人教版九上數(shù)學(xué) 第二十二章 專題二次函數(shù)的圖形與abc的關(guān)系

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1、 人教版九上數(shù)學(xué) 第二十二章 專題二次函數(shù)的圖形與a，b，c的關(guān)系 1. 如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c 圖象的一部分，且過點(diǎn) A3,0，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線 x=1．下列結(jié)論中正確的是 ?? A． b2<4ac B． ac>0 C． 2a-b=0 D． a-b+c=0 2. 二次函數(shù) y=ax2+bx+ca≠0 的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是 ?? A． abc>0 B． 2a+b<0 C． 3a+c<0 D． ax2+bx+c-3=0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 3. 已知拋物線 y=ax2+bx+c（a，b，c

2、 是常數(shù)，a≠0，c>1）經(jīng)過點(diǎn) 2,0），其對稱軸是直線 x=12．有下列結(jié)論：① abc>0；②關(guān)于 x 的方程 ax2+bx+c=a 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；③ a<-12．其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ?? A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 4. 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的有 ?? ① abc<0；② b2-4ac<0；③ 2a>b；④ a+c2

3、 4a+2b+c>0；② 5a-b+c=0；③ ax+5x-1=-1 有兩個根 x1 和 x2，且 x10 時，-1

4、1 B． 2 C． 3 D． 4 7. 如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，OA=OC，則由拋物線的特征寫出如下結(jié)論： ① abc>0； ② 4ac-b2>0； ③ a-b+c>0； ④ ac+b+1=0． 其中正確的個數(shù)是 ?? A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 8. 拋物線 y=ax2+bx+c 的對稱軸為直線 x=-1，部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：① abc>0；② b2-4ac>0；③ 9a-3b+c=0；④若點(diǎn) -0.5,y1，-2,y2 均在拋物線上，則 y1>

5、y2；⑤ 5a-2b+c<0．其中正確的個數(shù)是 ?? A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 9. 已知拋物線 y=ax2+bx+c0<2a≤b 與 x 軸最多有一個交點(diǎn)．有以下四個結(jié)論：① abc>0；②該拋物線的對稱軸在直線 x=-1 的右側(cè)；③關(guān)于 x 的方程 ax2+bx+c+1=0 無實(shí)數(shù)根；④ a+b+cb≥2．其中正確結(jié)論的個數(shù)為 ?? A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 10. 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：① a+c20；④如果一元二次方程 ax2+bx+c=

6、-3 有兩個實(shí)根 x1，x2，那么 x1+x2=1．其中錯誤的結(jié)論是 ．（填寫序號） 11. 如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+ca≠0 的圖象的對稱軸是直線 x=1，且經(jīng)過 0,2，有下列結(jié)論：① ac>0；② b2-4ac>0；③ a+c<2-b；④ a<-14；⑤ x=-5 和 x=7 時函數(shù)值相等．其中正確的結(jié)論有 ．（填寫序號） 12. 在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=ax2+bx+ca≠0 的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：① abc<0；② c+2a<0；③ 9a-3b+c=0；④ a-b≥mam+b（m 為實(shí)數(shù)）；⑤ 4ac-b2<0．其中錯誤的結(jié)

7、論是 ．（填寫序號） 答案 1. 【答案】D 2. 【答案】C 【解析】由函數(shù)圖象開口向下知 a<0，由對稱軸為直線 x=-b2a=1 得出 b=-2a， ∵a<0， ∴b>0，當(dāng) x=0 時，函數(shù)圖象與 y 軸的交點(diǎn)在 y 軸正半軸上， ∴c>0， ∴abc<0，故A選項錯誤；由 b=-2a 得 2a+b=0，故B選項錯誤； 當(dāng) x=-1 時，由圖象可知 a-b+c<0， ∵b=-2a， ∴a--2a+c<0，即 3a+c<0，故C選項正確； 由圖象可知，ax2+bx+c-3=0 相當(dāng)于將函數(shù)圖象向下平移 3 個單位長度，此時與 x 軸有

8、一個交點(diǎn)， ∴ax2+bx+c-3=0 有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故D選項錯誤． 3. 【答案】C 4. 【答案】A 【解析】根據(jù)圖象的開口可確定 a<0．再結(jié)合對稱軸，可確定 b<0，根據(jù)圖象與 y 軸的交點(diǎn)位置，可確定 10，故②錯誤； 由對稱軸為直線 x=-b2a，得 -1<-b2a<0，從而推出 b>2a，故③錯誤； a+c2-b2=a+b+ca-b+c，因為 x=1 時，a+b+c<0，x=-1 時，a-b+c>0，所以 a+c2-b2<0，即 a+c2

9、. 【答案】B 【解析】 ∵ 拋物線的開口向上， ∴a>0， ∵ 拋物線的對稱軸是直線 x=-2， ∴-b2a=-2，即 b=4a． 將頂點(diǎn)坐標(biāo) -2,-9a 代入拋物線的函數(shù)解析式，得 4a-2b+c=-9a， ∴c=2b-13a，可得 c=-5a， ∴ 拋物線的函數(shù)解析式為 y=ax2+4x-5，即 y=ax+5x-1． ①當(dāng) x=2 時，y=4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0，可知結(jié)論①正確； ② 5a-b+c=5a-4a-5a=-4a<0，可知結(jié)論②錯誤； ③ x1，x2 可看作拋物線 y=ax+5x-1 與直線 y=-1 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象

10、可知 -50，故③錯誤；因為點(diǎn) A 與點(diǎn) B 關(guān)于直線 x=1 對稱，所以 A3,0，根據(jù)圖象可

11、知，當(dāng) y>0 時，-10， ∵ 對稱軸在 y 軸右側(cè)，a，b 異號， ∴b<0， ∵ 拋物線與 y 軸交點(diǎn)在 x 軸下方， ∴c<0，則① abc>0 正確； 圖象與 x 軸有兩個交點(diǎn)，則 b2-4ac>0，即 4ac-b2<0，則②錯誤； 當(dāng) x 取 -1 時，y 值大于 0，即③ a-b+c>0 正確； 易知 C0,c，則 OC=∣c∣， ∵OA=OC=∣c∣， ∴ 將 c,0 代入拋物線解析式得 ac2+bc+c=0，又 c≠0， ∴ ④ ac+b+1=0 正確

12、． 因此正確的個數(shù)是 3． 8. 【答案】B 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得 a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①錯誤； ∵ 拋物線與 x 軸有兩個交點(diǎn)，∴b2-4ac>0，故②正確； ∵ 拋物線的對稱軸為直線 x=-1，與 x 軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為 1,0 ∴，根據(jù)拋物線的對稱性，知另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為 -3,0，把 -3,0 代入二次函數(shù)解析式，可得 9a-3b+c=0，故③正確； 點(diǎn) -0.5,y1 關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 -1.5,y1，拋物線開口向上，對稱軸為直線 x=-1，在對稱軸左側(cè)，y 隨 x 的增大而減小，由 -2<-1.5，知 y

13、10，∴5a-2b+c=-2a<0，故⑤正確． 9. 【答案】C 【解析】因為 y=ax2+bx+c0<2a≤b， 所以 a>0，b>0， 因為拋物線與 x 軸最多有一個交點(diǎn)， 所以 4ac-b24a=c-b24a≥0，c>0， 所以 abc>0，故①正確； 因為 0<2a≤b，-b2a≤-1， 所以該拋物線的對稱軸為直線 x=-1 或在直線 x=-1 的左側(cè)，故②錯誤； 因為 a>0，拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸最多有一個交點(diǎn)， 所以拋物

14、線在 x 軸上方或與 x 軸有唯一交點(diǎn)，即 ax2+bx+c≥0， 所以關(guān)于 x 的方程 ax2+bx+c+1=0 無實(shí)數(shù)根，故③正確； 因為拋物線與 x 軸最多有一個交點(diǎn)且 a>0， 所以 x=-1 時，a-b+c≥0， 所以 a+b+c≥2b，又 b>0， 所以 a+b+cb≥2，故④正確， 故選C． 10. 【答案】④ 【解析】由圖象可得，-b2a=1，a<0，b>0，c<0， ∴b=-2a，a+c<0，-b<0． ∵x=1 時，y=a+b+c>0；x=-1 時，y=a-b+c<0， ∴a+c>-b，a--2a+c<0， ∴∣a+c∣<∣-b∣，3a

15、+c<0，故②正確； ∴a+c2<-b2，即 a+c20，b=-2a， ∴a+b+c=-b2+b+c=b2+c>0， ∴b+2c>0，故③正確； 如果一元二次方程 ax2+bx+c=-3 有兩個實(shí)根 x1，x2，則 x1+x2=-ba=--2aa=2，故④錯誤． 11. 【答案】②④⑤ 【解析】 ∵ 拋物線開口向下， ∴a<0， ∵ 拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方， ∴c>0， ∴ac<0，故①錯誤； ∵ 拋物線與 x 軸有 2 個交點(diǎn)， ∴b2-4ac>0，故②正確； ∵ 拋物線

16、的對稱軸為直線 x=1， ∴x=1 時，y 最大，即 a+b+c>2， ∴a+c>2-b，故③錯誤； ∵x=-2 時，y<0， ∴4a-2b+c<0， 又 -b2a=1，c=2， ∴4a+4a+2<0， ∴a<-14，故④正確； ∵ 拋物線的對稱軸為直線 x=1， ∴x=-5 和 x=7 時函數(shù)值相等，故⑤正確． 故答案為②④⑤． 12. 【答案】④ 【解析】 ∵ 拋物線開口向上， ∴a>0． ∵ 對稱軸為直線 x=-1， ∴-b2a=-1， ∴b=2a>0． ∵ 拋物線與 y 軸負(fù)半軸相交， ∴c<0， ∴abc<0，

17、①正確； ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) 1,0， ∴a+b+c=0． ∵b=2a， ∴a+2a+c=0， ∴c+2a=-a<0，②正確； 設(shè)拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸的另一個交點(diǎn)為 x1,0， ∵ 拋物線的對稱軸為直線 x=-1， ∴x1+12=-1，解得 x1=-3， ∴ 拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 -3,0， ∴0=a×-32+b×-3+c， ∴9a-3b+c=0，③正確； ∵ 當(dāng) x=-1 時，y=ax2+bx+c=a-b+c， ∴ 拋物線的頂點(diǎn)為 -1,a-b+c， ∴ 函數(shù) y=ax2+bx+c 的最小值為 a-b+c． 當(dāng) x=m 時，y=ax2+bx+c=am2+bm+c， ∴a-b+c≤am2+bm+c， ∴a-b≤am2+bm，④不正確； ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸有兩個公共點(diǎn)， ∴b2-4ac>0， ∴4ac-b2<0，故⑤正確．