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人教版九上數(shù)學(xué) 第二十四章 方法技巧 弧中點(diǎn)用法
1. 如圖，AB 是半圓 O 的直徑，AD 是弦，C 是 AD 的中點(diǎn)，CE⊥AB 于點(diǎn) E，交 AD 于點(diǎn) F．求證：AF=CF．
2. 如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，AD 是弦，C 是優(yōu)弧 AD 的中點(diǎn)，CE⊥BD 于點(diǎn) E，BE=1，AB=6，求 BD 的長．
3. 如圖，在半徑為 3 的 ⊙O 中，AB 是直徑，AC 是弦，D 是 AC 的中點(diǎn)，AC 與 BD 交于點(diǎn) E．若 E 是 BD 的中點(diǎn)，求 AC 的長．
4. 如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，C，P 是 AB 上兩點(diǎn)，AB=13，AC
2、=5，若 P 是 BC 的中點(diǎn)，求 PA 的長．
答案
1. 【答案】連接 AC，BC，
∵C 是 AD 的中點(diǎn)，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC，
∵AB 是 ⊙O 的直徑，CE⊥AB，
∴∠ACB=∠AEC=90°，∠ACE=∠ABC，
∴∠CAD=∠ACE，
∴AF=CF．
2. 【答案】連接 AC，DC，過點(diǎn) C 作 CF⊥AB 于點(diǎn) F．
∵C 是優(yōu)弧 AD 的中點(diǎn)，
∴AC=DC，
∴AC=DC，
∵CE⊥BD，CF⊥AB，
∴∠AFC=∠E=90°，
又 ∵∠CAB=∠CDB，
∴△ACF≌△DCE，
3、
∴BF=BE=1，AF=DE=6-1=5，
∴BD=DE-BE=5-1=4．
3. 【答案】連接 OD，交 AC 于 F，
∵D 是 AC 的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=12BC，
∵AB 是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△EFD≌△ECBAAS，
∴DF=BC，
∴OF=12DF，
∵OD=3，
∴OF=1，
∴BC=2，
在 Rt△ABC 中，AC2=AB2-BC2，
∴AC=AB2-BC2=62-22=42．
4. 【答案】方法一：連接 BC，OP，PB，
設(shè) BC 交 OP 于點(diǎn) E，OE=12AC=52．
∴PE=4，
可求 BC=12，
∴BE=CE=6，
∴PB2=PE2+BE2=52，
∴PA2=AB2-PB2=117，
∴PA=313．
【解析】方法二：連接 BC，OP，
設(shè) BC 交 OP 于點(diǎn) E．過 P 作 PM⊥AB 于點(diǎn) M，
易證 OP⊥BC，△OPM≌△OBE，
∴PM=BE=6，
在 Rt△POM 中可求 OM=2.5，
∴AM=9，
∴PA=AM2+PM2=313．
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