《第1章勾股定理》同步優(yōu)生提升訓(xùn)練2021

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1、2021年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》同步優(yōu)生提升訓(xùn)練(附答案) 一. 勾股定理 1. 如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°, AB=3, BC=6,點(diǎn)E在BC上，AE丄DE.且 2. 如圖是一個(gè)四邊形ABCD,若已知AB=4cm, BC=3cm, CD = 12cm, AD=13cm, ZABC = 90°，則這個(gè)四邊形的面積是 cm2. 3. 如圖，△ABC 中，ZACB=90°, AC=6, BC=8, P 為直線 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，連 PC. (1) 線段PC的最小值 . (2)當(dāng)PC=5時(shí)，AP長(zhǎng)是 . 4. 如圖，所有

2、的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 邊長(zhǎng)為6cm,則A、B、C、D四個(gè)正方形的面積之和為 cm2. 5. 如圖，在6X4的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A, B, C, D, E均在格 點(diǎn)上.則 ZABC _ZDCE=( ) A D E B / c A. 30° B. 42° C. 45 D. 50° 6. 如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225、289,則字母A所代表的正方形的面積為（ ） C. 16 D. 64 7. 如圖，在

3、△ABC中，ZA = 90°, P是BC上一點(diǎn)，且DB=DC,過(guò)BC上一點(diǎn)P,作PE 丄AB 于 E，PF丄DC 于 F,已知：AD： DB=1： 3, BC= 4二 &,則PE+PF 的長(zhǎng)是（ ） A. 4二6 B. 6 C. 47 2 D. 8. AABC 中，AB=17, AC=10，高AD=8,則AABC 的周長(zhǎng)是( ) A. 54 B. 44 C. 36 或 48 D. 54 或 33 9. 在 RtAABC 中，ZC=90°,若 BC - AC=2cm, AB=10cm,則 RtAABC 的面積是( ) A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D.

4、60cm2 10. 如圖，以Rt^ABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=lE，貝愜中 陰影部分的面積為（ ） A. B. 4 D. 5 11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（-6, 0）, （0, 8）.以點(diǎn)A為圓心，以 AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ） A. (6, 0) B. (4, 0) C. (6, 0)或(-16, 0) D. (4, 0)或(-16, 0) 12. 如圖，△ABC 中，ZABC=90°, AC=25cm, BC=15cm. (1) 直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)度 . (2) 設(shè)點(diǎn)P在AB上，若ZP4

5、C=ZPCA.求AP的長(zhǎng)； (3) 設(shè)點(diǎn)M在AC上.若AMBC為等腰三角形，直接寫(xiě)出AM的長(zhǎng). 13. 如圖，4X4方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1. (1) 圖①中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 ; (2) 在圖②的4X4方格中畫(huà)一個(gè)面積為8的正方形； (3) 把圖②中的數(shù)軸補(bǔ)充完整，然后用圓規(guī)在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)■ 8^0- ' '8. D 圖① 14. 如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么我們稱這個(gè)三角形為'美麗三角形” (1) 如圖，在△ABC中，AB=AC=0J5, BC=4,求證：△ABC是“美麗三角形” (2) 在RtAABC中，ZC=9

6、0°, AC=^$，若△ABC是“美麗三角形”求BC的長(zhǎng). 懂用劉 15?如圖所示網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，點(diǎn)A，B，C位置如圖所示，在網(wǎng)格中確 定點(diǎn)D,使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的所有內(nèi)角都相等. (1) 確定點(diǎn)D的位置并畫(huà)出以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形； (2) 直接寫(xiě)出(1)中所畫(huà)出的四邊形的周長(zhǎng)和面積. 二. 勾股定理的證明 16. 勾股定理是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系 起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是() 三. 勾股數(shù) 17. 已知：整式A=n (n+6)

7、 +2 (n+8) (n>0),整式B>0. 嘗試：化簡(jiǎn)整式A; 發(fā)現(xiàn)：A=B2，求整式B； 應(yīng)用：利用A=B2，填寫(xiě)下列表格： n (n+6) 2 (n+8) \ 2 40 \ 四. 勾股定理的逆定理 18. 如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE±AB于點(diǎn)E，AB=6,皿=遼，BC =1, ，則四邊形ABCD的面積為 . C、D均為格點(diǎn)，則ZBAC -ZDAE= 20. 下列各組數(shù)據(jù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是( ) A. 1，1,匚g B. 6，8，11 C. 3，4，5 D. 1，3， 一 5 21. 如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方

8、式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方 形紙片，面積分別是1，2, 3, 4, 5,選取其中三塊(可重復(fù)選取)按如圖的方式組成圖 案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（ ） 3, 5 C. 3, 4, 5 D. 2, 2, 4 22. 如圖，四邊形ABCD的三條邊AB, BC, CD和BD都為5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A fB_D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿D^C^B^A以2.8cm/s的速 度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.若兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)5s時(shí)，P, Q相距3cm.試確定兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5s時(shí), 問(wèn)△APQ的形狀.

9、 23. 已知：如圖，四邊形ABCD中，AB丄BC, AB=1, BC=2, CD=2, AD=3,求四邊形 24. (1)在 RtAABC 中，ZC=90°, BC=2, AB- ! 13,求 AC 的長(zhǎng)； (2)已知△ABC中，BC-1, AC=Tg, AB-2,求證：△ABC是直角三角形. 25. 如圖，已知在△ABC 中，CD丄AB 于 D, BD = 9, BC=15, AC=20. (1) 求CD的長(zhǎng)； (2) 求AB的長(zhǎng)； (3) 判斷△ABC的形狀. 五. 勾股定理的應(yīng)用 26. 小明從A處出發(fā)沿北偏東40°的方向走了

10、30米到達(dá)B處；小軍也從A處出發(fā)，沿南 偏東a°(0Va<90)的方向走了 40米到達(dá)C處，若B、C兩處的距離為50米，則a 27. 一個(gè)矩形的抽斗長(zhǎng)為12cm，寬為5cm，在抽斗底部放一根鐵條，那么鐵條最長(zhǎng)可以是 cm. 28. 如圖，在水塔O的東北方向15m處有一抽水站A，在水塔的東南方向8m處有一建筑工 地B,在AB間建一條直水管，則水管的長(zhǎng)為( ) A. 7m B. 12m C. 17m D. 22m 29. 如圖1,長(zhǎng)、寬均為3,高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面 高為5,繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意

11、圖， 則圖2中水面高度為( D. 32 T 30. 將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的裝滿水的無(wú)蓋圓柱形水杯中， 設(shè)筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是( ) A. hW15cm B. h三8cm C. 8cmWhW17cm D. 7cmWhW16cm 31. 如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA丄AB于A，CB丄AB于B， 已知DA = 15km，CB= 10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C、D 兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？ 32?如圖，一棵高10m的大樹(shù)倒在了高8

12、m的墻上，大樹(shù)的頂端正好落在墻的最高處，如果 隨著大樹(shù)的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)，請(qǐng)回答下列各題. (1) 如果大樹(shù)的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)了 2m,那么大樹(shù)的另一端點(diǎn)是否也向左滑動(dòng)了 2m?說(shuō)明理由， (2) 如果大樹(shù)的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)了 am,那么大樹(shù)的另一端點(diǎn)是否也向左滑動(dòng)了 33. 如圖，學(xué)校有一塊空地ABCD,準(zhǔn)備種草皮綠化已知ZADC=90°，AD=4米，CD=3 米，AB=13米，BC=12米，求這塊地的面積. 34. “中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城街路上行駛速度不得超過(guò) 70km/h .如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛

13、好行駛到路對(duì)面車(chē) 速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了 2s后,測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間距離為50m, 這輛小汽車(chē)超速了嗎？(參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s=3.6km/h) 小汽車(chē) 小汽車(chē) 3?'/ ￥(7 7 觀測(cè)點(diǎn) 35. 如圖，甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口 O出發(fā)，甲輪船以20海里/時(shí)的速度向南偏東45° 方向航行，乙輪船向南偏西45°方向航行.已知它們離開(kāi)港口 O兩小時(shí)后，兩艘輪船相 距50海里，求乙輪船平均每小時(shí)航行多少海里？ 六?平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題 36. 如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B距離C點(diǎn)5cm， 一只螞 蟻如果要沿著

14、盒子的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B. (1) 螞蟻爬行的最短距離是 cm； (2) 若從C處想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管應(yīng)不少于 cm. 37. 如圖，透明的圓柱形玻璃容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器 底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的 點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長(zhǎng)為( ) A. 12cm B. 14cm C. 20cm D. 24cm 參考答案 一.勾股定理 1. 解：過(guò)點(diǎn)D作DF丄BC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F, 由題意得，BE=BC-EC

15、=5, VZB = 90°, AZBAE+ZAEB=90°, ??AE 丄 DE, AZAEB+ZDEC=90°, .\ZBAE=ZDEC, VAE=DE,ZB=ZDFE=90°, :.△ABE^KEFD (AAS), :.EF=AB=3, DF=BE=5, :.CF=EF- CE=2, VZDFC=90°, ADC= 故答案為：t 29. 2. 解：連接AC, VZABC=90°, AB=4cm, BC=3cm, ??AC=5cm, T CD = 12cm, DA = 13cm, AC2+CD2 = 52+122 = 169 = 132=DA2, .?△A

16、DC為直角三角形， ?S 四邊形abcd = saacd - SaABC ^ACXCD ^ABXBC 2 2 =—X5X12—X4X3 2 2 = 30-6 =24 (cm2). 故四邊形ABCD的面積為24cm2. 故答案為：24. 3. 解：（1）在 RtAABC 中，ZACB=90°, AC=6, BC=8, ???ab=YA嚴(yán)卅嚴(yán)=”護(hù)十/=io， 由垂線段最短得：當(dāng)PC丄AB時(shí)，PC的值最小, 此時(shí)，△ABC的面積=*?AB?PC=*?AC?BC, :.AB ?PC=AC?BC, ? PC= AC-BC 6X8 AB 10 故答案

17、為：4.8； (2)過(guò)C作CQLBC于Q,如圖所示： 同( 1)得：CQ=4.8， 由勾股定理得:AQ=-Ac'-C護(hù)=[護(hù)-4?護(hù)=36pQ=打閱-口'=[5'-4?護(hù) = 1.4， 當(dāng) P 在線段 BQ 上時(shí)，AP=AQ+PQ=3.6+1.4=5； 當(dāng) P 在線段 AQ 上時(shí)，AP=AQ-PQ = 3.6-1.4 = 2.2； 綜上所述，AP的長(zhǎng)為5或2.2， 故答案為：5或2.2. 4. 解：如右圖所示， 根據(jù)勾股定理可知, S正方形2+S正方形3_S正方形］， S正方形C+S正方形D —S正方形3， s正方形A+s正方形B—S正方形2， S c+S

18、d+S a+S b—S 2+S 3—S 1 —62—36. 正方形C 正方形D 正方形A 正方形B 正方形2 正方形3 正方形1 故答案是36 5?解：連接AC，AD，如圖, A D J? X J r* 7 / E C 根據(jù)勾股定理可得：AD—Ac—Be—一憶十護(hù)二,：5，CD—十護(hù) ? ZABC—ZBAC, ? ZACB—180°-ZABC-ZBAe—180°-2ZABC， 在△ACD 中，AD'+AC ,：5). 5) J10，CD?J 10)^10, ?AD2+AC2 —CD2， .

19、?.△ACD是直角三角形，ZDAC—90°, ?.?AD —CD, .?△ACD是等腰直角三角形， ? ZACD—45°， ?.?AB〃EC, ??./ABC+/BCE=180°, .??ZABC+ZACB+ZACD+ZDCE=180°, ?.ZABC+ (180°-2ZABC) +45° +ZDCE= 180° , .?.ZABC-ZDCE=45°, 故選：C. 6. 解：???正方形PQED的面積等于225, ??.即 PQ2=225, ? ?正方形PRGF的面積為289, ? PR2=289, 又APQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得： PR2 = PQ2+Q

20、R2, ???QR2=PR2 - PQ2=289 - 225 = 64, 則正方形QMNR的面積為64. 故選：D. 7. 解：(1)作PM丄AC于點(diǎn)M,可得矩形AEPM ? PE=AM，利用 DB=DC 得到 ZB=ZDCB ?.?PM〃AB. ：.ZB=ZMPC ? ZDCB=ZMPC 又VPC=PC.ZPFC=ZPMC=90° ? △PFC^^CMP ? PF=CM ? PE+PF=AC ?AD： DB=1： 3 ???可設(shè) AD =x, DB=3x，那么 CD=3x, AC=2'? 2x, BC=2l' 6x ?bc= 4.-6 ??x=2 ?

21、??PE+PF=AC=2； 2X2=4匚 2. (2)連接PD, PD 把△BCD分成兩個(gè)三角形厶PBD,5PCD, S/BD=^BD ?PE， S^cd=^dc?pF， SaBCD=bBD ?AC， 所以 PE+PF=AC=2l： 2X2=4； 2. 故選：C. 8. 解：分兩種情況: 圖1 ^AD是BC邊上的高， ? ZADB=ZADC=90°, ???Bd= 酹=-1 嚴(yán)-八=15, CD=小/-人酹=.T*-/=6, .??BC=BD+CD= 15+6=21； 此時(shí)，△ABC 的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC= 17+10+21=48. 同①得

22、：BD=15，CD=6, :.BC=BD - CD=15 - 6=9； 此時(shí)，△ABC 的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC= 17+10+9 = 36. 綜上所述：△ABC的周長(zhǎng)為48或36. 故選：C. 9. 解:VZC=90°, .??AC2+BC2=AB2=i00, VBC-AC=2cm, ?.(BC-AC) 2=4, 即 AC2+BC2 - 2AC?BC=4, .??2AC?BC=96, .??+aC?BC=24，即 RtAABC 的面積是 24cm2, 故選：A. 10. 解：S =±C2+ BC2+ AB2= (AB2+AC2+BC2), 陰影2 2 2 2

23、VAB2=AC2+BC2=5, /.AB2^AC2+BC2=10, 陰影 4x10=5- 故選：D. 11. 解：???點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(-6, 0), (0, 8), ? ? OA=6, OB=8, ???AB= 2*0哄=￥護(hù)十/=10, ?AC=10, ? C (- 16, 0)或(4, 0). 故選：D. 12. 解：(1)TZABC=90°, AC=25cm, BC=15cm, ???AB= Y腫-BC '=】■勺 5?5 2=20 (cm), 故答案為：20cm； (2)VZP4C=ZPCA, ?AP=PC, 設(shè) AP=PC=x, .??P

24、B=20 -x. VZB = 90°, ?.BP2+BC2=CP2，即(20 -x) 2+152=x2, 解得：x= .AP (3) AM 的長(zhǎng)為 10cm, 7cm, 12.5cm. 如圖(1),當(dāng) CB=CM= 15 時(shí)，AM=AC - CM=25 - 15 = 10 (cm)； 如圖(2),當(dāng) BM=CM 時(shí)，AM=BM=CM=*^C=12.5 (cm)； 如圖(3),當(dāng) BC=BM 時(shí)，過(guò) B 作 BH丄AC 于點(diǎn) H,則 =12 (cm), CH = =9 (cm), .??CM=2CH=18 (cm), :.AM=AC- CM=7 (cm)； 綜

25、上所述，AM的長(zhǎng)為10cm, 7cm, 12.5cm. 13. 解：(1)圖①中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.:護(hù)十*=打10； 故答案為：匸幣； (2)如圖所示：(3)如圖所示： 14. (1)證明：過(guò)點(diǎn)A作AD丄BC于D, VAB=AC, AD丄BC, ???BD”2, 由勾股定理得，AD = db'-BD'=4, :.AD=BC,即AABC是“美麗三角形” （2）解：當(dāng)AC邊上的中線BD等于AC時(shí)，如圖2, BC='；時(shí) _川=6， 當(dāng)BC邊上的中線AE等于BC時(shí)， AC2=AE2 - CE2, 即卩 BC2-(寺BC) 2=(41‘ 3) 2, 解得BC=8.

26、 15. 解：（1）如圖所示: 1啼 …垃. ■ ■■■ 產(chǎn)? 沁.. ■ (2) AB=v]2 十2 2=1 5, BC= 十￡ 2=21 5, 周長(zhǎng)為(21 5+1 5)X2=6'.-；5, 面積為2 5x i 5=10. .勾股定理的證明 16.解:A、 (a+b) (a+b)， ??.整理得：a2+b2=c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意; Bi"和心（a+b） 2， ??.整理得：a2+b2=c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意; C、 T4x2ab+ (b-a) 2=c2, 2

27、 ??.整理得：a2+b2=c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意; D、 根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意； 故選：D. 三. 勾股數(shù) 17. 解：A=n (n+6) +2 (n - 8)=n2+8n+16. VA=B2, B>0, ?.B2=n2+8n+16=(n+4) 2. ?.B=n+4, 當(dāng)2 (斤+8)=竽_時(shí)，解得：n = 2 4 當(dāng) n (n+6)=40 時(shí)，解得：n1=4，n2= - 10 (舍去), ? n+4 = 8， 故答案為：巧；8. 4 四. 勾股定理的逆定理 18. 解：連接BD， ???點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE

28、丄AB于點(diǎn)E，AB=6，DE = '..;3, .??EB=2aB=3, ?: BD= ?辺,3)2 + 12=( ..'13) 2,即 BD2+BC2=CD2, ? △BCD是直角三角形，且ZDBC=90°, ???四邊形ABCD的面積= 故答案為：4込. 19. 解：如圖所示，把AADE移到ACFC處，連接AG, B A D 此時(shí) /DAE=/FCG, '：CF〃BD, AZBAC=ZFCA, :.ABAC -ZDAE=ZFCA -ZFCG=ZACG, 設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是1, 由勾股定理得：CG2=12+32 = 10, AC2=AG2=12+

29、22=5, .??AC2+AG2 = CG2, AC=AG, AZCAG=90°, 即AACG是等腰直角三角形， .??ZACG=45°, AZBAC-ZDAE=45°, 故答案為：45 °. 20. 解：A、12+12工（］瓦2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意； B、 62+82工（11） 2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意； C、 32+42 = 52，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意； D、 12+32工（T虧）2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意. 故選：C. 21. 解：當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1, 4, 5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是J 當(dāng)選取的三塊紙

30、片的面積分別是2 , 3 , 5時(shí),圍成的直角三角形的面積是 _于； 當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3 , 4 , 5時(shí)，圍成的三角形不是直角三角形； 當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2 , 2 , 4時(shí),圍成的直角三角形的面積是 _j, 2 2 ??至 ???所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2, 3, 5, 故選：B. 22. 解：5s時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2X5 = 10 (cm),即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)D重 合)， 動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2.8X5 = 14 (cm), 因?yàn)?DC=BC=BA=5cm, 所以點(diǎn) Q 在 BA 上，且 BQ=1

31、4 - 10=4 (cm). 在 ABPQ 中，因?yàn)?BP=5cm, BQ=4cm, PQ=3cm, 所以 BQ2+PQ2=42+32 = 25=BP2, 所以ABPQ是直角三角形，且ZBQP=90°, 所以 ZAQP=180°-90°=90°, 所以兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5s時(shí)，AAPQ是直角三角形. 23. 解：連接AC. VZABC=90°, AB=1, BC=2, .??AC= l 5, 在AACD 中，AC2+CD2=5+4=9=AD2, ???△ACD是直角三角形， ???S 四邊形cd=*ab?bc+*ac?cd， =2x1X2+丄 Xl'5X2, 2 2

32、= 1+i 5. 故四邊形ABCD的面積為1+1 5. A 24. (1)解：?.?RtAABC 中，ZC=90°, BC=2, AB=' / 13, ???AC=3. (2)證明：???在△ABC 中，BC=1, AC=；g, AB=2, BC2+AC2=12+ (I g) 2=4=22=AB2, ? ZC=90°, ? △ABC為直角三角形. 25. 解：(1)在 ABCD中，因?yàn)镃D丄AB, 所以 BD2+CD2=BC2. 所以 CD2=BC2 -BD2=152 - 92=144. 所以CD=12. (2) 在AACD中，因?yàn)镃D丄AB, 所以 CD2

33、+AD2=AC2. 所以 AD2=AC2 - CD2=202 - 122=256. 所以AD=16. 所以 AB=AD+BD = 16+9 = 25. (3) 因?yàn)锽C2+AC2= 152+202=625, AB2=252=625, 所以 AB2=BC2+AC2. 所以△ABC是直角三角形. 五. 勾股定理的應(yīng)用 26. 解:TAB=30, AC=40, BC=50, ?AB2+AC2=BC2, ? ZBAC=90°, ? a°=90°-40°=50°, ? a=50, 故答案為：50. 27. 解：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AC=13 (cm). 即鐵

34、條最長(zhǎng)可以是13cm. 故答案是：13. 28. 解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角, :.ZAOB=90°, 又°.°OA = 15m, OB = 8m, .°.AB=17 (m). 故選：C. 29?解：由題意知 AB = CE=3, BC=AE= 8,ZBCE=ZE= 90 °, DC//BG, 過(guò)點(diǎn)C作CF丄BG于F,如圖所示： .??ZDCF=90°, 設(shè) DE=x,則 AD=8-x, 根據(jù)題意得：* (8-x+8)X3X3 = 3X3X5, 解得:x=6, :.DE=6, VZE=90°, 由勾股定理得：CD=3T 5, VZBCE=ZDCF=90

35、°, :.ZDCE=ZBCF=90°-ZBCD, VZDEC=ZBFC=90°, 故選：B. 30.解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度最短, ：.h=BD=8 (cm)； 當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)， 在 RtAABD 中，AD=15cm, BD=8cm, :.AB=17 (cm), 所以h的取值范圍是：8cmWhW17cm. VDA丄AB 于 A, CB丄AB 于 B, AZA=ZB=90°, ???C、D兩村到E站的距離相等， ：?DE=CE，即 DE2 = CE2, 由勾股定理，得 15

36、2+x2=102+ (25 -x) 2, 解得，x=10. 故：E點(diǎn)應(yīng)建在距A站10千米處. 32. 解：(1)是，理由如下： .4 由題意可知，△ABC是直角三角形， ?AC=8m, AB=DE=10m, 由勾股定理得，BC=6 (m)， ? AD=2m， ：CD=AC-AD = 8 - 2 = 6 (m)， ：?CE=8 (m)， ：?BE=CE-BC=8 - 6=2 (m)， ?:大樹(shù)的另一端點(diǎn)也向左滑動(dòng)了 2m； (2)不一定，理由如下： ? AD=am, :.CD=AC-AD=(8 - a) m, 解得：a = 2或a=0 (舍去)， ???

37、只有當(dāng)a=2時(shí)，大樹(shù)的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)了 am,那么大樹(shù)的另一端點(diǎn)也向左滑 動(dòng)了 am. 33. 解：連接AC. 由勾股定理可知：AC=5, 又 J AG+BC2=52+122=132=AB2, ???△ABC是直角三角形， ???這塊地的面積=△ABC的面積-AACD的面積=^-X5X12 ^-X3X4 = 24 (米2). 34. 解：在 RtAABC 中，AC=30m, AB=50m； 根據(jù)勾股定理可得：BC=40 4n .?.小汽車(chē)的速度為 v=， =20 (m/s)=20X3.6 (km/h)=72 (km/h)； *.*72 (km/h)>70 (k

38、m/h)； ???這輛小汽車(chē)超速行駛. 答：這輛小汽車(chē)超速了. 35. 解：???甲輪船以20海里/時(shí)的速度向南偏東45°方向航行，乙輪船向南偏西45°方向 航行， ?AO 丄 BO, ??甲以20海里/時(shí)的速度向南偏東45°方向航行， ? OB=20X2=40 (海里)， ?AB=50 海里， 在 Rt^AOB 中，AO=30 ???乙輪船平均每小時(shí)航行30^2=15海里. 六?平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題 36. 解:(1)只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如 第1個(gè)圖: T長(zhǎng)方體的寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm,

39、 .°.BD = CD+BC= 10+5 = 15 (cm), AD=20 (cm), 在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得： /.AB=25 (cm)； ??.螞蟻爬行的最短距離是25 (cm). 故答案為：25； A 20 D 10 C 37. 解：如圖：將圓柱展開(kāi)，EG為上底面圓周長(zhǎng)的一半, 作A關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交EG于F,則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF =20cm， 延長(zhǎng)BG,過(guò)A'作A'D丄BG于D， °.°AE=A'E=DG=4cm, ?.BD = 16cm, RtAA'DB中，由勾股定理得：AD=12cm, ?:則該圓柱底面周長(zhǎng)為24cm. 故選：D.