第八講 用假設(shè)法解題

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1、 用假設(shè)法解題 情景引入 我國古代趣題：今有雉兔共籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雉、兔各有幾何？這就是著名的雞兔同籠問題，這類問題我們?cè)撊绾谓獯鹉兀? 專題介紹 有些應(yīng)用題看起來很難求出答案，但如果我們合理進(jìn)行“假設(shè)”，往往會(huì)使問題得到解決.“假設(shè)”是數(shù)學(xué)思維中思考問題的一種常用方法，所謂“假設(shè)法”就是依照已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，作適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案.我國古代趣題中的“雞兔同籠”問題就是運(yùn)用假設(shè)法解決問題的一個(gè)范例. 例題精講 例1：見情景引入. 將題目翻譯過來就是：現(xiàn)有一籠雞兔，數(shù)雞頭和兔頭共35個(gè)，數(shù)雞腳和兔腳共94只，問雞兔各共幾只？

2、 分析：方法一： 1）假設(shè) 35只全是雞 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應(yīng)該是 ×35＝70（只）. 2）題中腳的總數(shù)是94只，假設(shè)后比原來少了94－ ＝24（只），這是因?yàn)槲覀儼哑渲械?兔子 當(dāng)成了 雞 來算. 一只兔子當(dāng)成一只雞就少了 2只腳，那么，少的24只腳是把多少只兔子當(dāng)成了雞？因此，可知道兔子有 24 ÷ ＝ （只），則雞有 35 － ＝ 23（只）. 3）列綜合算式： 兔子的只數(shù)：（94－ ×35）÷2＝ （只）； 雞的只數(shù)：35 － ＝ （只）. 方法二： 1）假設(shè) 35只全是兔子 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應(yīng)該是

3、 ×35＝ 140 （只）. 2）題中腳的總數(shù)是94只，假設(shè)后比原來多了 － ＝ 46 （只），這是因?yàn)槲覀儼哑渲械? 當(dāng)成了 來算. 一只雞當(dāng)成一只兔子就多了 只腳，那么，多的 只腳是把多少只雞當(dāng)成了兔子？因此，可知道雞有 46 ÷ ＝ （只），則兔子有 35 － ＝ （只）. 3）列綜合算式： 雞的只數(shù)：（ ×35－94）÷2＝ （只）； 兔子的只數(shù)：35 － ＝ （只）. 答：雞有23只，兔有12只. 鞏固練習(xí)：1. 雞兔共30只，共有腳84只，雞兔各有多少只？ 解：方法一： 1）假設(shè) 30只

4、全是雞 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應(yīng)該是 × ＝ （只）. 2）題中腳的總數(shù)是84只，假設(shè)后比原來少了84－ ＝ （只），一只兔子當(dāng)成一只雞就少了 只腳，少了 只腳就說明兔子有 ÷ ＝ （只），則雞有 － ＝ （只）. 3）列綜合算式： 兔子的只數(shù)：（ － × ）÷ ＝ （只）； 雞的只數(shù)： － ＝ （只）. 方法二： 1）假設(shè) ，那么，籠子中腳的總數(shù)應(yīng)該是 × ＝ （只）. 2）題中腳的總數(shù)是84只，假設(shè)后比原來多了 －

5、 ＝ （只），一只雞當(dāng)成一只兔子就多了 只腳，多了 只腳就說明雞有 ÷ ＝ （只），則兔子有 － ＝ （只）. 3）列綜合算式： 雞的只數(shù)： ； 兔子的只數(shù)： . 答： . 2. 雞兔同籠,共有頭100個(gè),足316只,那么雞兔各有幾只？（用兩種方法解答） 解答“雞兔同籠”問題，通常采用假設(shè)法. （1）

6、可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞，也可以先假設(shè)都是兔，以雞換兔； （2）根據(jù)“假設(shè)前后腳數(shù)的總差量÷單只雞兔腳數(shù)的差量2”，求出雞或兔的數(shù)量. 錦囊妙計(jì) 例2：有1角、5角的硬幣共35枚，一共9塊5角，求兩種硬幣各多少枚？ 分析：1）假設(shè)35枚硬幣全是1角的，那么，總錢數(shù)應(yīng)該是 ×35 ＝ （角）. 2）原來的錢數(shù)是95角，假設(shè)后比原來少了95－ ＝ （角）；一枚5角硬幣當(dāng)成1角就少了 角，那么，少了60角就說明5角硬幣有 ÷ ＝ （枚），則1角硬幣有 －15 ＝ （枚）. 想一想：此題還可以怎樣假

7、設(shè)？ 3）列綜合算式： 5角硬幣：（95－ ）÷（ －1）＝ （枚）； 1角硬幣： －15 ＝ （枚）. 答：5角硬幣有 枚，1角硬幣有 枚. 鞏固練習(xí)：1. 小軍用10元錢買5角和8角郵票共17張，問這兩種郵票各買了多 少張？ 解：1）假設(shè)17張全是5角的郵票，那么，總錢數(shù)應(yīng)該是 × ＝ （角）. 2）原來的錢數(shù)是 角，假設(shè)后比原來少了 － ＝ （角）；一枚8角郵票當(dāng)成5角就少了 角，那么，少了 角就說明8角郵票有 ÷ ＝ （張），則5角郵票有 －

8、 ＝ （張）. 3）列綜合算式： 8角郵票： ； 5角郵票： . 答： . 2. 車棚里停放著45輛車，包括三輪車和自行車，兩種車輪子的總和為105個(gè)，問三輪車和自行車各多少輛？ 這類題類似與雞兔同籠問題，用假設(shè)法解題時(shí)， （1）一般可假設(shè)要求的兩種物品是同一種； （2）根據(jù)“假設(shè)前后總的差量÷兩種物品的面值差（或其它差量）”，求出一種物品，再求出另一種物品

9、. 錦囊妙計(jì) 例3： 某校進(jìn)行的數(shù)學(xué)競賽共15道題，規(guī)定每做對(duì)一題得10分，每做錯(cuò)一題倒扣4分，小明在這次數(shù)學(xué)競賽中得了66分，問他做錯(cuò)、對(duì)了幾道？ 分析：1）假設(shè)小明把題目全部做對(duì)了，那么，應(yīng)得的分?jǐn)?shù)是 ×15＝ （分）. 2）而題中所得分?jǐn)?shù)是66分，假設(shè)后比原來多了 －66＝ （分），這是因?yàn)槲覀儼炎鲥e(cuò)的題當(dāng)成了做對(duì)的題來算. 每做錯(cuò)一個(gè)題，就比做對(duì)一個(gè)題要少得 ＋ ＝ （分），那么，少得了 分就說明答錯(cuò)的題目有 ÷ ＝ （道），則答對(duì)的題目有 － ＝ （道）.

10、3）列綜合算式： 答錯(cuò)的題目： ； 答對(duì)的題目： . 答： . 鞏固練習(xí)：1. 某玻璃杯廠要為商店運(yùn)送1000個(gè)玻璃杯，雙方商定每個(gè)運(yùn)費(fèi)為1元，如果打碎一個(gè)，這一個(gè)不但不給運(yùn)費(fèi)，而且要賠償4元.結(jié)果運(yùn)到目的地后結(jié)算時(shí)，玻璃杯廠共得運(yùn)費(fèi)895元，求打碎了幾個(gè)玻璃杯？ 解：1）假設(shè)1000個(gè)玻璃杯全部運(yùn)到并完好無損，那么，應(yīng)得的運(yùn)費(fèi)是 × 1000＝ （元）； 2）而題中所得運(yùn)費(fèi)是89

11、5元，比假設(shè)后少收入了 － ＝ 105（元），這是因?yàn)槲覀儼哑渲写蛩榱说牟ＡП?dāng)成了沒打碎來算，每打碎一個(gè)玻璃杯，就比沒打碎要少收入 ＋ ＝ （元），那么，少收入105元就說明打碎的玻璃杯有 ÷ ＝ （個(gè)）. 3）列綜合算式： 打碎的玻璃杯數(shù)： . 答： . 2. 某車間生產(chǎn)一批服裝共250件，生產(chǎn)一件可得25元，如果有一件不符合要求，則倒扣20元，生產(chǎn)后得到費(fèi)用5

12、350元.問有幾件不合格？ 對(duì)于這類問題使用假設(shè)法解題時(shí)，注意兩種量單個(gè)數(shù)值的差，如每做錯(cuò)一個(gè)題扣a分，每做對(duì)一個(gè)題加b分，那么，每做錯(cuò)一個(gè)題要比做對(duì)一個(gè)題少得（a+b）分. 錦囊妙計(jì) 例4：學(xué)校買來8張辦公桌和6把椅子，共花去550元.每張辦公桌的價(jià)錢是每把椅子的2倍，每張辦公桌和每把椅子各多少元？ 分析：1）假設(shè)學(xué)校買的全是辦公桌，根據(jù)“每張辦公桌的價(jià)錢是每把椅子的2倍”，則買6把椅子的價(jià)錢只能買 ÷ 2 ＝ 3 （張）辦公桌. 2）題中共花的550元就相當(dāng)于 8 ＋ 3 ＝ （張）辦公桌的價(jià)錢，所以，每張辦公桌的價(jià)錢為

13、550 ÷ ＝ （元）. 3）列綜合算式： 辦公桌：550÷（ ÷ 2 ＋ ）＝ 50 （元）； 椅子： 50÷ ＝ 25 （元）. 答：辦公桌的價(jià)錢為50元，椅子的價(jià)錢為25元. 鞏固練習(xí)：1. 學(xué)校買來4個(gè)籃球和5個(gè)排球共用了185元，已知一個(gè)籃球比一個(gè)排 球貴8元，那么籃球和排球的單價(jià)各是多少元？ 解：1）假設(shè)學(xué)校買的全是排球，根據(jù)“一個(gè)籃球比一個(gè)排球貴8元”，則買4個(gè)籃球比買4個(gè)排球貴 × 4 ＝ 32 （元）. 2）題中共花的185元，相當(dāng)于買了 4 ＋ 5 ＝ （個(gè)）排球還多余 32 元，所以，排球的單價(jià)為（ －

14、 ）÷ 9 ＝ （元）. 3）列綜合算式： 排球：（ － × 4 ）÷（ ＋ ）＝ （元）； 籃球： ＋ ＝ （元）. 答： . 2. 小明買2個(gè)乒乓球和4個(gè)皮球共用去52元，6個(gè)乒乓球的價(jià)錢相當(dāng)于1個(gè)皮球的價(jià)錢.乒乓球和皮球的單價(jià)各是多少元？ 用假設(shè)法解這類問題， （1）假設(shè)兩種物品為同一種物品； （2）將已知條件轉(zhuǎn)化為直接可用的條件，如 “甲的單價(jià)是乙的n倍”，那么，買a個(gè)乙的價(jià)錢就只能買（a÷n）個(gè)甲

15、. （3）根據(jù)總錢數(shù)與對(duì)應(yīng)的一種物品數(shù)量，求出這種物品的單價(jià)，再求另一種. 錦囊妙計(jì) 模塊5 例5：水果糖的塊數(shù)是巧克力糖的3倍，如果小明每天吃2塊水果糖，1塊巧克力糖，幾天后，水果糖還剩下7塊，巧克力糖正好吃完.原來水果糖有多少塊？ 分析：1）根據(jù)題中“水果糖的塊數(shù)是巧克力糖的3倍”，假設(shè)小明每天吃1塊巧克力，3塊水果糖，那若干天后，兩種糖剛好吃完. 2）現(xiàn)在小明每天吃2塊水果糖，少吃了 3 － ＝ 1 （塊），結(jié)果，若干天后，水果糖還剩下7塊.則吃的天數(shù)為 7 ÷ ＝ 7 （天），則原來水果糖的塊數(shù)即可求得. 3）列式如下：

16、 ÷（1×3－ ）＝ 7 （天）； 2× ＋7 ＝ 21 （塊）. 答：原來水果糖有21塊. 鞏固練習(xí)：1. 小紅家有些梨和蘋果，蘋果的個(gè)數(shù)是梨的3倍，爸爸和小紅每天各 吃1個(gè)蘋果，媽媽每天吃1個(gè)梨.若干天后，蘋果還剩9個(gè)，而梨恰好吃完， 原來蘋果有多少個(gè)？ 解：1）根據(jù)題中“蘋果的個(gè)數(shù)是梨的3倍”，假設(shè)小紅和爸爸媽媽每天吃1個(gè)梨，3個(gè)蘋果，那若干天后，兩種水果剛好吃完. 2）現(xiàn)在小紅和爸媽每天一共吃2個(gè)蘋果，1個(gè)梨，少吃了 － ＝ （個(gè)）蘋果，結(jié)果，若干天后，蘋果還剩下9個(gè).則吃的天數(shù)為 ÷ ＝ （天），則原來蘋果個(gè)數(shù)即可求得.

17、 3）列式如下： ÷（1×3－ ）＝ （天）； 2× ＋ ＝ （個(gè)）. 答： . 2. 某商店有些紅氣球和黃氣球，紅氣球的只數(shù)是黃氣球的4倍，每天賣出2只紅氣球和1只黃氣球，若干天后，紅氣球剩下12只，黃氣球剛好賣完.紅氣球原來有多少？ 這類題通常是“吃東西”、“賣東西”等消耗東西的問題，用假設(shè)法解這類題時(shí)， （1）如何假設(shè)是關(guān)鍵，一般題中會(huì)出現(xiàn) “甲總數(shù)是乙總數(shù)的n倍”，那么，可以假設(shè)每天消耗乙的數(shù)量為1 ，甲為 n ，則若干天后，甲和乙都 剛好消耗完 . （2

18、）再根據(jù)假設(shè)前后的差量求出天數(shù)，進(jìn)而求出甲或乙的總數(shù). 錦囊妙計(jì) 練 習(xí) 題 1. 雞兔共100只，共有腳280只，雞兔各有多少只？ 2. 三一班的同學(xué)在獻(xiàn)愛心活動(dòng)中共有34名同學(xué)捐款，共捐了89元，這些同學(xué)有捐2元的，有捐5元，求捐2元和捐5元的同學(xué)各有多少名？ 3. 某小學(xué)進(jìn)行英語競賽，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)一題倒扣2分，共有15道題，小明得了102分，他做對(duì)了多少題？ 4. 買4張辦公桌和9把椅子共用252元，1張桌子和3把椅子的價(jià)錢正好相等，桌子和椅子的單價(jià)各是多少元？ 5. 四（3）班有彩色粉筆和白色粉筆若干盒，白粉筆的盒數(shù)是彩色粉筆的7倍，每天用去2盒白粉筆和1盒彩色粉筆，當(dāng)彩色粉筆全部用完時(shí)，白粉筆還剩10盒，原來白粉筆有多少盒？