第八講 用假設法解題

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1、 用假設法解題 情景引入 我國古代趣題：今有雉兔共籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雉、兔各有幾何？這就是著名的雞兔同籠問題，這類問題我們該如何解答呢？ 專題介紹 有些應用題看起來很難求出答案，但如果我們合理進行“假設”，往往會使問題得到解決.“假設”是數(shù)學思維中思考問題的一種常用方法，所謂“假設法”就是依照已知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，作適當調(diào)整，從而找到正確答案.我國古代趣題中的“雞兔同籠”問題就是運用假設法解決問題的一個范例. 例題精講 例1：見情景引入. 將題目翻譯過來就是：現(xiàn)有一籠雞兔，數(shù)雞頭和兔頭共35個，數(shù)雞腳和兔腳共94只，問雞兔各共幾只？

2、 分析：方法一： 1）假設 35只全是雞 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應該是 ×35＝70（只）. 2）題中腳的總數(shù)是94只，假設后比原來少了94－ ＝24（只），這是因為我們把其中的 兔子 當成了 雞 來算. 一只兔子當成一只雞就少了 2只腳，那么，少的24只腳是把多少只兔子當成了雞？因此，可知道兔子有 24 ÷ ＝ （只），則雞有 35 － ＝ 23（只）. 3）列綜合算式： 兔子的只數(shù)：（94－ ×35）÷2＝ （只）； 雞的只數(shù)：35 － ＝ （只）. 方法二： 1）假設 35只全是兔子 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應該是

3、 ×35＝ 140 （只）. 2）題中腳的總數(shù)是94只，假設后比原來多了 － ＝ 46 （只），這是因為我們把其中的 當成了 來算. 一只雞當成一只兔子就多了 只腳，那么，多的 只腳是把多少只雞當成了兔子？因此，可知道雞有 46 ÷ ＝ （只），則兔子有 35 － ＝ （只）. 3）列綜合算式： 雞的只數(shù)：（ ×35－94）÷2＝ （只）； 兔子的只數(shù)：35 － ＝ （只）. 答：雞有23只，兔有12只. 鞏固練習：1. 雞兔共30只，共有腳84只，雞兔各有多少只？ 解：方法一： 1）假設 30只

4、全是雞 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應該是 × ＝ （只）. 2）題中腳的總數(shù)是84只，假設后比原來少了84－ ＝ （只），一只兔子當成一只雞就少了 只腳，少了 只腳就說明兔子有 ÷ ＝ （只），則雞有 － ＝ （只）. 3）列綜合算式： 兔子的只數(shù)：（ － × ）÷ ＝ （只）； 雞的只數(shù)： － ＝ （只）. 方法二： 1）假設 ，那么，籠子中腳的總數(shù)應該是 × ＝ （只）. 2）題中腳的總數(shù)是84只，假設后比原來多了 －

5、 ＝ （只），一只雞當成一只兔子就多了 只腳，多了 只腳就說明雞有 ÷ ＝ （只），則兔子有 － ＝ （只）. 3）列綜合算式： 雞的只數(shù)： ； 兔子的只數(shù)： . 答： . 2. 雞兔同籠,共有頭100個,足316只,那么雞兔各有幾只？（用兩種方法解答） 解答“雞兔同籠”問題，通常采用假設法. （1）

6、可以先假設都是雞，然后以兔換雞，也可以先假設都是兔，以雞換兔； （2）根據(jù)“假設前后腳數(shù)的總差量÷單只雞兔腳數(shù)的差量2”，求出雞或兔的數(shù)量. 錦囊妙計 例2：有1角、5角的硬幣共35枚，一共9塊5角，求兩種硬幣各多少枚？ 分析：1）假設35枚硬幣全是1角的，那么，總錢數(shù)應該是 ×35 ＝ （角）. 2）原來的錢數(shù)是95角，假設后比原來少了95－ ＝ （角）；一枚5角硬幣當成1角就少了 角，那么，少了60角就說明5角硬幣有 ÷ ＝ （枚），則1角硬幣有 －15 ＝ （枚）. 想一想：此題還可以怎樣假

7、設？ 3）列綜合算式： 5角硬幣：（95－ ）÷（ －1）＝ （枚）； 1角硬幣： －15 ＝ （枚）. 答：5角硬幣有 枚，1角硬幣有 枚. 鞏固練習：1. 小軍用10元錢買5角和8角郵票共17張，問這兩種郵票各買了多 少張？ 解：1）假設17張全是5角的郵票，那么，總錢數(shù)應該是 × ＝ （角）. 2）原來的錢數(shù)是 角，假設后比原來少了 － ＝ （角）；一枚8角郵票當成5角就少了 角，那么，少了 角就說明8角郵票有 ÷ ＝ （張），則5角郵票有 －

8、 ＝ （張）. 3）列綜合算式： 8角郵票： ； 5角郵票： . 答： . 2. 車棚里停放著45輛車，包括三輪車和自行車，兩種車輪子的總和為105個，問三輪車和自行車各多少輛？ 這類題類似與雞兔同籠問題，用假設法解題時， （1）一般可假設要求的兩種物品是同一種； （2）根據(jù)“假設前后總的差量÷兩種物品的面值差（或其它差量）”，求出一種物品，再求出另一種物品

9、. 錦囊妙計 例3： 某校進行的數(shù)學競賽共15道題，規(guī)定每做對一題得10分，每做錯一題倒扣4分，小明在這次數(shù)學競賽中得了66分，問他做錯、對了幾道？ 分析：1）假設小明把題目全部做對了，那么，應得的分數(shù)是 ×15＝ （分）. 2）而題中所得分數(shù)是66分，假設后比原來多了 －66＝ （分），這是因為我們把做錯的題當成了做對的題來算. 每做錯一個題，就比做對一個題要少得 ＋ ＝ （分），那么，少得了 分就說明答錯的題目有 ÷ ＝ （道），則答對的題目有 － ＝ （道）.

10、3）列綜合算式： 答錯的題目： ； 答對的題目： . 答： . 鞏固練習：1. 某玻璃杯廠要為商店運送1000個玻璃杯，雙方商定每個運費為1元，如果打碎一個，這一個不但不給運費，而且要賠償4元.結(jié)果運到目的地后結(jié)算時，玻璃杯廠共得運費895元，求打碎了幾個玻璃杯？ 解：1）假設1000個玻璃杯全部運到并完好無損，那么，應得的運費是 × 1000＝ （元）； 2）而題中所得運費是89

11、5元，比假設后少收入了 － ＝ 105（元），這是因為我們把其中打碎了的玻璃杯當成了沒打碎來算，每打碎一個玻璃杯，就比沒打碎要少收入 ＋ ＝ （元），那么，少收入105元就說明打碎的玻璃杯有 ÷ ＝ （個）. 3）列綜合算式： 打碎的玻璃杯數(shù)： . 答： . 2. 某車間生產(chǎn)一批服裝共250件，生產(chǎn)一件可得25元，如果有一件不符合要求，則倒扣20元，生產(chǎn)后得到費用5

12、350元.問有幾件不合格？ 對于這類問題使用假設法解題時，注意兩種量單個數(shù)值的差，如每做錯一個題扣a分，每做對一個題加b分，那么，每做錯一個題要比做對一個題少得（a+b）分. 錦囊妙計 例4：學校買來8張辦公桌和6把椅子，共花去550元.每張辦公桌的價錢是每把椅子的2倍，每張辦公桌和每把椅子各多少元？ 分析：1）假設學校買的全是辦公桌，根據(jù)“每張辦公桌的價錢是每把椅子的2倍”，則買6把椅子的價錢只能買 ÷ 2 ＝ 3 （張）辦公桌. 2）題中共花的550元就相當于 8 ＋ 3 ＝ （張）辦公桌的價錢，所以，每張辦公桌的價錢為

13、550 ÷ ＝ （元）. 3）列綜合算式： 辦公桌：550÷（ ÷ 2 ＋ ）＝ 50 （元）； 椅子： 50÷ ＝ 25 （元）. 答：辦公桌的價錢為50元，椅子的價錢為25元. 鞏固練習：1. 學校買來4個籃球和5個排球共用了185元，已知一個籃球比一個排 球貴8元，那么籃球和排球的單價各是多少元？ 解：1）假設學校買的全是排球，根據(jù)“一個籃球比一個排球貴8元”，則買4個籃球比買4個排球貴 × 4 ＝ 32 （元）. 2）題中共花的185元，相當于買了 4 ＋ 5 ＝ （個）排球還多余 32 元，所以，排球的單價為（ －

14、 ）÷ 9 ＝ （元）. 3）列綜合算式： 排球：（ － × 4 ）÷（ ＋ ）＝ （元）； 籃球： ＋ ＝ （元）. 答： . 2. 小明買2個乒乓球和4個皮球共用去52元，6個乒乓球的價錢相當于1個皮球的價錢.乒乓球和皮球的單價各是多少元？ 用假設法解這類問題， （1）假設兩種物品為同一種物品； （2）將已知條件轉(zhuǎn)化為直接可用的條件，如 “甲的單價是乙的n倍”，那么，買a個乙的價錢就只能買（a÷n）個甲

15、. （3）根據(jù)總錢數(shù)與對應的一種物品數(shù)量，求出這種物品的單價，再求另一種. 錦囊妙計 模塊5 例5：水果糖的塊數(shù)是巧克力糖的3倍，如果小明每天吃2塊水果糖，1塊巧克力糖，幾天后，水果糖還剩下7塊，巧克力糖正好吃完.原來水果糖有多少塊？ 分析：1）根據(jù)題中“水果糖的塊數(shù)是巧克力糖的3倍”，假設小明每天吃1塊巧克力，3塊水果糖，那若干天后，兩種糖剛好吃完. 2）現(xiàn)在小明每天吃2塊水果糖，少吃了 3 － ＝ 1 （塊），結(jié)果，若干天后，水果糖還剩下7塊.則吃的天數(shù)為 7 ÷ ＝ 7 （天），則原來水果糖的塊數(shù)即可求得. 3）列式如下：

16、 ÷（1×3－ ）＝ 7 （天）； 2× ＋7 ＝ 21 （塊）. 答：原來水果糖有21塊. 鞏固練習：1. 小紅家有些梨和蘋果，蘋果的個數(shù)是梨的3倍，爸爸和小紅每天各 吃1個蘋果，媽媽每天吃1個梨.若干天后，蘋果還剩9個，而梨恰好吃完， 原來蘋果有多少個？ 解：1）根據(jù)題中“蘋果的個數(shù)是梨的3倍”，假設小紅和爸爸媽媽每天吃1個梨，3個蘋果，那若干天后，兩種水果剛好吃完. 2）現(xiàn)在小紅和爸媽每天一共吃2個蘋果，1個梨，少吃了 － ＝ （個）蘋果，結(jié)果，若干天后，蘋果還剩下9個.則吃的天數(shù)為 ÷ ＝ （天），則原來蘋果個數(shù)即可求得.

17、 3）列式如下： ÷（1×3－ ）＝ （天）； 2× ＋ ＝ （個）. 答： . 2. 某商店有些紅氣球和黃氣球，紅氣球的只數(shù)是黃氣球的4倍，每天賣出2只紅氣球和1只黃氣球，若干天后，紅氣球剩下12只，黃氣球剛好賣完.紅氣球原來有多少？ 這類題通常是“吃東西”、“賣東西”等消耗東西的問題，用假設法解這類題時， （1）如何假設是關(guān)鍵，一般題中會出現(xiàn) “甲總數(shù)是乙總數(shù)的n倍”，那么，可以假設每天消耗乙的數(shù)量為1 ，甲為 n ，則若干天后，甲和乙都 剛好消耗完 . （2

18、）再根據(jù)假設前后的差量求出天數(shù)，進而求出甲或乙的總數(shù). 錦囊妙計 練 習 題 1. 雞兔共100只，共有腳280只，雞兔各有多少只？ 2. 三一班的同學在獻愛心活動中共有34名同學捐款，共捐了89元，這些同學有捐2元的，有捐5元，求捐2元和捐5元的同學各有多少名？ 3. 某小學進行英語競賽，每答對一題得10分，答錯一題倒扣2分，共有15道題，小明得了102分，他做對了多少題？ 4. 買4張辦公桌和9把椅子共用252元，1張桌子和3把椅子的價錢正好相等，桌子和椅子的單價各是多少元？ 5. 四（3）班有彩色粉筆和白色粉筆若干盒，白粉筆的盒數(shù)是彩色粉筆的7倍，每天用去2盒白粉筆和1盒彩色粉筆，當彩色粉筆全部用完時，白粉筆還剩10盒，原來白粉筆有多少盒？