圖如下，試確定當(dāng)輸入為單位速度信號(hào)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess<0.2s的K值的范圍,解： 由系統(tǒng)的開環(huán)傳函Gk(s)可確定為I型系統(tǒng),37,則在單位速度信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)的速度偏差系數(shù)為：,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,38,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍, 系統(tǒng)穩(wěn)定且ess<0.2的K的取值范圍為25<0<30,39,例3 ：設(shè)某系統(tǒng)的特征方程如下，試確定待定參數(shù)及 ，以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。 D(s)=s3+( +1)s2+( + -1)s+
13、 -1=0,s3 1 + -1 s2 +1 -1,s1,, +1,(+),(+1)(+ -1)-(-1) = (+),0,so -1,0 1,40,（3）勞斯判據(jù)的特殊情況,例5-4 設(shè)有特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,1）某行的第一列元素為零，而其余項(xiàng)不為零的情況 如果在計(jì)算勞斯陣列的各元素值時(shí)，出現(xiàn)某行第一列元素為零則在計(jì)算下一行的各元素值時(shí)將出現(xiàn)無窮大而無法繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。為克服這一困難，計(jì)算時(shí)可用無窮小正數(shù)來代替零元素，然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),41,,由于第一列有的元素為負(fù)值，且第一列的元素符號(hào)有兩次變化，表明特征方程在s平面的右半平面內(nèi)有兩個(gè)根，
14、該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,解：勞斯陣列：,此時(shí)第三行第一列元素為零，用一無限小代替0， 然后計(jì)算其余各項(xiàng)，得到勞斯陣列如上，觀察第一列各項(xiàng)數(shù)值，當(dāng)0時(shí)，則,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),42,2）某行全部元素值為零的情況 說明系統(tǒng)的特征方程式的根中存在以下情況：,1）存在兩個(gè)符號(hào)相異，絕對(duì)值相同的實(shí)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定） ；,2）存在實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的兩對(duì)共軛復(fù)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定） ；,3）存在一對(duì)共軛純虛根；（系統(tǒng)自由響應(yīng)會(huì)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定）；,4）以上幾種根的組合。,（3）勞斯判據(jù)的特殊情況,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),43,在這種情況下，勞斯陣列表將在全
15、為零的一行處中斷，并且此行根的數(shù)目總是偶數(shù)，為了寫出下面各行，可將該行的上一行的各項(xiàng)組成一個(gè)“輔助方程式”。式中s的方次均為偶次降。方程式對(duì)s求導(dǎo)，用求導(dǎo)得到的各項(xiàng)系數(shù)來代替為零的一行系數(shù)，然后繼續(xù)按照勞斯陣列表的列寫方法，計(jì)算余下各行直至計(jì)算完（n+1）行為止。,這些大小相等、符號(hào)相反的特征根，可由輔助方程得到。,（3）勞斯判據(jù)的特殊情況,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),44,例5-5 設(shè)某一系統(tǒng)的特征方程式為,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：特征方程各項(xiàng)系數(shù)為正，列出勞斯陣列表如下：,（各元素除以2后的值）,（各元素除以2后的值）,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),45,取出全部為零元素前一行的元素，得到輔助方程為,將A(s
16、)對(duì)s求導(dǎo)得到,以上式的系數(shù)代替全部為零的一行，然后繼續(xù)作出勞斯陣列表為,（各元素除以4后的值）,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),46,從勞斯陣列表的第一列可以看出，各項(xiàng)并無符號(hào)變 化，因此特征方程無正根。但因s3行出現(xiàn)全為零的 情況，可見必有共軛虛根存在，這可通過求解輔助 方程A(s)得到 此式的兩對(duì)共軛虛根為 這兩對(duì)根，同時(shí)也是原方程的根，它們位于虛軸上，因此該控制系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，等幅振蕩。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),47,解：由已知條件知，系統(tǒng)一定存在一對(duì)共軛純虛根s1,2=j2。由方框圖得，系統(tǒng)的特征方程為 s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出Routh表如下：,練習(xí)題：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方
17、框圖如圖所示。試確定K和a取何值時(shí)，系統(tǒng)將維持以角頻率=2s-1的持續(xù)振蕩。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),48,顯然，只有Routh表中S 行的元素全為0時(shí)，該特征 方程才會(huì)有一對(duì)共軛純虛根。 令 ， 而其輔助方程為,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),49,解得一對(duì)共軛純虛根 聯(lián)立方程 和 ， 解得,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),50,5.3.1 奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù) 奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)簡(jiǎn)稱為奈氏判據(jù)，它是利用系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率域圖解方法。它是一種幾何判據(jù)。,5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),1） 利用奈氏判據(jù)也不必求取閉環(huán)系統(tǒng)
18、的特征根，而是通過系統(tǒng)開環(huán)頻率特性(j)H(j)曲線來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,2）由于系統(tǒng)的頻率特性可以用實(shí)驗(yàn)方法得，所以奈氏判據(jù)對(duì)那些無法用分析法獲得傳遞函數(shù)的系統(tǒng)來說，具有重要的意義。,3）奈氏判據(jù)還能表明系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度即相對(duì)穩(wěn)定性，進(jìn)而指出改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),51,（1） 穩(wěn)定性判據(jù) 如圖5-2 的閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為 ，,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當(dāng)在-至+范圍內(nèi)變化時(shí)，可畫出閉合的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖），它以反時(shí)針方向繞（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)為N，假定開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)為P，當(dāng)滿足于N=P的關(guān)系時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的
19、。,,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),52,如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,,由極坐標(biāo)圖可見，當(dāng)頻率由-變化到+時(shí)，以反時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)2圈，即N=2，由上面G(s)H(s)可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在s右半平面，即P=2。由于極坐標(biāo)圖的轉(zhuǎn)向是反時(shí)針的，又由于N=P，所以對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),53,如圖的開環(huán)傳遞函數(shù)為,,由圖可見，N=-2、P=1，即NP，所以對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),54,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當(dāng)在0至+范圍內(nèi)變化時(shí)，可畫出半閉合的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖），它以反時(shí)針方向繞（-1，
20、j0）點(diǎn)的圈數(shù)為N，假定開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)為P，當(dāng)滿足于N=P/2的關(guān)系時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),55,1）開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)不一定是穩(wěn)定的，反之開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)有可能是穩(wěn)定的。對(duì)于最小相位的開環(huán)傳遞函數(shù)，并且開環(huán)增益大于零時(shí)，則只有三階或三階以上的閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定。,2）當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)（即有位于原點(diǎn)的極點(diǎn)），當(dāng)趨向0時(shí)奈氏曲線沿某一坐標(biāo)軸趨向開環(huán)曲線不封閉，可以通過作輔助曲線（圓）后再進(jìn)行判別，輔助曲線是一半徑為的圓弧，從奈氏曲線的起始端開始反時(shí)針方向繞過N90和實(shí)軸相交后即可。,注意：,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),56,3）當(dāng)曲線通過(-1，j0)點(diǎn)時(shí)，表示閉環(huán)系
21、統(tǒng)有極點(diǎn)位于虛軸上，為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，歸為不穩(wěn)定的情況。,4）虛軸上及原點(diǎn)上的開環(huán)極點(diǎn)為左極點(diǎn)。,5）對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，不容易直接看出包圍的圈數(shù)時(shí)，可采用“穿越”的概念： 所謂“穿越”是指奈氏開環(huán)曲線穿過(-1，j0)點(diǎn)左側(cè)的實(shí)軸。若由上向下穿越時(shí)為正穿越，反之由下向上穿越為負(fù)穿越。穿越一次，則穿越次數(shù)為1，若曲線始于或止于(-1，j0)點(diǎn)左側(cè)的實(shí)軸上時(shí)，則穿越次數(shù)為1/2。穿越次數(shù)即為包圍點(diǎn)的圈數(shù)，正穿越時(shí)為逆時(shí)針包圍圈數(shù)為正，反之負(fù)穿越則包圍圈數(shù)為負(fù)。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),57,在實(shí)際系統(tǒng)中，用得最多的是最小相位系統(tǒng)，因而P=0，為此，這種閉環(huán)系統(tǒng)如若穩(wěn)定，必須N=0。又因?yàn)樽兓瘯r(shí)，頻率由-
22、變化到0，再由0變化到+時(shí)，所對(duì)應(yīng)的奈奎斯特圖是對(duì)稱的，所以只取0到+時(shí)這一頻率段研究即可。其判據(jù)又可敘述如下：,如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的充要條件是：它的開環(huán)極坐標(biāo)圖不包圍（-1，j0）點(diǎn)，如圖6-4a所示。反之，若曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的，如圖6-4c所示。若曲線通過（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，如圖6-4b所示。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),（2） 最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),58,,,（2） 最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),機(jī)械工程控制基礎(chǔ),59,例5-6已知兩單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：,,,其開環(huán)極坐標(biāo)曲線分別如圖6-5(a)、(b)所
23、示，試用奈氏判據(jù)分別判斷對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,5.3.2 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)舉例,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),60,解: (1)系統(tǒng)1：由開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)的表達(dá)式知，p=0開環(huán)穩(wěn)定。由圖6-5(a)可見，開環(huán)奈奎斯特圖沒有包圍（-1，j0）點(diǎn)。因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,(2) 系統(tǒng)2：由開環(huán)傳遞函數(shù)G2(s)的表達(dá)式知，p=0開環(huán)穩(wěn)定。由圖6-5(b)可見，開環(huán)奈奎斯特圖括入了(-1，j0)點(diǎn)。根據(jù)奈氏判據(jù)該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,61,例5-7 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,開環(huán)奈奎斯特圖如圖6-6所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：由開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的表達(dá)式知，P=1開環(huán)不穩(wěn)定。,開環(huán)頻率特性的
24、極坐標(biāo)曲線頻率由0變化到+時(shí)逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)N=1/2圈。如若頻率由-變化到0，再0由0變化到+時(shí)，即為N=1,根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,此例說明，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍有可能是穩(wěn)定的。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),62,例6-8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,,試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可繪制出其頻率特性的奈奎斯特圖如圖6-7所示。曲線包圍了點(diǎn)(-1，j0)一圈N=1（注意圖中虛線）。由G(s)H(s)表達(dá)式知， P=0，開環(huán)穩(wěn)定，根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),63,5.4 穩(wěn)定裕度,系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性是有影響的。適當(dāng)選取系統(tǒng)某些參
25、數(shù)，不但可以使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定，而且可以使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。 由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以推知：,在線性控制系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。而對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定的程度如何及是否具有滿意的動(dòng)態(tài)過程，勞斯判據(jù)無法確定。,1）對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定(p=0)的閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性的奈奎斯特曲線距點(diǎn)(-1，j0)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；,2）曲線距點(diǎn)(-1，j0)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),64,圖6-8是系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特曲線對(duì)(-1，j0 )點(diǎn)的位置與對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)示意圖。圖中各系統(tǒng)均為開環(huán)穩(wěn)定(p=0)。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),65,1）當(dāng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)曲線包圍
26、(-1，j0 )點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)發(fā)散，閉環(huán)不穩(wěn)定(圖6-8(a))；,2）當(dāng)開環(huán)奈奎斯特曲線通過(-1，j0 )點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)呈等幅振蕩(圖6-8(b))；,3）當(dāng)開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍(-1，j0 )點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(圖6-8(c)、(d))。,4）由圖6-8(c)、(d)可見，開環(huán)奈奎斯特曲線距(-1，j0 )點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度不同，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的程度也不同。這便是通常所說的系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。通常以穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),66,（1） 穩(wěn)態(tài)裕度極坐標(biāo)的表示 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度用相位裕度和幅值裕度g 來定量描述，如圖6-9所示。,
27、機(jī)械工程控制基礎(chǔ),67,1) 相位裕度 在圖6-9(a)和(b)中，以原點(diǎn)為圓心，以單位值為半徑，可作成單位圓，它必然通過Q(-1，j0)點(diǎn)，并與奈奎斯特曲線交于A點(diǎn)，連線于0、A點(diǎn)得OA， OA與負(fù)虛軸的夾角稱為相位裕度，大小為：,式中c ：稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，這一頻率對(duì)應(yīng)的幅值為1。,,(5-7),相位裕度的物理意義是，如果再滯后時(shí)，系統(tǒng)才處于臨界狀態(tài)。因此，相位裕度又可以稱為相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),68,2) 幅值裕度g 開環(huán)奈奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸相交于Q點(diǎn)，這一點(diǎn)的頻率g時(shí)的幅值為|G(jg)H(jg)|，其倒數(shù)定義為幅值裕度g ，即：,,式中g(shù) ： 相位穿越頻率，
28、對(duì)應(yīng)這點(diǎn)的頻率的相角為-180。,幅值裕度g的物理意義是，如果將開環(huán)增益放大g倍，系統(tǒng)才處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，幅值裕度又稱為增益裕度。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),69,g(dB)=(620)dB =30 60,由前面分析可見： 對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)有 0，且g1；,對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有 0，g1。,系統(tǒng)的穩(wěn)定程度由 ，g兩項(xiàng)指標(biāo)來衡量，g(dB) 、 越大系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。但穩(wěn)定裕度過大會(huì)影響系統(tǒng)的其它性能，如響應(yīng)的快速性等。工程上一般?。?機(jī)械工程控制基礎(chǔ),70,（2）穩(wěn)定裕度波德圖表示 相位裕度和幅值裕度也可以在波德圖中表示，如圖6-10(a)、(b)所示。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),71,此時(shí)，幅值裕度
29、g 的分貝值為：,,(5-9),對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)有0，且Kg1 即Kg(dB)0。如圖6-10(a)所示。在波德圖上， 必在-180線以上； Kg(dB)在0dB線以下。,對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有 <0，Kg<1即Kg(dB)<0。如圖6-10(b)所示。此時(shí)，在極坐標(biāo)圖的負(fù)實(shí)軸以上。在波德圖上， 在180線以下；Kg在0dB線以上。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),72,（3）波德圖判據(jù) 利用開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的波德圖，也可以來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法有時(shí)稱為對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)判據(jù)或波德判據(jù)，它實(shí)質(zhì)上是奈奎斯特判據(jù)的引申。,開環(huán)波德圖與開環(huán)極坐標(biāo)圖有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系： 1) 奈奎斯特圖上的單
30、位圓相當(dāng)于波德圖上的0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。因?yàn)榇藭r(shí) 20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB,2) 奈奎斯特上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于波德圖上的-180線，即對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫軸。因?yàn)榇藭r(shí)相位 G(j)H(j) 均為-180。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),73,波德圖判據(jù)如下： 對(duì)于最小相位系統(tǒng) 當(dāng)c g時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定(圖6-10(b)); 當(dāng)c = g時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,一般系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，即p=0，故可按上述條件來判別其穩(wěn)定性。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),74,例6-9 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試分別求K=2和K=20時(shí)，系統(tǒng)的幅值裕度Kg (dB) 和相位裕
31、度 。,,解1：由開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定。分別繪制K=2和K=20時(shí)系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-11(a)、(b)所示。,由圖可見： 當(dāng)K=2時(shí)，Kg(dB)=8(dB)；=21 當(dāng)K=20時(shí)，Kg(dB)=-12(dB)，=-30 顯然，K=20時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。K=2時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。此時(shí)相位裕度較小，小于30 ，因此系統(tǒng)不具備滿意的相對(duì)穩(wěn)定性。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),75,76,解2：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為,其中，幅頻特性,相頻特性,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),77,令,有,令,或令,有,而幅值裕度,(1),(2),機(jī)械工程控制基礎(chǔ),78,相位裕度,(1) 當(dāng)K= 2時(shí)，代入式(1)得 增益交角頻率
32、c=? 代入式(3)得 相位裕度 =？ 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=9.52dB,(3),(2) 當(dāng)K=20時(shí)，代入式(1)得 增益交角頻率 c=？ 代入式(3)得 相位裕度 =？ 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=-10.47,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),79,利用波德圖求取相對(duì)穩(wěn)定性具有下列優(yōu)點(diǎn)：,(1) 波德圖可以由漸近線的方法繪出，故比較簡(jiǎn)便易行；,(2)省去了計(jì)算c 、g的繁雜過程；,(3)由于開環(huán)波德圖是由各波德圖迭加而成，因此在波德圖上容易確定哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定的主要因素，從而對(duì)其參數(shù)重新加以選擇或修正；,(4)在需要調(diào)整
33、開環(huán)增益K時(shí)，只需將對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上下平移即可，這樣可很容易地看出增益K取何值時(shí)才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),80,一、基本要求 （1）了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義；系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。 （2）掌握Routh和Hurwitz判據(jù)的必要條件和充要條件，學(xué)會(huì)應(yīng)用Routh判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，能夠指出系統(tǒng)包含不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù)。 （3）掌握Nyquist判據(jù)。 （4）理解系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的概念，會(huì)求相位裕度和幅值裕度。,81,二、本章重點(diǎn) （1）Routh判據(jù)，Nyquist判據(jù)的應(yīng)用。 （2）系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性；相位裕度和幅值裕度的求法及其在Nyquist圖和Bode圖上的表示法。,82,三、本章難點(diǎn) 1.Routh判據(jù)及其應(yīng)用； 2.Nyquist判據(jù)及其應(yīng)用。,83,機(jī)械工程控制基礎(chǔ),,,84,
《機(jī)械控制工程基礎(chǔ)》5-use.ppt
