人教版九下數(shù)學(xué) 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題5 函數(shù)中的存在性問(wèn)題

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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題5 函數(shù)中的存在性問(wèn)題 1. 如圖所示，拋物線(xiàn) y=-29x2+bx+c 與 x 軸交于 A-1,0，B5,0 兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為 C，對(duì)稱(chēng)軸交 x 軸于點(diǎn) D，點(diǎn) P 為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸 CD 上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與 C，D 重合）．過(guò)點(diǎn) C 作直線(xiàn) PB 的垂線(xiàn)交 PB 于點(diǎn) E，交 x 軸于點(diǎn) F． (1) 求拋物線(xiàn)的解析式； (2) 當(dāng) △PCF 的面積為 5 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3) 當(dāng) △PCF 為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 2. 如圖所示，頂點(diǎn)為 M 的拋物線(xiàn) y=ax2+bx+3 與 x 軸交于

2、A3,0，B-1,0 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C． (1) 求這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式． (2) 在 y 軸上是否存在一點(diǎn) P，使得 △PAM 為直角三角形？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． (3) 若在第一象限的拋物線(xiàn)下方有一動(dòng)點(diǎn) D，滿(mǎn)足 DA=OA，過(guò) D 作 DG⊥x 軸于點(diǎn) G，設(shè) △ADG 的內(nèi)心為 I，試求 CI 的最小值． 3. 拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A-3,0，B1,0，C0,3 三點(diǎn)． (1) 求拋物線(xiàn)的解析式； (2) 如圖 1 所示，P 為拋物線(xiàn)上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若 △PAC 的面積為 3，求點(diǎn) P 的坐

3、標(biāo)； (3) 如圖 2 所示，D 為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，在線(xiàn)段 AD 上是否存在點(diǎn) M，使得以 M，A，O 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似？若存在，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 4. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) y=2x+6 與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交于點(diǎn) C，拋物線(xiàn) y=-2x2+bx+c 過(guò) A，C 兩點(diǎn)，與 x 軸交于另一點(diǎn) B． (1) 求拋物線(xiàn)的解析式． (2) 在直線(xiàn) AC 上方的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn) E，連接 BE，與直線(xiàn) AC 相交于點(diǎn) F，當(dāng) EF=12BF 時(shí)，求 sin∠EBA 的值． (3) 點(diǎn) N 是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上

4、一點(diǎn)，在（2）的條件下，若點(diǎn) E 位于對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn) M，使以 M，N，E，B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 5. 已知拋物線(xiàn) y=ax2+bx-4 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A2,0，B-4,0，與 y 軸交于點(diǎn) C． (1) 求這條拋物線(xiàn)的解析式； (2) 如圖 1 所示，點(diǎn) P 是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形 ABPC 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3) 如圖 2 所示，線(xiàn)段 AC 的垂直平分線(xiàn)交 x 軸于點(diǎn) E，垂足為 D，M 為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，在直線(xiàn) DE 上是否存在一點(diǎn) G，使 △CMG 的

5、周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn) G 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 6. 如圖所示，二次函數(shù) y=kx-12+2 的圖象與一次函數(shù) y=kx-k+2 的圖象交于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè)，直線(xiàn) AB 分別與 x 軸、 y 軸交于 C，D 兩點(diǎn)，其中 k<0． (1) 求 A，B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (2) 若 △OAB 是以 OA 為腰的等腰三角形，求 k 的值； (3) 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與 x 軸交于點(diǎn) E，是否存在實(shí)數(shù) k，使得 ∠ODC=2∠BEC？若存在，求出 k 的值；若不存在，說(shuō)明理由． 7. 如圖所示，已知拋物線(xiàn) y=ax2+bx-3 與

6、x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，經(jīng)過(guò) A，B，C 三點(diǎn)的圓的圓心為 M1,-1，已知點(diǎn) B3,0，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為 E． (1) 求 ⊙M 的半徑及拋物線(xiàn)的解析式； (2) 若點(diǎn) F 在拋物線(xiàn)的第四象限內(nèi)，求 △FBC 的面積的最大值； (3) 探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) P，使得 △PAC 是直角三角形，且兩直角邊的長(zhǎng)度之比是 1:3？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 8. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) y=-12x+3 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) B，點(diǎn) C，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=1 的拋物線(xiàn)過(guò) B，C 兩點(diǎn)，且交 x 軸于另一點(diǎn) A，

7、連接 AC． (1) 直接寫(xiě)出點(diǎn) A，B，C 的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的解析式； (2) 已知點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 到直線(xiàn) BC 的距離最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3) 拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn) Q（點(diǎn) C 除外），使以點(diǎn) Q，A，B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 9. 如圖所示，拋物線(xiàn) y=ax2+bx+6 經(jīng)過(guò) A-2,0，B4,0 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m1

8、 △BCD 的面積等于 △AOC 的面積的 34 時(shí)，求 m 的值； (3) 在（2）的條件下，若點(diǎn) M 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) N 是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn) M，使得以點(diǎn) B，D，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 10. 如圖所示，拋物線(xiàn) y=ax2+bx+3 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A，B-3,0，C1,0，點(diǎn) P 是線(xiàn)段 AB 上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． (1) 求拋物線(xiàn)的解析式； (2) 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB 的面積最大？ (3) 過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線(xiàn)，交線(xiàn)段 AB

9、 于點(diǎn) D，再過(guò)點(diǎn) P 作 PE∥x 軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn) E，連接 DE，那么是否存在點(diǎn) P 使 △PDE 為等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 答案 1. 【答案】 (1) 拋物線(xiàn)的解析式為 y=-29x+1x-5=-29x2+89x+109． (2) 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=2，則點(diǎn) C2,2． 設(shè)點(diǎn) P2,m，由點(diǎn) P，B 的坐標(biāo)可得直線(xiàn) PB 的表達(dá)式為 y=-13mx+5m3， ∵CE⊥PB，故直線(xiàn) CE 的表達(dá)式中的 k 值為 3m． 將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，同理可得直線(xiàn) CE 的表達(dá)式為 y=3mx+2-6m， 當(dāng) y

10、=0 時(shí)，解得 x=2-2m3，故點(diǎn) F2-2m3,0． S△PCF=12×PC×DF=122-m2-2m3-2=5， 解得 m=5?或?-3，故點(diǎn) P2,-3 或 P2,5． (3) P2,365 或 P2,-2 或 P2,-9-3132 或 P2,-9+3132． 【解析】 (3) 由（2）確定的點(diǎn) F 的坐標(biāo)得 CP2=2-m2，CF2=2m32+4，PF2=2m32+m2． ①當(dāng) CP=CF 時(shí)，即 2-m2=2m32+4，解得 m=0?或?365（0 舍去）． ②當(dāng) CP=PF 時(shí)，同理可得 m=-9±3132． ③當(dāng) CF=PF 時(shí)，同理可得 m=±2（2

11、舍去）． 故點(diǎn) P2,365 或 P2,-2 或 P2,-9-3132 或 P2,-9+3132． 2. 【答案】 (1) ∵ 拋物線(xiàn) y=ax2+bx+3 過(guò)點(diǎn) A3,0，B-1,0， ∴9a+3b+3=0,a-b+3=0, 解得 a=-1,b=2, ∴ 這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=-x2+2x+3． (2) 在 y 軸上存在點(diǎn) P，使得 △PAM 為直角三角形． ∵y=-x2+2x+3=-x-12+4， ∴ 頂點(diǎn) M1,4， ∴AM2=3-12+42=20， 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 0,p， ∴AP2=32+p2=9+p2，MP2=12+4

12、-p2=17-8p+p2． ①若 ∠PAM=90°，則 AM2+AP2=MP2， ∴20+9+p2=17-8p+p2，解得 p=-32， ∴P0,-32； ②若 ∠APM=90°，則 AP2+MP2=AM2， ∴9+p2+17-8p+p2=20，解得 p1=1，p2=3， ∴P0,1或0,3； ③若 ∠AMP=90°，則 AM2+MP2=AP2， ∴20+17-8p+p2=9+p2，解得 p=72， ∴P0,72． 綜上所述，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 0,-32 或 0,1 或 0,3 或 0,72 時(shí)，△PAM 為直角三角形． (3) 如圖所示，過(guò)點(diǎn) I 作 IE

13、⊥x 軸于點(diǎn) E，IF⊥AD 于點(diǎn) F，IH⊥DG 于點(diǎn) H． ∵DG⊥x 軸于點(diǎn) G， ∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90°， ∴ 四邊形 IEGH 是矩形． ∵ 點(diǎn) I 為 △ADG 的內(nèi)心， ∴IE=IF=IH，AE=AF，DF=DH，GE=GH， ∴ 矩形 IEGH 是正方形． 設(shè)點(diǎn) I 的坐標(biāo)為 m,n， ∴OE=m，HG=GE=IE=n， ∴AF=AE=OA-OE=3-m， ∴AG=GE+AE=n+3-m． ∵DA=OA=3， ∴DH=DF=DA-AF=3-3-m=m， ∴DG=DH+HG=m+n． ∵DG2+AG2=DA2，

14、 ∴m+n2+n+3-m2=32， 化簡(jiǎn)得 m2-3m+n2+3n=0， 配方得 m-322+n+322=92， ∴ 點(diǎn) Im,n 與定點(diǎn) Q32,-32 的距離為 322， ∴ 點(diǎn) I 在以點(diǎn) Q32,-32 為圓心，半徑為 322 的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng)， ∴ 當(dāng)點(diǎn) I 在線(xiàn)段 CQ 上時(shí)，CI 最?。? ∵CQ=-322+3+322=3102， ∴CI=CQ-IQ=310-322， ∴CI 的最小值為 310-322． 3. 【答案】 (1) 把 A-3,0，B1,0，C0,3 代入 y=ax2+bx+c， 得 9a-3b+c=0,a+b+c

15、=0,c=3, 解得 a=-1,b=-2,c=3, ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=-x2-2x+3． (2) 如圖（1）所示，過(guò) P 點(diǎn)作 PQ 平行 y 軸，交 AC 于 Q 點(diǎn)． ∵A-3,0，C0,3， ∴ 直線(xiàn) AC 的解析式為 y=x+3． 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,-x2-2x+3，則 Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,x+3， ∴PQ=-x2-2x+3-x+3=-x2-3x， ∴S△PAC=12PQ?OA， ∴12-x2-3x?3=3，解得 x1=-1，x2=-2． 當(dāng) x=-1 時(shí)，P 點(diǎn)坐標(biāo)為 -1,4； 當(dāng) x=-2 時(shí)，P 點(diǎn)坐標(biāo)為 -2,3． 綜上所述，若

16、 △PAC 的面積為 3，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 -1,4 或 -2,3． (3) 如圖（2）所示，過(guò) D 點(diǎn)作 DF 垂直 x 軸于 F 點(diǎn)，過(guò) A 點(diǎn)作 AE 垂直 BC 于 E 點(diǎn)． ∵D 為拋物線(xiàn) y=-x2-2x+3 的頂點(diǎn)， ∴D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 -1,4． 又 ∵A-3,0， ∴ 直線(xiàn) AD 為 y=2x+6，AF=2，DF=4，tan∠DAB=2． ∵B1,0，C0,3， ∴tan∠ABC=3，BC=10，sin∠ABC=31010， 直線(xiàn) BC 的解析式為 y=-3x+3． ∵AB=4， ∴AE=AB?sin∠ABC=4×31010=6105，BE

17、=2105， ∴CE=3105， ∴tan∠ACB=AECE=2， ∴tan∠ACB=tan∠DAB=2， ∴∠ACB=∠DAB， ∴ 使得以 M，A，O 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似，則有兩種情況，如圖（3）所示． （I）當(dāng) ∠AOM=∠CAB=45° 時(shí)，△ABC∽△OMA， 即直線(xiàn) OM 的解析式為 y=-x． 設(shè) OM 與 AD 的交點(diǎn)為 Mx,y， 依題意得 y=-x,y=2x+6, 解得 x=-2,y=2, 即 M 點(diǎn)為 -2,2； （II）若 ∠AOM=∠CBA，即 OM∥BC， ∵ 直線(xiàn) BC 的解析式為 y=-3x+3， ∴ 直線(xiàn) O

18、M 的解析式為 y=-3x． 設(shè)直線(xiàn) OM 與 AD 的交點(diǎn)為 Mx,y， 由 y=-3x,y=2x+6, 解得 x=-65,y=185, 即 M 點(diǎn)為 -65,185． 綜上所述，存在使得以 M，A，O 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似的點(diǎn) M，其坐標(biāo)為 -2,2 或 -65,185． 4. 【答案】 (1) 在 y=2x+6 中，當(dāng) x=0 時(shí)，y=6，當(dāng) y=0 時(shí)，x=-3， ∴C0,6，A-3,0． ∵ 拋物線(xiàn) y=-2x2+bx+c 經(jīng)過(guò) A，C 兩點(diǎn)， ∴-18-3b+c=0,c=6, 解得 b=-4,c=6, ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=-2x

19、2-4x+6． (2) 令 -2x2-4x+6=0，解得 x1=-3，x2=1， ∴B1,0． 設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 t， ∴Et,-2t2-4t+6． 如圖所示，過(guò)點(diǎn) E 作 EH⊥x 軸于點(diǎn) H，過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥x 軸于點(diǎn) G， 則 EH∥FG． ∵EF=12BF， ∴BFBE=BGBH=FGEH=23． ∵BH=1-t， ∴BG=23BH=23-23t， ∴ 點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)為 13+23t， ∴F13+23t,203+43t， ∴-2t2-4t+6=32×203+43t， ∴t2+3t+2=0，解得 t1=-2，t2=-1． 當(dāng)

20、t=-2 時(shí)，-2t2-4t+6=6， 當(dāng) t=-1 時(shí)，-2t2-4t+6=8， ∴E1-2,6，E2-1,8． 當(dāng)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 -2,6 時(shí)，在 Rt△EBH 中，EH=6，BH=3， ∴BE=EH2+BH2=62+32=35， ∴sin∠EBA=EHBE=635=255， 同理，當(dāng)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 -1,8 時(shí)，sin∠EBA=EHBE=41717， ∴sin∠EBA 的值為 255 或 41717． (3) M 的坐標(biāo)為 2,-10 或 -4,-10 或 0,6． 【解析】 (3) ∵ 點(diǎn) N 在對(duì)稱(chēng)軸上， ∴xN=-3+12=-1． ①當(dāng)

21、 EB 為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況： 當(dāng)點(diǎn) M 在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，BN 為對(duì)角線(xiàn)， ∵E-2,6，xN=-1,-1--2=1，B1,0， ∴xM=1+1=2． 當(dāng) x=2 時(shí)，y=-2×22-4×2+6=-10， ∴M2,-10． ②當(dāng)點(diǎn) M 在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，BM 為對(duì)角線(xiàn)， ∵xN=-1，B1,0，1--1=2，E-2,6， ∴xM=-2-2=-4． 當(dāng) x=-4 時(shí)，y=-2×-42-4×-4+6=-10， ∴M-4,-10． ③當(dāng) EB 為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)， ∵B1,0，E-2,6，xN=-1， ∴1+-2=-1+xM， ∴xM=0，

22、 當(dāng) x=0 時(shí)，y=6， ∴M0,6． 綜上所述，M 的坐標(biāo)為 2,-10 或 -4,-10 或 0,6． 5. 【答案】 (1) ∵ 拋物線(xiàn) y=ax2+bx-4 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A2,0，B-4,0， ∴4a+2b-4=0,16a-4b-4=0, 解得 a=12,b=1. ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=12x2+x-4． (2) 如圖 3 所示，連接 OP， 設(shè)點(diǎn) Px,12x2+x-4， 其中 -4

23、2-x+4=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12=-x+22+16. ∵-1<0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，S 有最大值， ∴ 當(dāng) x=-2 時(shí)，四邊形 ABPC 的面積最大， 此時(shí)，y=-4，即 P-2,-4． 因此當(dāng)四邊形 ABPC 的面積最大時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 -2,-4． (3) y=12x2+x-4=12x+12-92， ∴ 頂點(diǎn) M-1,-92． 如圖 4 所示，連接 AM 交直線(xiàn) DE 于點(diǎn) G，連接 CG，MC，此時(shí)，△CMG 的周長(zhǎng)最?。? 設(shè)直線(xiàn) AM 的解析式為 y=kx+b，且過(guò)點(diǎn) A2,0，M-1,-92， ∴2k+b=0,-k+b=-9

24、2, 即 k=32,b=-3. ∴ 直線(xiàn) AM 的解析式為 y=32x-3． 在 Rt△AOC 中，AC=OA2+OC2=22+42=25． ∵D 為 AC 的中點(diǎn)， ∴AD=12AC=5． 由題意知 △ADE∽△AOC， ∴ADAO=AEAC， ∴52=AE25， ∴AE=5， ∴OE=AE-AO=5-2=3， ∴E-3,0． 由圖可知 D1,-2， 設(shè)直線(xiàn) DE 的函數(shù)解析式為 y=mx+n， 由 m+n=-2,-3m+n=0, 解得 m=-12,n=-32. ∴ 直線(xiàn) DE 的解析式為 y=-12x-32． 由 y=-12x-32,y=

25、32x-3, 解得 x=34,y=-158 ∴G34,-158． 6. 【答案】 (1) 將二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式聯(lián)立得 kx-12+2=kx-k+2，解得 x=1?和?2， 故點(diǎn) A，B 的橫坐標(biāo)分別為 1 和 2． (2) OA=22+1=5． ①當(dāng) OA=AB 時(shí)，即 1+k2=5，解得 k=±2（舍去 2）； ②當(dāng) OA=OB 時(shí)，即 4+k+22=5，解得 k=-1?或?-3． 故 k 的值為 -1 或 -2 或 -3． (3) 存在，理由如下： ①如圖所示，當(dāng)點(diǎn) B 在 x 軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥AE 于點(diǎn) H， 將 △AHB 的圖

26、形放大見(jiàn)右側(cè)圖形，過(guò)點(diǎn) A 作 ∠HAB 的平分線(xiàn)交 BH 于點(diǎn) M， 過(guò)點(diǎn) M 作 MN⊥AB 于點(diǎn) N，過(guò)點(diǎn) B 作 BK⊥x 軸于點(diǎn) K， 圖中，點(diǎn) A1,2，點(diǎn) B2,k+2，則 AH=-k，HB=1． 設(shè) HM=m=MN，則 BM=1-m，則 AN=AH=-k，AB=k2+1，NB=AB-AN． 由勾股定理得 MB2=NB2+MN2，即 1-m2=m2+k2+1+k2，解得 m=-k2-kk2+1． 在 △AHM 中，tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，解得 k=±3． 此時(shí) k+2>0，則 -2

27、 ②當(dāng)點(diǎn) B 在 x 軸下方時(shí)，同理可得 tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=-k+2， 解得 k=-4-73 或 -4+73，此時(shí) k+2<0，k<-2，故舍去 -4+73． 故 k 的值為 -3 或 -4-73． 7. 【答案】 (1) 由題意得點(diǎn) M 在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=1， 則 x=-b2a=1，即 b=-2a． 把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式得 a×9-2a×3-3=0， 則 a=1，故拋物線(xiàn)的解析式為 y=x2-2x-3． 如圖（1）所示，過(guò)點(diǎn) M 作 MN⊥y 軸，交 y 軸于點(diǎn) N，連接

28、MC， 則圓的半徑 =MC=MN2+CN2=1+22=5． (2) 點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)分別為 3,0，0,-3，則直線(xiàn) BC 的解析式為 y=x-3， 設(shè)點(diǎn) F 是拋物線(xiàn)在第四象限的點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) F 作 y 軸的平行線(xiàn)，交 BC 于點(diǎn) P，如圖（2）所示， 設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 x,x2-2x-3，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x,x-3， S△FBC=12×PF×OB=12x-3-x2+2x+3×3=-32x-322+278． ∵a=-32<0，故 S△FBC 有最大值，故當(dāng) x=32 時(shí)，△FBC 的面積的最大值為 278． (3) 當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) O，P，P? 的位置時(shí)，如圖（

29、3）所示， △PAC 是直角三角形，且兩直角邊的長(zhǎng)度之比是 1:3，即 ∠P?AC=∠ACP=∠AOC=90°． 此時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為 0,13 或 9,0 或 0,0． 8. 【答案】 (1) A-4,0，B6,0，C0,3，y=-18x2+14x+3． (2) 如圖（1）所示，過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線(xiàn)交 BC 于點(diǎn) G，作 PH⊥BC 于點(diǎn) H， 則 ∠HPG=∠CBA=α，tan∠CBA=OCOB=12=tanα，則 cosα=25． 設(shè)點(diǎn) Px,-18x2+14x+3，則點(diǎn) Gx,-12x+3， 則 PH=PGcosα=255-18x2+14x+

30、3+12x-3=-520x2+3510x． ∵-520<0，故 PH 有最大值，此時(shí) x=3，則點(diǎn) P3,218． (3) ①當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸上方時(shí)，則點(diǎn) Q，A，B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 全等， 此時(shí)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn) Q2,3． ②當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸下方時(shí)，當(dāng) ∠BAQ=∠CAB 時(shí)，AQAB=ABAC，△QAB∽△BAC， 由勾股定理得 AC=5，AQ=1025=20． 如圖（2）所示，過(guò)點(diǎn) Q 作 QH⊥x 軸于點(diǎn) H， 由 △QHA∽△COA 得 QHCO=HAAO=QAAC=4， ∵OC=3，AO=4， ∴QH=12

31、，則 AH=16，OH=16-4=12， ∴Q12,-12． 根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)點(diǎn) Q 在第三象限時(shí)，符合條件的點(diǎn) Q 為 -10,-12． 當(dāng) x=12 時(shí)，y=-18x2+14x+3=-12； 當(dāng) x=-10 時(shí)，y=-18x2+14x+3=-12． 故點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 12,-12 或 -10,-12． 當(dāng) ∠BAQ=∠CBA 時(shí)，則直線(xiàn) AQ∥BC， 直線(xiàn) BC 的解析式中的 k 為 -12， 則直線(xiàn) AQ 的解析式為 y=-12x-2.???② 聯(lián)立①②并解得 x=10?或?-4（舍去 -4）， 故點(diǎn) Q10,-7，BCAB=4510，而 ABAQ=10245

32、≠BCAB， 即以 Q，A，B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 不相似，故舍去． Q 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) -8,-7 同樣也舍去． 即點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 -8,-7，10,-7 的均不符合題意． 綜上，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 2,3 或 12,-12 或 -10,-12． 【解析】 (1) y=-12x+3，令 x=0，則 y=3，令 y=0，則 x=6， 故點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)分別為 6,0，0,3， 而拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=1，則點(diǎn) A-4,0， ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=ax-6x+4=ax2-2x-24，即 -24a=3，解得 a=-18， 故拋物線(xiàn)的解析式為 y=-18x2+

33、14x+3.???① 9. 【答案】 (1) 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為 y=ax+2x-4=ax2-2x-8=ax2-2ax-8a， 即 -8a=6，解得 a=-34，故拋物線(xiàn)的解析式為 y=-34x2+32x+6． (2) 點(diǎn) C0,6，由點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)可得直線(xiàn) BC 的解析式為 y=-32x+6． 如圖 1 所示，過(guò)點(diǎn) D 作 y 軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn) BC 于點(diǎn) H， 設(shè)點(diǎn) Dm,-34m2+32m+6，則點(diǎn) Hm,-32m+6， S△BDC=12HD×OB=2-34m2+32m+6+32m-6=2-34m2+3m， 34S△ACO=34×12×6×2=92，即

34、 2-34m2+3m=92， 解得 m=3 或 m=1（舍去），故 m=3． (3) 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0,0 或 14,0 或 -14,0 或 8,0． 【解析】 (3) 當(dāng) m=3 時(shí)，點(diǎn) D3,154． ①當(dāng) BD 是平行四邊形的一條邊時(shí)，如圖 2 所示，M，N 分別有三個(gè)點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn) Nn,-34n2+32n+6，則點(diǎn) N 的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為 154， 即 -34n2+32n+6=154，解得 n=-1?或?3舍去或?1±14． 故點(diǎn) N（N?，N?）的坐標(biāo)為 -1,154 或 1+14,-154 或 1-14,-154． 當(dāng)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 -1,154 時(shí)，由圖

35、象可得點(diǎn) M0,0， 當(dāng) N? 的坐標(biāo)為 1+14,-154 時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn) M?14,0． 同理可得點(diǎn) M? 的坐標(biāo)為 -14,0． 故點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0,0 或 14,0 或 -14,0． ②當(dāng) BD 是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn) B，D 的坐標(biāo)分別為 4,0，3,154， 設(shè)點(diǎn) Mm,0，點(diǎn) Ns,t，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 4+3=m+s,154+0=t+0, 而 t=-34s2+32s+6，解得 t=154，s=-1，m=8， 故點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 8,0． 綜上，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0,0 或 14,0 或 -14,0 或 8,0． 10. 【答案】

36、(1) ∵ 拋物線(xiàn) y=ax2+bx+3 過(guò)點(diǎn) B-3,0，C1,0， 由 9a-3b+3=0,a+b+3=0, 解得 a=-1,b=-2, ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=-x2-2x+3． (2) 如圖 1 所示，過(guò)點(diǎn) P 作 PH⊥x 軸于點(diǎn) H，交 AB 于點(diǎn) F． ∵x=0 時(shí)，y=-x2-2x+3=3， ∴A0,3， ∴ 直線(xiàn) AB 的解析式為 y=x+3． 設(shè) Pt,-t2-2t+3-3

37、OB=32-t2-3t=-32t+322+278. ∴ 點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為 -32,154 的點(diǎn)時(shí)，△PAB 的面積最大． (3) 如圖 2 所示，存在點(diǎn) P 使 △PDE 為等腰直角三角形． 設(shè) Pt,-t2-2t+3-3