人教版九下數(shù)學(xué) 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題5 函數(shù)中的存在性問(wèn)題
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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題5 函數(shù)中的存在性問(wèn)題 1. 如圖所示,拋物線 y=-29x2+bx+c 與 x 軸交于 A-1,0,B5,0 兩點(diǎn),頂點(diǎn)為 C,對(duì)稱(chēng)軸交 x 軸于點(diǎn) D,點(diǎn) P 為拋物線對(duì)稱(chēng)軸 CD 上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P 不與 C,D 重合).過(guò)點(diǎn) C 作直線 PB 的垂線交 PB 于點(diǎn) E,交 x 軸于點(diǎn) F. (1) 求拋物線的解析式; (2) 當(dāng) △PCF 的面積為 5 時(shí),求點(diǎn) P 的坐標(biāo); (3) 當(dāng) △PCF 為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo). 2. 如圖所示,頂點(diǎn)為 M 的拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于
2、A3,0,B-1,0 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C. (1) 求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式. (2) 在 y 軸上是否存在一點(diǎn) P,使得 △PAM 為直角三角形?若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由. (3) 若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn) D,滿足 DA=OA,過(guò) D 作 DG⊥x 軸于點(diǎn) G,設(shè) △ADG 的內(nèi)心為 I,試求 CI 的最小值. 3. 拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A-3,0,B1,0,C0,3 三點(diǎn). (1) 求拋物線的解析式; (2) 如圖 1 所示,P 為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn),若 △PAC 的面積為 3,求點(diǎn) P 的坐
3、標(biāo); (3) 如圖 2 所示,D 為拋物線的頂點(diǎn),在線段 AD 上是否存在點(diǎn) M,使得以 M,A,O 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似?若存在,求點(diǎn) M 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 4. 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,直線 y=2x+6 與 x 軸交于點(diǎn) A,與 y 軸交于點(diǎn) C,拋物線 y=-2x2+bx+c 過(guò) A,C 兩點(diǎn),與 x 軸交于另一點(diǎn) B. (1) 求拋物線的解析式. (2) 在直線 AC 上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) E,連接 BE,與直線 AC 相交于點(diǎn) F,當(dāng) EF=12BF 時(shí),求 sin∠EBA 的值. (3) 點(diǎn) N 是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上
4、一點(diǎn),在(2)的條件下,若點(diǎn) E 位于對(duì)稱(chēng)軸左側(cè),在拋物線上是否存在一點(diǎn) M,使以 M,N,E,B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 5. 已知拋物線 y=ax2+bx-4 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A2,0,B-4,0,與 y 軸交于點(diǎn) C. (1) 求這條拋物線的解析式; (2) 如圖 1 所示,點(diǎn) P 是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形 ABPC 的面積最大時(shí),求點(diǎn) P 的坐標(biāo); (3) 如圖 2 所示,線段 AC 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) E,垂足為 D,M 為拋物線的頂點(diǎn),在直線 DE 上是否存在一點(diǎn) G,使 △CMG 的
5、周長(zhǎng)最???若存在,求出點(diǎn) G 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 6. 如圖所示,二次函數(shù) y=kx-12+2 的圖象與一次函數(shù) y=kx-k+2 的圖象交于 A,B 兩點(diǎn),點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè),直線 AB 分別與 x 軸、 y 軸交于 C,D 兩點(diǎn),其中 k<0. (1) 求 A,B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo); (2) 若 △OAB 是以 OA 為腰的等腰三角形,求 k 的值; (3) 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與 x 軸交于點(diǎn) E,是否存在實(shí)數(shù) k,使得 ∠ODC=2∠BEC?若存在,求出 k 的值;若不存在,說(shuō)明理由. 7. 如圖所示,已知拋物線 y=ax2+bx-3 與
6、x 軸交于 A,B 兩點(diǎn),與 y 軸交于 C 點(diǎn),經(jīng)過(guò) A,B,C 三點(diǎn)的圓的圓心為 M1,-1,已知點(diǎn) B3,0,拋物線的頂點(diǎn)為 E. (1) 求 ⊙M 的半徑及拋物線的解析式; (2) 若點(diǎn) F 在拋物線的第四象限內(nèi),求 △FBC 的面積的最大值; (3) 探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) P,使得 △PAC 是直角三角形,且兩直角邊的長(zhǎng)度之比是 1:3?若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 8. 如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,直線 y=-12x+3 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) B,點(diǎn) C,對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=1 的拋物線過(guò) B,C 兩點(diǎn),且交 x 軸于另一點(diǎn) A,
7、連接 AC.
(1) 直接寫(xiě)出點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
(2) 已知點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) P 到直線 BC 的距離最大時(shí),求點(diǎn) P 的坐標(biāo);
(3) 拋物線上是否存在一點(diǎn) Q(點(diǎn) C 除外),使以點(diǎn) Q,A,B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似?若存在,求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
9. 如圖所示,拋物線 y=ax2+bx+6 經(jīng)過(guò) A-2,0,B4,0 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) D 是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m1 8、 △BCD 的面積等于 △AOC 的面積的 34 時(shí),求 m 的值;
(3) 在(2)的條件下,若點(diǎn) M 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) N 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn) M,使得以點(diǎn) B,D,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
10. 如圖所示,拋物線 y=ax2+bx+3 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A,B-3,0,C1,0,點(diǎn) P 是線段 AB 上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1) 求拋物線的解析式;
(2) 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB 的面積最大?
(3) 過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線,交線段 AB 9、 于點(diǎn) D,再過(guò)點(diǎn) P 作 PE∥x 軸交拋物線于點(diǎn) E,連接 DE,那么是否存在點(diǎn) P 使 △PDE 為等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
答案
1. 【答案】
(1) 拋物線的解析式為 y=-29x+1x-5=-29x2+89x+109.
(2) 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=2,則點(diǎn) C2,2.
設(shè)點(diǎn) P2,m,由點(diǎn) P,B 的坐標(biāo)可得直線 PB 的表達(dá)式為 y=-13mx+5m3,
∵CE⊥PB,故直線 CE 的表達(dá)式中的 k 值為 3m.
將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式,同理可得直線 CE 的表達(dá)式為 y=3mx+2-6m,
當(dāng) y 10、=0 時(shí),解得 x=2-2m3,故點(diǎn) F2-2m3,0.
S△PCF=12×PC×DF=122-m2-2m3-2=5,
解得 m=5?或?-3,故點(diǎn) P2,-3 或 P2,5.
(3) P2,365 或 P2,-2 或 P2,-9-3132 或 P2,-9+3132.
【解析】
(3) 由(2)確定的點(diǎn) F 的坐標(biāo)得 CP2=2-m2,CF2=2m32+4,PF2=2m32+m2.
①當(dāng) CP=CF 時(shí),即 2-m2=2m32+4,解得 m=0?或?365(0 舍去).
②當(dāng) CP=PF 時(shí),同理可得 m=-9±3132.
③當(dāng) CF=PF 時(shí),同理可得 m=±2(2 11、舍去).
故點(diǎn) P2,365 或 P2,-2 或 P2,-9-3132 或 P2,-9+3132.
2. 【答案】
(1) ∵ 拋物線 y=ax2+bx+3 過(guò)點(diǎn) A3,0,B-1,0,
∴9a+3b+3=0,a-b+3=0, 解得 a=-1,b=2,
∴ 這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=-x2+2x+3.
(2) 在 y 軸上存在點(diǎn) P,使得 △PAM 為直角三角形.
∵y=-x2+2x+3=-x-12+4,
∴ 頂點(diǎn) M1,4,
∴AM2=3-12+42=20,
設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 0,p,
∴AP2=32+p2=9+p2,MP2=12+4 12、-p2=17-8p+p2.
①若 ∠PAM=90°,則 AM2+AP2=MP2,
∴20+9+p2=17-8p+p2,解得 p=-32,
∴P0,-32;
②若 ∠APM=90°,則 AP2+MP2=AM2,
∴9+p2+17-8p+p2=20,解得 p1=1,p2=3,
∴P0,1或0,3;
③若 ∠AMP=90°,則 AM2+MP2=AP2,
∴20+17-8p+p2=9+p2,解得 p=72,
∴P0,72.
綜上所述,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 0,-32 或 0,1 或 0,3 或 0,72 時(shí),△PAM 為直角三角形.
(3) 如圖所示,過(guò)點(diǎn) I 作 IE 13、⊥x 軸于點(diǎn) E,IF⊥AD 于點(diǎn) F,IH⊥DG 于點(diǎn) H.
∵DG⊥x 軸于點(diǎn) G,
∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90°,
∴ 四邊形 IEGH 是矩形.
∵ 點(diǎn) I 為 △ADG 的內(nèi)心,
∴IE=IF=IH,AE=AF,DF=DH,GE=GH,
∴ 矩形 IEGH 是正方形.
設(shè)點(diǎn) I 的坐標(biāo)為 m,n,
∴OE=m,HG=GE=IE=n,
∴AF=AE=OA-OE=3-m,
∴AG=GE+AE=n+3-m.
∵DA=OA=3,
∴DH=DF=DA-AF=3-3-m=m,
∴DG=DH+HG=m+n.
∵DG2+AG2=DA2, 14、
∴m+n2+n+3-m2=32,
化簡(jiǎn)得 m2-3m+n2+3n=0,
配方得 m-322+n+322=92,
∴ 點(diǎn) Im,n 與定點(diǎn) Q32,-32 的距離為 322,
∴ 點(diǎn) I 在以點(diǎn) Q32,-32 為圓心,半徑為 322 的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng),
∴ 當(dāng)點(diǎn) I 在線段 CQ 上時(shí),CI 最小.
∵CQ=-322+3+322=3102,
∴CI=CQ-IQ=310-322,
∴CI 的最小值為 310-322.
3. 【答案】
(1) 把 A-3,0,B1,0,C0,3 代入 y=ax2+bx+c,
得 9a-3b+c=0,a+b+c 15、=0,c=3, 解得 a=-1,b=-2,c=3,
∴ 拋物線的解析式為 y=-x2-2x+3.
(2) 如圖(1)所示,過(guò) P 點(diǎn)作 PQ 平行 y 軸,交 AC 于 Q 點(diǎn).
∵A-3,0,C0,3,
∴ 直線 AC 的解析式為 y=x+3.
設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,-x2-2x+3,則 Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,x+3,
∴PQ=-x2-2x+3-x+3=-x2-3x,
∴S△PAC=12PQ?OA,
∴12-x2-3x?3=3,解得 x1=-1,x2=-2.
當(dāng) x=-1 時(shí),P 點(diǎn)坐標(biāo)為 -1,4;
當(dāng) x=-2 時(shí),P 點(diǎn)坐標(biāo)為 -2,3.
綜上所述,若 16、 △PAC 的面積為 3,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 -1,4 或 -2,3.
(3) 如圖(2)所示,過(guò) D 點(diǎn)作 DF 垂直 x 軸于 F 點(diǎn),過(guò) A 點(diǎn)作 AE 垂直 BC 于 E 點(diǎn).
∵D 為拋物線 y=-x2-2x+3 的頂點(diǎn),
∴D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 -1,4.
又 ∵A-3,0,
∴ 直線 AD 為 y=2x+6,AF=2,DF=4,tan∠DAB=2.
∵B1,0,C0,3,
∴tan∠ABC=3,BC=10,sin∠ABC=31010,
直線 BC 的解析式為 y=-3x+3.
∵AB=4,
∴AE=AB?sin∠ABC=4×31010=6105,BE 17、=2105,
∴CE=3105,
∴tan∠ACB=AECE=2,
∴tan∠ACB=tan∠DAB=2,
∴∠ACB=∠DAB,
∴ 使得以 M,A,O 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似,則有兩種情況,如圖(3)所示.
(I)當(dāng) ∠AOM=∠CAB=45° 時(shí),△ABC∽△OMA,
即直線 OM 的解析式為 y=-x.
設(shè) OM 與 AD 的交點(diǎn)為 Mx,y,
依題意得 y=-x,y=2x+6, 解得 x=-2,y=2, 即 M 點(diǎn)為 -2,2;
(II)若 ∠AOM=∠CBA,即 OM∥BC,
∵ 直線 BC 的解析式為 y=-3x+3,
∴ 直線 O 18、M 的解析式為 y=-3x.
設(shè)直線 OM 與 AD 的交點(diǎn)為 Mx,y,
由 y=-3x,y=2x+6, 解得 x=-65,y=185, 即 M 點(diǎn)為 -65,185.
綜上所述,存在使得以 M,A,O 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似的點(diǎn) M,其坐標(biāo)為 -2,2 或 -65,185.
4. 【答案】
(1) 在 y=2x+6 中,當(dāng) x=0 時(shí),y=6,當(dāng) y=0 時(shí),x=-3,
∴C0,6,A-3,0.
∵ 拋物線 y=-2x2+bx+c 經(jīng)過(guò) A,C 兩點(diǎn),
∴-18-3b+c=0,c=6, 解得 b=-4,c=6,
∴ 拋物線的解析式為 y=-2x 19、2-4x+6.
(2) 令 -2x2-4x+6=0,解得 x1=-3,x2=1,
∴B1,0.
設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 t,
∴Et,-2t2-4t+6.
如圖所示,過(guò)點(diǎn) E 作 EH⊥x 軸于點(diǎn) H,過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥x 軸于點(diǎn) G,
則 EH∥FG.
∵EF=12BF,
∴BFBE=BGBH=FGEH=23.
∵BH=1-t,
∴BG=23BH=23-23t,
∴ 點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)為 13+23t,
∴F13+23t,203+43t,
∴-2t2-4t+6=32×203+43t,
∴t2+3t+2=0,解得 t1=-2,t2=-1.
當(dāng) 20、t=-2 時(shí),-2t2-4t+6=6,
當(dāng) t=-1 時(shí),-2t2-4t+6=8,
∴E1-2,6,E2-1,8.
當(dāng)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 -2,6 時(shí),在 Rt△EBH 中,EH=6,BH=3,
∴BE=EH2+BH2=62+32=35,
∴sin∠EBA=EHBE=635=255,
同理,當(dāng)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 -1,8 時(shí),sin∠EBA=EHBE=41717,
∴sin∠EBA 的值為 255 或 41717.
(3) M 的坐標(biāo)為 2,-10 或 -4,-10 或 0,6.
【解析】
(3) ∵ 點(diǎn) N 在對(duì)稱(chēng)軸上,
∴xN=-3+12=-1.
①當(dāng) 21、 EB 為平行四邊形的邊時(shí),分兩種情況:
當(dāng)點(diǎn) M 在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí),BN 為對(duì)角線,
∵E-2,6,xN=-1,-1--2=1,B1,0,
∴xM=1+1=2.
當(dāng) x=2 時(shí),y=-2×22-4×2+6=-10,
∴M2,-10.
②當(dāng)點(diǎn) M 在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí),BM 為對(duì)角線,
∵xN=-1,B1,0,1--1=2,E-2,6,
∴xM=-2-2=-4.
當(dāng) x=-4 時(shí),y=-2×-42-4×-4+6=-10,
∴M-4,-10.
③當(dāng) EB 為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
∵B1,0,E-2,6,xN=-1,
∴1+-2=-1+xM,
∴xM=0,
22、
當(dāng) x=0 時(shí),y=6,
∴M0,6.
綜上所述,M 的坐標(biāo)為 2,-10 或 -4,-10 或 0,6.
5. 【答案】
(1) ∵ 拋物線 y=ax2+bx-4 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A2,0,B-4,0,
∴4a+2b-4=0,16a-4b-4=0, 解得 a=12,b=1.
∴ 拋物線的解析式為 y=12x2+x-4.
(2) 如圖 3 所示,連接 OP,
設(shè)點(diǎn) Px,12x2+x-4,
其中 -4 23、2-x+4=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12=-x+22+16.
∵-1<0,拋物線開(kāi)口向下,S 有最大值,
∴ 當(dāng) x=-2 時(shí),四邊形 ABPC 的面積最大,
此時(shí),y=-4,即 P-2,-4.
因此當(dāng)四邊形 ABPC 的面積最大時(shí),點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 -2,-4.
(3) y=12x2+x-4=12x+12-92,
∴ 頂點(diǎn) M-1,-92.
如圖 4 所示,連接 AM 交直線 DE 于點(diǎn) G,連接 CG,MC,此時(shí),△CMG 的周長(zhǎng)最?。?
設(shè)直線 AM 的解析式為 y=kx+b,且過(guò)點(diǎn) A2,0,M-1,-92,
∴2k+b=0,-k+b=-9 24、2, 即 k=32,b=-3.
∴ 直線 AM 的解析式為 y=32x-3.
在 Rt△AOC 中,AC=OA2+OC2=22+42=25.
∵D 為 AC 的中點(diǎn),
∴AD=12AC=5.
由題意知 △ADE∽△AOC,
∴ADAO=AEAC,
∴52=AE25,
∴AE=5,
∴OE=AE-AO=5-2=3,
∴E-3,0.
由圖可知 D1,-2,
設(shè)直線 DE 的函數(shù)解析式為 y=mx+n,
由 m+n=-2,-3m+n=0, 解得 m=-12,n=-32.
∴ 直線 DE 的解析式為 y=-12x-32.
由 y=-12x-32,y= 25、32x-3, 解得 x=34,y=-158
∴G34,-158.
6. 【答案】
(1) 將二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式聯(lián)立得 kx-12+2=kx-k+2,解得 x=1?和?2,
故點(diǎn) A,B 的橫坐標(biāo)分別為 1 和 2.
(2) OA=22+1=5.
①當(dāng) OA=AB 時(shí),即 1+k2=5,解得 k=±2(舍去 2);
②當(dāng) OA=OB 時(shí),即 4+k+22=5,解得 k=-1?或?-3.
故 k 的值為 -1 或 -2 或 -3.
(3) 存在,理由如下:
①如圖所示,當(dāng)點(diǎn) B 在 x 軸上方時(shí),過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥AE 于點(diǎn) H,
將 △AHB 的圖 26、形放大見(jiàn)右側(cè)圖形,過(guò)點(diǎn) A 作 ∠HAB 的平分線交 BH 于點(diǎn) M,
過(guò)點(diǎn) M 作 MN⊥AB 于點(diǎn) N,過(guò)點(diǎn) B 作 BK⊥x 軸于點(diǎn) K,
圖中,點(diǎn) A1,2,點(diǎn) B2,k+2,則 AH=-k,HB=1.
設(shè) HM=m=MN,則 BM=1-m,則 AN=AH=-k,AB=k2+1,NB=AB-AN.
由勾股定理得 MB2=NB2+MN2,即 1-m2=m2+k2+1+k2,解得 m=-k2-kk2+1.
在 △AHM 中,tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2,解得 k=±3.
此時(shí) k+2>0,則 -2 27、
②當(dāng)點(diǎn) B 在 x 軸下方時(shí),同理可得 tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=-k+2,
解得 k=-4-73 或 -4+73,此時(shí) k+2<0,k<-2,故舍去 -4+73.
故 k 的值為 -3 或 -4-73.
7. 【答案】
(1) 由題意得點(diǎn) M 在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=1,
則 x=-b2a=1,即 b=-2a.
把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得 a×9-2a×3-3=0,
則 a=1,故拋物線的解析式為 y=x2-2x-3.
如圖(1)所示,過(guò)點(diǎn) M 作 MN⊥y 軸,交 y 軸于點(diǎn) N,連接 28、MC,
則圓的半徑 =MC=MN2+CN2=1+22=5.
(2) 點(diǎn) B,C 的坐標(biāo)分別為 3,0,0,-3,則直線 BC 的解析式為 y=x-3,
設(shè)點(diǎn) F 是拋物線在第四象限的點(diǎn),
過(guò)點(diǎn) F 作 y 軸的平行線,交 BC 于點(diǎn) P,如圖(2)所示,
設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 x,x2-2x-3,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x,x-3,
S△FBC=12×PF×OB=12x-3-x2+2x+3×3=-32x-322+278.
∵a=-32<0,故 S△FBC 有最大值,故當(dāng) x=32 時(shí),△FBC 的面積的最大值為 278.
(3) 當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) O,P,P? 的位置時(shí),如圖( 29、3)所示,
△PAC 是直角三角形,且兩直角邊的長(zhǎng)度之比是 1:3,即 ∠P?AC=∠ACP=∠AOC=90°.
此時(shí),點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為 0,13 或 9,0 或 0,0.
8. 【答案】
(1) A-4,0,B6,0,C0,3,y=-18x2+14x+3.
(2) 如圖(1)所示,過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交 BC 于點(diǎn) G,作 PH⊥BC 于點(diǎn) H,
則 ∠HPG=∠CBA=α,tan∠CBA=OCOB=12=tanα,則 cosα=25.
設(shè)點(diǎn) Px,-18x2+14x+3,則點(diǎn) Gx,-12x+3,
則 PH=PGcosα=255-18x2+14x+ 30、3+12x-3=-520x2+3510x.
∵-520<0,故 PH 有最大值,此時(shí) x=3,則點(diǎn) P3,218.
(3) ①當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸上方時(shí),則點(diǎn) Q,A,B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 全等,
此時(shí)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),則點(diǎn) Q2,3.
②當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸下方時(shí),當(dāng) ∠BAQ=∠CAB 時(shí),AQAB=ABAC,△QAB∽△BAC,
由勾股定理得 AC=5,AQ=1025=20.
如圖(2)所示,過(guò)點(diǎn) Q 作 QH⊥x 軸于點(diǎn) H,
由 △QHA∽△COA 得 QHCO=HAAO=QAAC=4,
∵OC=3,AO=4,
∴QH=12 31、,則 AH=16,OH=16-4=12,
∴Q12,-12.
根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性,當(dāng)點(diǎn) Q 在第三象限時(shí),符合條件的點(diǎn) Q 為 -10,-12.
當(dāng) x=12 時(shí),y=-18x2+14x+3=-12;
當(dāng) x=-10 時(shí),y=-18x2+14x+3=-12.
故點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 12,-12 或 -10,-12.
當(dāng) ∠BAQ=∠CBA 時(shí),則直線 AQ∥BC,
直線 BC 的解析式中的 k 為 -12,
則直線 AQ 的解析式為 y=-12x-2.???②
聯(lián)立①②并解得 x=10?或?-4(舍去 -4),
故點(diǎn) Q10,-7,BCAB=4510,而 ABAQ=10245 32、≠BCAB,
即以 Q,A,B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 不相似,故舍去.
Q 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) -8,-7 同樣也舍去.
即點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 -8,-7,10,-7 的均不符合題意.
綜上,點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 2,3 或 12,-12 或 -10,-12.
【解析】
(1) y=-12x+3,令 x=0,則 y=3,令 y=0,則 x=6,
故點(diǎn) B,C 的坐標(biāo)分別為 6,0,0,3,
而拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=1,則點(diǎn) A-4,0,
∴ 拋物線的解析式為 y=ax-6x+4=ax2-2x-24,即 -24a=3,解得 a=-18,
故拋物線的解析式為 y=-18x2+ 33、14x+3.???①
9. 【答案】
(1) 設(shè)拋物線的解析式為 y=ax+2x-4=ax2-2x-8=ax2-2ax-8a,
即 -8a=6,解得 a=-34,故拋物線的解析式為 y=-34x2+32x+6.
(2) 點(diǎn) C0,6,由點(diǎn) B,C 的坐標(biāo)可得直線 BC 的解析式為 y=-32x+6.
如圖 1 所示,過(guò)點(diǎn) D 作 y 軸的平行線交直線 BC 于點(diǎn) H,
設(shè)點(diǎn) Dm,-34m2+32m+6,則點(diǎn) Hm,-32m+6,
S△BDC=12HD×OB=2-34m2+32m+6+32m-6=2-34m2+3m,
34S△ACO=34×12×6×2=92,即 34、 2-34m2+3m=92,
解得 m=3 或 m=1(舍去),故 m=3.
(3) 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0,0 或 14,0 或 -14,0 或 8,0.
【解析】
(3) 當(dāng) m=3 時(shí),點(diǎn) D3,154.
①當(dāng) BD 是平行四邊形的一條邊時(shí),如圖 2 所示,M,N 分別有三個(gè)點(diǎn),
設(shè)點(diǎn) Nn,-34n2+32n+6,則點(diǎn) N 的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為 154,
即 -34n2+32n+6=154,解得 n=-1?或?3舍去或?1±14.
故點(diǎn) N(N?,N?)的坐標(biāo)為 -1,154 或 1+14,-154 或 1-14,-154.
當(dāng)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 -1,154 時(shí),由圖 35、象可得點(diǎn) M0,0,
當(dāng) N? 的坐標(biāo)為 1+14,-154 時(shí),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn) M?14,0.
同理可得點(diǎn) M? 的坐標(biāo)為 -14,0.
故點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0,0 或 14,0 或 -14,0.
②當(dāng) BD 是平行四邊形的對(duì)角線時(shí),點(diǎn) B,D 的坐標(biāo)分別為 4,0,3,154,
設(shè)點(diǎn) Mm,0,點(diǎn) Ns,t,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 4+3=m+s,154+0=t+0,
而 t=-34s2+32s+6,解得 t=154,s=-1,m=8,
故點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 8,0.
綜上,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0,0 或 14,0 或 -14,0 或 8,0.
10. 【答案】
36、(1) ∵ 拋物線 y=ax2+bx+3 過(guò)點(diǎn) B-3,0,C1,0,
由 9a-3b+3=0,a+b+3=0, 解得 a=-1,b=-2,
∴ 拋物線的解析式為 y=-x2-2x+3.
(2) 如圖 1 所示,過(guò)點(diǎn) P 作 PH⊥x 軸于點(diǎn) H,交 AB 于點(diǎn) F.
∵x=0 時(shí),y=-x2-2x+3=3,
∴A0,3,
∴ 直線 AB 的解析式為 y=x+3.
設(shè) Pt,-t2-2t+3-3 37、OB=32-t2-3t=-32t+322+278.
∴ 點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為 -32,154 的點(diǎn)時(shí),△PAB 的面積最大.
(3) 如圖 2 所示,存在點(diǎn) P 使 △PDE 為等腰直角三角形.
設(shè) Pt,-t2-2t+3-3
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