江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題6 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題6 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 回顧2008～2012年的考題，2008年第1題考查了三角函數(shù)的周期性，2009年第4題考查了函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和周期，2010年第10題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，2011年第9題考查了函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)，2012年沒有考查. 預(yù)測(cè)在2013年的高考題中： (1)填空題依然是考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，隨著題目設(shè)置的順序，難度不一. (2)在解答題中，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)的性質(zhì)依然是解答題第一題的考查點(diǎn)，也可能與解三角形或平面向量結(jié)合命題.

2、 1.(2011·江蘇高考) 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是________． 解析：由圖象可得A＝，周期為4×＝π，所以ω＝2.將代入得2×＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋，所以f(0)＝sin φ＝sin＝. 答案： 2．(2012·南京第二次模擬)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω的值為________． 解析：由圖可知函數(shù)的最大值為2，故A＝2.由f(0)＝，可得sin φ＝，而|φ|<，故φ＝；再由f＝2可得sin＝1，故＋＝＋2kπ，又>，即T>，故0<ω<6，故ω＝3.

3、 答案：3 3．定義在區(qū)間上的函數(shù)y＝6cos x的圖象與y＝5tan x的圖象的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y＝sin x的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為________． 解析：畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由y＝6cos x與y＝5tan x聯(lián)立成方程組得：6cos x＝5tan x，即6cos x＝，也即6sin2x＋5sin x－6＝0，解得sin x＝或sin x＝－(舍去)，故P1P2＝sin x＝. 答案： 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，給出以下四個(gè)論斷： ①它的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱； ②它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱； ③它的周期為π；

4、 ④在區(qū)間上是增函數(shù)． 以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題： (1)________________；(2)________________． 解析：①③成立時(shí)，f(x)的圖象可能為下圖中的一個(gè)．但圖2不能滿足－<φ<.在圖中可得端點(diǎn)A，B，故②④成立．同理②③成立時(shí)，①④成立． 答案：①③?②④；②③?①④ 5．(2012·江蘇命題專家原創(chuàng)卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為，則f(x)的解析式為________． 解析：f(x)＝si

5、n(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，由題意得＝2×，所以ω＝2.則f(x)＝2sin.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(0)＝2sin＝±2，φ－＝kπ＋(k∈Z)，又因?yàn)?<φ<π，故φ－＝，即f(x)＝2sin，所以f(x)＝2cos 2x. 答案：f(x)＝2cos 2x 　　 (1)給出下列六種圖象變換方法： ①圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變； ②圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變； ③圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度； ④圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度； ⑤圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度； ⑥圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度． 請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函

6、數(shù)y＝sin x的圖象變換到函數(shù)y＝sin的圖象，那么這兩種變換的序號(hào)依次是________(填上一種你認(rèn)為正確的答案即可)． (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0,2π))的圖象如圖所示，則φ＝________. [解析]　(1)y＝sin x?、?，y＝sin②， y＝sin，或y＝sin x?、?，y＝sinx⑥， y＝sin＝sin. (2)T＝2(7－3)＝8，ω＝＝，A＝3，f(x)＝3sin，將(3,0)代入得＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋.又φ∈[0,2π)，所以φ＝. [答案]　(1)④②或②⑥(填出其中一種即可)　(2) (

7、1)三角函數(shù)圖象進(jìn)行變換時(shí)，要注意先伸縮變換后平移變換與先平移變換后伸縮變換的差異． (2)A，ω，φ這三個(gè)值求解以φ最困難，其中如果圖象上沒有給出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)坐標(biāo)，而只給了函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，要區(qū)分對(duì)待，如點(diǎn)(3,0)在減區(qū)間內(nèi)，則3ω＋φ＝2kπ＋π，如點(diǎn)(7,0)在增區(qū)間內(nèi)，則7ω＋φ＝2kπ.本題也可由對(duì)稱性得到最低點(diǎn)坐標(biāo)(5，－3)，代入函數(shù)式求φ. 　　 使函數(shù)y＝f(x)圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，然后再將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得到的曲線與y＝sin 2x相同． (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)求y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解：(1)y＝s

8、in 2x的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位得y＝sin 2即y＝sin，再將每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍得 y＝sin. ∴f(x)＝sin. (2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (k∈Z)． 　　 (1)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，且f＝0，則ω的最小值為________． (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為________． [解析]　(1)由

9、題意得＋φ＝kπ＋，又＋φ＝k1π，所以＝k′π＋，即ω＝4k′＋2，又ω>0，所以ω的最小值為2. (2)∵f(x)＝sin，由題意知＝π，且φ＋＝kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝2，φ＝kπ＋(k∈Z)． 又∵|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)＝sin＝cos 2x. 令2kπ≤2x≤2kπ＋π，得kπ≤x≤kπ＋， 故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)． [答案]　(1)2　(2)(k∈Z) (1)三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心都可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于ω，φ的二元方程． (2)由周期性可確定ω的值，由f(－x)＝f(x)可求出φ的值，確定解析式后，即可求出三角函數(shù)的性質(zhì)． 　　 (1

10、)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有f＝f.記g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，則g＝________. (2)設(shè)ω>0，函數(shù)y＝sin＋2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則ω的最小值是________． 解析：(1)由于任意實(shí)數(shù)t，函數(shù)f(x)有f＝f成立，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，即sin＝±1，從而cos＝0，故g＝－1. (2)將y＝sin＋2的圖象向右平移個(gè)單位后為y＝sin＋2＝sin＋2，所以有＝2kπ，即ω＝. 又因?yàn)棣?0，所以k≥1，故ω＝≥， 所以ω的最小值是. 答案：(1)－1　(2) 　　 已知函

11、數(shù)f(x)＝sin2＋cos2＋sin xcos x，x∈R. (1)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x的值； (2)求f(x)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間． [解]　(1)f(x)＝＋＋sin 2x ＝1＋(sin 2x－cos 2x)＝sin＋1. 當(dāng)2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋，k∈Z時(shí)， f(x)取得最大值為＋1. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 又因?yàn)?≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的增區(qū)間為和. 三角函數(shù)性質(zhì)的研究，關(guān)鍵是三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，本題所給函數(shù)的解析式中方次均為二次，故需要用二倍角公式進(jìn)行降冪，再觀察角分別

12、為2x－與2x，還需要用和差角公式進(jìn)行統(tǒng)一，最終化歸為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，即可將ωx＋φ看做整體，研究函數(shù)的性質(zhì)． 　　 已知函數(shù)f(x)＝sin－cos ＋2cos2x. (1)求f的值； (2)求f(x)的最大值及相應(yīng)x的值． 解：(1)f＝sin－cos＋2cos2 ＝sin－cos＋1＋cos ＝－0＋1＋＝＋1. (2)∵f(x)＝sin－cos＋2cos2x ＝sin 2xcos＋cos 2xsin－cos 2xcos＋sin 2xsin＋cos 2x＋1 ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1， 當(dāng)sin＝1時(shí)，f(x)max＝2＋1

13、＝3， 此時(shí)，2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究主要涉及的方向?yàn)檎嘞液瘮?shù)相加后所得函數(shù)，首先需要對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的過程中要注意“角”“名”“次”的統(tǒng)一，化簡(jiǎn)后的函數(shù)需要整體處理(換元)，再研究其性質(zhì)，對(duì)y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性質(zhì)必須掌握． (2)在三角函數(shù)的性質(zhì)研究時(shí)，要注意“形”和“式”之間的聯(lián)系，即A，ω，x，φ對(duì)函數(shù)性質(zhì)和圖象的影響． (3)三角函數(shù)圖象的變換中要注意先伸縮變換后平移變換與先平移變換后伸縮變換的差異． 1．把函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ

14、)(ω>0，φ為銳角)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度都可以得到g(x)的圖象，若g(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為________． 解析：根據(jù)題意可以畫出函數(shù)f(x)的部分草圖，如圖所示．故易知函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸應(yīng)為y軸，其方程為x＝0，再結(jié)合函數(shù)的周期性，可得所求的對(duì)稱軸方程為x＝·k＋0(k∈Z)，即x＝(k∈Z)． 答案：x＝(k∈Z) 2．已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間上的最小值是－2，則ω的最小值等于________． 解析：∵f(x)＝2sin ωx(ω>0)的最小值是－2時(shí)， x＝－(k∈Z)， ∴－≤－

15、≤. ∴ω≥－6k＋且ω≥8k－2.∴ωmin＝. 答案： 3．(2012·鹽城第二次模擬)函數(shù)f(x)＝sin 2xsin－cos 2xcos在上的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析：依題意得f(x)＝cos，當(dāng)2kπ－π≤2x－≤2kπ，即kπ－≤x≤kπ＋， 其中k∈Z時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是. 答案： 4．函數(shù)y＝Asin(ωx＋θ)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是x＝，一個(gè)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，要使該函數(shù)的解析式為y＝3sin，還應(yīng)給出一個(gè)條件是________． 解析：確定了一條對(duì)稱軸和最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)后，如果不知周期性，還是不能

16、確定ω，解析式不能確定． 答案：周期為π 5．y＝sin 2x＋acos 2x的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱，則a等于________． 解析：y＝sin 2x＋acos 2x的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱，則f(0)＝f，即a＝sin＝－1. 答案：－1 6．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝a，x＝b及x軸所圍成圖形的面積稱為f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sin nx在上的面積為(n∈N*)， (1)y＝sin 3x在上的面積為________； (2)y＝sin(3x－π)＋1在上的面積為________． 解析：y＝sin 3x在上的面積為×2＝，y＝sin(3x－π)＋1在上的圖

17、象為一個(gè)半周期結(jié)合圖象分析其面積為＋π. 答案：(1)　(2)＋π 7．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式sin≥kx成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：作出y1＝sin與y2＝kx的圖象，要使不等式sin≥kx成立，由圖可知需k≤1. 答案：(－∞，1] 8．(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷改編)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減．則ω的取值范圍是________． 解析：函數(shù)f(x)＝sin的圖象可看作是由函數(shù)f(x)＝sin x的圖象先向左平移個(gè)單位得f(x)＝sin的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到的，而函數(shù)f(x)＝sin的減區(qū)間是，所以

18、要使函數(shù)f(x)＝sin在上是減函數(shù)，需滿足解得≤ω≤. 答案： 9．已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在區(qū)間有最小值，無最大值，則ω＝________. 解析：由題意知ω＋＝，解之得ω＝. 答案： 10．設(shè)f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立，則 ①f＝0；②<；③f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)；⑤存在經(jīng)過點(diǎn)(a，b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交． 以上結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)) 解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x

19、＝sin(2x＋φ)≤，又＝＝≥0，由題意f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立，則≤對(duì)一切x∈R恒成立，則a2＋b2≤a2＋b2＋ab，a2＋3b2≤2ab(ab≠0)恒成立，而a2＋3b2≥2ab，所以a2＋3b2＝2ab，此時(shí)a＝b>0. 所以f(x)＝bsin 2x＋bcos 2x＝2bsin. ①f＝2bsin＝0，故①正確； ②＝＝＝2bsin， ＝＝ ＝2bsin，所以＝，故②不正確； ③f(－x)≠±f(x)，所以③正確； ④因?yàn)閒(x)＝bsin 2x＋bcos 2x＝2bsin，b>0，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，所以④不正確； ⑤由以上知a＝

20、b>0，要使經(jīng)過點(diǎn)(a，b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交，則此直線與橫軸平行，又f(x)的振幅為2b>b，所以直線必與f(x)圖象有交點(diǎn)，⑤不正確． 答案：①③ 11.如圖，函數(shù)y＝2sin(πx＋φ)，x∈R，的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,1)． (1)求φ的值； (2)設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求與夾角的余弦值． 解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝. 又因?yàn)?≤φ≤，所以φ＝. (2)由函數(shù)y＝2sin及其圖象，得M，P，N， 所以＝，＝， 從而cos〈，〉＝＝， 即與夾角的余弦值為. 12．(2012·

21、湖北高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)的值域． 解：(1)因?yàn)閒(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸， 可得sin＝±1. 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)， 即ω＝＋(k∈Z)． 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點(diǎn)得f＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin－. 函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－2－，2－ ]．