北師大版八年級上《第1章勾股定理》單元測試含答案解析

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1、《第1章 勾股定理》 　 一、選擇題 1．若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（　?。? A．13 B．13或 C．13或15 D．15 2．下列各組線段中，能構成直角三角形的是（　?。? A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 3．如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜邊長是（　?。? A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1 4．以下列各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有（　?。? （1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05． A．1個 B．2個

2、C．3個 D．4個 5．等腰三角形的腰長為10，底長為12，則其底邊上的高為（　?。? A．13 B．8 C．25 D．64 6．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（　?。? A． B． C． D． 7．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（　?。? A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 8．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（　　） A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 9．△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空

3、地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資金（　　） A．50a元 B．600a元 C．1200a元 D．1500a元 10．如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長為（　?。? A．12 B．7 C．5 D．13 　 二、填空題 11．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要　　米． 12．在直角三角形ABC中，斜邊AB=2，則AB2+AC2+BC2=　?。? 13．直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周

4、長為　　cm． 14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是　?。? 15．如圖，在校園內有兩棵樹，相距12m，一棵樹高13m，另一棵樹高8m，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛　　m． 16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分線交BC于D．若BC=8，AD=5，則AC等于　?。? 17．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，陰影部分的面積是　?。? 18．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，

5、B，C，D的面積之和為　　cm2． 　 三、解答題 19．如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求該四邊形的面積． 20．如圖，已知一等腰三角形的周長是16，底邊上的高是4．求這個三角形各邊的長． 21．如圖所示的一塊地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積． 22．如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？ 23．如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該

6、市正南方向100km的B處有一臺風中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？ 　 《第1章 勾股定理》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（　?。? A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【考點】勾股定理． 【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既

7、可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：當12是斜邊時，第三邊是=； 當12是直角邊時，第三邊是=13． 故選B． 【點評】如果給的數(shù)據(jù)沒有明確，此類題一定要分情況求解． 　 2．下列各組線段中，能構成直角三角形的是（　?。? A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 【考點】勾股定理的逆定理． 【專題】計算題． 【分析】判斷是否為直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可． 【解答】解：A、22+32=13≠42，故A選項構成不是直角三角形； B、

8、32+42=25≠62，故B選項構成不是直角三角形； C、52+122=169=132，故C選項構成是直角三角形； D、42+62=52≠72，故D選項構成不是直角三角形． 故選：C． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可． 　 3．如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜邊長是（　?。? A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理直接解答即可． 【解答】解：兩條直角邊與斜邊滿足勾股定理，則斜邊長是： ===n

9、2+1． 故選D． 【點評】本題主要考查了勾股定理，解決本題的關鍵是正確對（n2﹣1）2+（2n）2進行分解因式． 　 4．以下列各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有（　?。? （1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】符合勾股定理的逆定理是直角三角形． 【解答】解：（1）∵32+42=52，∴是直角三角形，故（1）正確； （2）∵，∴不是直角三角形，故（2）錯誤； （3）∵，∴不是直角三角形，故（3）錯誤； （4）∵0.032+0.042=0.

10、052，∴是直角三角形，故（4）正確． 根據(jù)勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正確． 故選：B． 【點評】本題考查了直角三角形的判定：當三角形的三邊之間有a2+b2=c2時，則它是直角三角形． 　 5．等腰三角形的腰長為10，底長為12，則其底邊上的高為（　?。? A．13 B．8 C．25 D．64 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質． 【專題】計算題． 【分析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質和勾股定理即可求出此高的長度． 【解答】解：作底邊上的高并設此高的長度為x，根據(jù)勾股定理得：62+x2=102， 解得：x=8． 故選B． 【點評】本題考點：等腰三角形

11、底邊上高的性質和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直線為底邊的中垂線．然后根據(jù)勾股定理即可求出底邊上高的長度． 　 6．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可． 【解答】解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正確； B、72+242=252，152+202≠242，故B不正確； C、72+242=252，152+202=2

12、52，故C正確； D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正確． 故選：C． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形． 　 7．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（　?。? A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 【考點】三角形的面積． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】根據(jù)求差法，讓大正方形面積減去周圍四個直角三角形的面積即可解答． 【解答】解：如圖：小方格都是邊長為1的

13、正方形， ∴四邊形EFGH是正方形，S□EFGH=EF?FG=5×5=25 S△AED=DE?AE=×1×2=1， S△DCH=?CH?DH=×2×4=4， S△BCG=BG?GC=×2×3=3， S△AFB=FB?AF=×3×3=4.5． S四邊形ABCD=S□EFGH﹣S△AED﹣S△DCH﹣S△BCG﹣S△AFB=25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5． 故選：B． 【點評】本題考查的是勾股定理的運用，根據(jù)圖形可以求出此大正方形的面積和三角形的面積，再用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，此題的解法很多，需同學們仔細解答． 　 8．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足

14、（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀． 【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故選：C． 【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 　 9．△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資金（　　） A．50a元 B．600a元 C．1200a元 D．1

15、500a元 【考點】勾股定理的應用． 【分析】此題首先由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊BC，再求出面積，從而得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米， ∴BC==40米， 共需要資金為：×40×30?a=600a元． 故選：B． 【點評】此題考查的知識點是勾股定理的應用，解題的關鍵是先由已知結合勾股定理求出另一條直角邊，再求出面積即得答案． 　 10．如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長為（　?。? A．12 B．7

16、C．5 D．13 【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質；勾股定理． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)△BCE等腰直角三角形得出BC的長，進而可得出BD的長，根據(jù)△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的長． 【解答】解：∵△BCE等腰直角三角形，BE=5， ∴BC=5， ∵CD=17， ∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴AB=BD=12， 在Rt△ABC中， ∵AB=12，BC=5， ∴AC===13． 故選D． 【點評】本題考查的是等腰直角三角形的性質及勾股定理，熟知等腰三角形兩

17、腰相等的性質是解答此題的關鍵． 　 二、填空題 11．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要　7　米． 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用題． 【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 樓梯的水平寬度==4， ∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和， 地毯的長度至少是3+4=7米． 故答案為7． 【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯(lián)系，加深了學生學習數(shù)學的積極性． 　 12．

18、在直角三角形ABC中，斜邊AB=2，則AB2+AC2+BC2=　8?。? 【考點】勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理根據(jù)斜邊AB的長，可得出AB的平方及兩直角邊的平方和，然后將所求式子的后兩項結合，將各自的值代入即可求出值． 【解答】解：∵△ABC為直角三角形，AB為斜邊， ∴AC2+BC2=AB2，又AB=2， ∴AC2+BC2=AB2=4， 則AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8． 故答案為：8 【點評】此題考查了勾股定理的運用，勾股定理為：直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，熟練掌握勾股定理是

19、解本題的關鍵． 　 13．直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為　24　cm． 【考點】勾股定理． 【分析】設直角三角形的三邊邊長分別為2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，據(jù)此列出關于n的方程，求出符合題意n的值，即求出了直角三角形的三邊長，之后求出周長即可． 【解答】解：設直角三角形的三邊邊長分別為2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得： （2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2， 解得：n1=4，n2=0（不合題意舍去）， 即：該直角三角形的三邊邊長分別為6cm，8cm，10cm． 所以，其周長為6+8+10=24cm． 【點評】

20、本題主要考查了運用直角三角形的性質的能力，關鍵在于運用勾股定理得出三邊之間的關系，根據(jù)題意求出三邊的邊長．周長=三邊之和，求出周長． 　 14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是　　． 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，即可求出半圓的半徑，求出面積即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴由勾股定理得：AB=5， 即半圓的半徑為， 所以半圓的面積為×π×（）2=π， 故答案為：π． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解此題的關鍵是求出半圓的半徑，注意：直角三角形

21、的外接圓的半徑等于斜邊的一半，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 15．如圖，在校園內有兩棵樹，相距12m，一棵樹高13m，另一棵樹高8m，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛　13　m． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出． 【解答】解：兩棵樹高度相差為AE=13﹣8=5m，之間的距離為BD=CE=12m，即直角三角形的兩直角邊，故斜邊長AC==13m，即小鳥至少要飛13m． 【點評】本題主要是將小鳥的飛行路線轉化為求直角三

22、角形的斜邊，利用勾股定理解答即可． 　 16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分線交BC于D．若BC=8，AD=5，則AC等于　4?。? 【考點】線段垂直平分線的性質；勾股定理． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質可求得BD的長，從而求得CD的長，再根據(jù)勾股定理即可求得AC的長． 【解答】解：∵AB垂直平分線交BC于D，AD=5， ∴BD=AD=5， ∵BC=8， ∴CD=BC﹣BD=3， ∴AC==4， 故答案是：4． 【點評】本題考查了線段垂直平分線定理以及勾股定理．求得AD=BD是解題的關鍵． 　 17．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且

23、AE=3，BE=4，陰影部分的面積是　19　． 【考點】勾股定理；正方形的性質． 【專題】計算題． 【分析】在直角三角形ABE中，由AE與BE的長，利用勾股定理求出AB的長，由正方形面積減去直角三角形面積求出陰影部分面積即可． 【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，AE=3，BE=4， 根據(jù)勾股定理得：AB==5， 則S陰影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19， 故答案為：19． 【點評】此題考查了勾股定理，以及正方形的性質，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵． 　 18．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

24、形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為　49　cm2． 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積． 【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積， 故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2． 故答案為：49cm2． 【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換． 　 三、解答題 19．如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求該四邊形的面積． 【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】由AB=

25、4，BC=3，∠B=90°可得AC=5．可求得S△ABC；再由AC=5，AD=13，CD=12，可得△ACD為直角三角形，進而求得S△ACD，可求S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，則有AC==5． ∴S△ABC=AB?BC=×4×3=6． 在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12． ∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169． ∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD為直角三角形， ∴S△ACD=AC?CD=×5×12=30． ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36． 【點評】

26、此題主要考查勾股定理和逆定理的應用，還涉及了三角形的面積計算． 　 20．如圖，已知一等腰三角形的周長是16，底邊上的高是4．求這個三角形各邊的長． 【考點】等腰三角形的性質；勾股定理． 【分析】由于等腰三角形中底邊上的高平分底邊，故周長的一半為AB與BD的和，可設出未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解． 【解答】解：設BD=x，則AB=8﹣x 由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是（8﹣x）2=x2+42， ∴x=3， ∴AB=AC=5，BC=6． 【點評】本題利用了等腰三角形的性質：底邊上的高平分底邊，及勾股定理求解． 　 21．如圖所示的一塊地，∠ADC

27、=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積． 【考點】勾股定理的應用；三角形的面積． 【專題】計算題． 【分析】連接AC，根據(jù)直角△ACD可以求得斜邊AC的長度，根據(jù)AC，BC，AB可以判定△ABC為直角三角形，要求這塊地的面積，求△ABC與△ACD的面積之差即可． 【解答】解：連接AC， 已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m， 根據(jù)AD2+CD2=AC2，可以求得AC=15m， 在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m， ∴存在AC2+CB2=AB2， ∴△ABC為直角三角形， 要求這塊地的面積，求△A

28、BC和△ACD的面積之差即可， S=S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣CD?AD， =×15×36﹣×9×12， =270﹣54， =216m2， 答：這塊地的面積為216m2． 【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形面積的計算，本題中正確的判定△ABC是直角三角形是解題的關鍵． 　 22．如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？ 【考點】勾股定理的應用． 【專題】計算題． 【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根據(jù)勾股定理即可

29、求AC的長度，根據(jù)AC=AA1+CA1即可求得CA1的長度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的長度，根據(jù)BB1=CB1﹣CB即可求得BB1的長度． 【解答】解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m， 則AC==2.4m， ∵AC=AA1+CA1 ∴CA1=2m， ∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1為斜邊， ∴CB1==1.5m， ∴BB1=CB1﹣CB=1.5﹣0.7=0.8m 答：梯足向外移動了0.8m． 【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，考查了勾股定理在直角三角形中的正確運用，本題中求CB1的長

30、度是解題的關鍵． 　 23．如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？ 【考點】勾股定理的應用． 【分析】首先根據(jù)勾股定理計算BD的長，再根據(jù)時間=路程÷速度進行計算；再根據(jù)在30千米范圍內都要受到影響，先求出從點B到受影響的距離與結束影響的距離，再根據(jù)時間=路程÷速度計算，然后求出時間段即可． 【解答】解：∵AB=100km，AD=60km， ∴在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD==80km， 則臺風中心經(jīng)過80÷20=4小時從B移動到D點； 如圖，∵距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都會受到不同程度的影響， ∴人們要在臺風中心到達E點之前撤離， ∵BE=BD﹣DE=80﹣30=50km， ∴游人在=2.5小時內撤離才可脫離危險． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是利用勾股定理求出BD的長度，難度一般．