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1、第七章 總體參數(shù)估計,Population Parameter Estimation,第一節(jié) 總體均值與方差的點(diǎn)估計 （Point estimation of the population mean and variance）,一、點(diǎn)估計和區(qū)間估計 (point estimation and interval estimation) 1.點(diǎn)估計 點(diǎn)估計：當(dāng)總體參數(shù)不清楚時，用一個特定值（一般用樣本統(tǒng)計量）對其進(jìn)行估計，稱為點(diǎn)估計。 2區(qū)間估計 區(qū)間估計：是指用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍。,概括地說：,經(jīng)常需要對總體進(jìn)行估計的兩個數(shù)字特征是：總體的均值和方差。如果將總體的均
2、值和方差視為數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，這種估計稱為點(diǎn)估計。如果要求估計總體的均值或方差將落在某一段數(shù)值區(qū)間，這種估計稱為區(qū)間估計。,二、用樣本平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,1. 用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù) 樣本平均數(shù)是總體均值的良好估計。。 公式：,2. 用樣本方差估計總體方差,同理，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計總體標(biāo)準(zhǔn)差,3. 一個好的樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的要求,無偏性 是指如果用多個樣本的統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計值時，有的偏大，有的偏小，而偏差的平均數(shù)為0，這時，這個統(tǒng)計量就是無偏估計量。 一致性 是指當(dāng)樣本容量無限增大時，估計值應(yīng)能越來越接近它所估計的總體參數(shù)。 即: 當(dāng)N時, X
3、, S2n-12。,,有效性 是指當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計不止一個統(tǒng)計量時，無偏估計變異性小者有效性高，變異大者有效性低。 充分性 是指一個容量為n的樣本統(tǒng)計量，是否充分地反映了全部n個數(shù)據(jù)所反映總體的信息，這就是充分性。,4舉例,（1）一項(xiàng)關(guān)于贊同提高汽油稅的調(diào)查 用計算機(jī)隨機(jī)從一個投贊同票的人數(shù)為60%的總體中抽出10個樣本，每個樣本容量為500個觀測值，算出每個樣本中贊同提高汽油稅的人的百分比，其結(jié)果如下： 58.0 57.8 61.0 59.4 55.8 63.2 59.0 60.6 57.4 58.6,（2）二戰(zhàn)中德國人制造了多少輛坦克？,問題： 在第二次世界大戰(zhàn)進(jìn)行過程
4、中，盟軍繳獲了一些德軍的坦克，并記錄了他們的生產(chǎn)編號。怎樣用這些號碼來估計德軍坦克的總數(shù)呢？,解決問題的思路：,設(shè)定總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計量 在這個問題中，總體參數(shù)是未知的生產(chǎn)出的坦克總數(shù)N，而樣本則是繳獲的坦克編號。 對坦克總數(shù)的估計 首先我們能夠肯定：制造出來的坦克總數(shù)肯定大于等于記錄中的最大編號。,解決方法：,2種點(diǎn)估計方法： （1）求出被繳獲的坦克編號的平均值，并把它作為全部編號的中點(diǎn)。然后將樣本均值乘以2就是總數(shù)的一個估計值。 估計坦克總數(shù)N的公式： N=全部編號的均值2,,前提條件：是先要假設(shè)繳獲的坦克代表了所有坦克的一個隨機(jī)樣本 缺點(diǎn)：不能保證均值的2倍一定大于記錄中的最大編號
5、，故常常低估真值。,（2） 估計N的另一個點(diǎn)估計公式,用觀測到的最大編號乘以因子11/n，其中n是被繳獲的坦克個數(shù)。 公式： N=（11/n）最大編號 此種方法的前提是我們認(rèn)為實(shí)際數(shù)略大于最大編號。,,例如，繳獲了10輛坦克，其中最大編號是50，那么坦克總數(shù)的估計值是： N=（11/n）50=55,第二節(jié) 總體平均值的區(qū)間估計（Interval estimation of the population mean）,一、基本概念 總體均值的區(qū)間估計，置信度，置信區(qū)間： 日常用語表達(dá)： 就是估計總體均值可能在什么范圍之內(nèi)。 精確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)： 總體均值的區(qū)間估計就是確
6、定總體均值將以特定概率落入其間的數(shù)值界限。 這個特定概率稱為置信度（或稱顯著性水平），用表示，這個數(shù)值界限稱為置信界限，置信界限上下限之間的區(qū)間，稱為置信區(qū)間。,二、總體方差2已知，對總體平均數(shù)的估計,1計算公式 如果一個隨機(jī)變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(=0，2=1的正態(tài)分布), 那么 P-1.96
7、Ex表達(dá)式代入下式： P-1.96
8、確定查何種統(tǒng)計表 （5）確定并計算置信區(qū)間 （6）解釋總體均數(shù)的置信區(qū)間。,4課堂練習(xí),例，某弱智兒童學(xué)校的學(xué)生智力水平低于正常兒童，假設(shè)該校學(xué)生的智商分?jǐn)?shù)遵從正態(tài)分布，抽查10名學(xué)生的智力水平，測得智商如下: 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79 （1）試估計該校學(xué)生智商分?jǐn)?shù)的平均值 （2）如果知道該校學(xué)生智商分?jǐn)?shù)的方差為25，試找出該校學(xué)生平均智商的置信區(qū)間。,二、總體方差2未知時，對總體平均數(shù)的估計,1求標(biāo)準(zhǔn)誤計算標(biāo)準(zhǔn)誤的公式為： 樣本n30則仍用正態(tài)分布。,2利用t分布估計總體平均值的置信區(qū)間的解題步驟,條件為：總體為正態(tài)
9、分布，XN(,2)，當(dāng)總體方差2未知時，求總體平均值的置信區(qū)間步驟： （1）由樣本容量為n的隨機(jī)變量X的值X1，X2，X3，，Xn求出X，S，自由度df=n-1； （2）求出SEx=S/n-1； （3）確定顯著性水平，查t值分布表，找出臨界值；,,（4）由于 P t =0.95， 將公式t=（X-)/SEx代入上式，得： P （X-)/SEx =0.95 整理得： PX-SEx X+SEx=0.95 分別求出： X-Sn-1/ n和X+ Sn-1/ n （5）求出總體平均值的置信區(qū)間： X-SEx ，X+SEx,3課堂練習(xí),例1：對某校學(xué)生的智商水平進(jìn)行抽樣測查，共
10、測量了20名學(xué)生，所得智商分?jǐn)?shù)如下：90，92，94，95，97，98，99，101，101，102，103，104，105，105，106，110，115，120，88，85。 問該校學(xué)生平均智商分?jǐn)?shù)在什么范圍內(nèi)? 給出平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差： X=Xi/n=100.5 S2n-1 =(Xi-X) 2/(n-1)=76,第三節(jié) 2分布與總體方差的區(qū)間估計,一、利用2分布估計總體方差2的置信區(qū)間 （1）樣本方差已知 已知：2=（n-1）S2n-1/2，置信度為0.05 在橫軸上設(shè)2個臨界點(diǎn)1和2，使： P1 2 2=0.95， 將上式代入，得： P1 (n-1)S2n-1 /2 2
11、=0.95 2邊同除(n-1) S2n-1得： 1/(n-1) S2n-1 1/2 2/(n-1) S2n-1,,得總體方差2的置信區(qū)間： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 寫成： (n-1)S2/2，(n-1)S2/1 其中：1為2/2，2為21-/2 (n-1)S2/2/2，(n-1)S2/21-/2,（2）樣本方差未知,因?yàn)椋海╪-1）S2=（Xi-X）2 若樣本方差S2未知，則用下式估計總體方差2的置信區(qū)間： （Xi-X）2/2 2 （Xi-X）2/1 則總體方差2的置信區(qū)間： （Xi-X）2/2，（Xi-X）2/1 其中： 1= 21-
12、/2 ， 2= 2/2,二、課堂練習(xí),例：根據(jù)30名被試的視反應(yīng)時的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，計算出視反應(yīng)時的方差為900毫秒，試估計當(dāng)置信度為0.05時，總體方差的置信區(qū)間。,第四節(jié) F分布與二總體方差之比的區(qū)間估計,一、利用F分布估計二總體方差之比的置信區(qū)間公式 由F分布知：F=S2n1-1/S2n2-1，服從F分布，且df1=n1-1，df2=n2-1。 又知樣本方差S2是總體方差的無偏估計，其之比S2n1-1/S2n2-1是圍繞總體方差之比12/22上下波動，故二總體方差12=22 二個樣本的總體方差相等的區(qū)間估計則用下式： 12/22=1 而不用 12-22=0,,由于F分布不是對稱
13、分布，若F分布右側(cè)一端的概率為： F=S2n1-1/S2n2-1， 則另一側(cè)的概率可用： F=1/F= S2n2-1/S2n1-1,11222,212=22,二、課堂練習(xí),例：8名男女生在某項(xiàng)心理實(shí)驗(yàn)中所得測量結(jié)果的方差分別為1.12和4.98。問男女生測量值的總體方差是否相等。,樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)小結(jié)：,1.點(diǎn)估計 用樣本平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 公式：,2. 區(qū)間估計,（1）樣本平均數(shù)對總體平均數(shù)的區(qū)間估計 A?？傮w方差2已知，對總體平均數(shù)的估計 標(biāo)準(zhǔn)誤： SEx=/n Z值： Z=（X-）/SEx 求解總體平均值估計的公式： PX-1.
14、96SEx<
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