人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題2 新定義型問題

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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題2 新定義型問題 1. 我們知道，任意一個(gè)正整數(shù) n 都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q 是正整數(shù)，且 p≤q），在 n 的所有這種分解中，如果 p，q 兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱 p×q 是 n 的最佳分解．并規(guī)定：Fn=pq．例如 12 可以分解成 1×12，2×6 或 3×4，因?yàn)?12-1>6-2>4-3，所有 3×4 是 12 的最佳分解，所以 F12=34． (1) 如果一個(gè)正整數(shù) a 是另外一個(gè)正整數(shù) b 的平方，我們稱正整數(shù) a 是完全平方數(shù)．求證：對任意一個(gè)完全平方數(shù) m，總有 Fm=1； (2) 如果一個(gè)兩

2、位正整數(shù) t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y 為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為 18，那么我們稱這個(gè)數(shù) t 為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中 Ft 的最大值． 2. 【概念認(rèn)識(shí)】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系 xOy，對兩點(diǎn) Ax1,y1 和 Bx2,y2，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：dA,B=∣x1-x2∣+∣y1-y2∣． (1) 【數(shù)學(xué)理解】 （1）①已知點(diǎn) A-2,1，則 dO,A= ． ②函數(shù) y=

3、-2x+40≤x≤2 的圖象如圖①所示，B 是圖象上一點(diǎn)，dO,B=3，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ． （2）函數(shù) y=4xx>0 的圖象如圖②所示．求證該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn) C，使 dO,C=3． （3）函數(shù) y=x2-5x+7x≥0 的圖象如圖③所示，D 是圖象上一點(diǎn)，求 dO,D 的最小值及對應(yīng)的點(diǎn) D 的坐標(biāo)． (2) 【問題解決】 某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④所示，道路以 M 為起點(diǎn)，先沿 MN 方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡要說明理由） 3. 如圖（1）所示，對角

4、線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形． (1) 概念理解：如圖（2）所示，在四邊形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，則四邊形 ABCD 是垂美四邊形嗎？請說明理由． (2) 性質(zhì)探究：如圖（1）所示，四邊形 ABCD 的對角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，AC⊥BD．試求證 AB2+CD2=AD2+BC2． (3) 解決問題：如圖（3）所示，分別以 Rt△ACB 的直角邊 AC 和斜邊 AB 為邊向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，連接 CE，BG，GE，已知 AC=4，AB=5，求 GE 的長． 4. 閱讀以下材料： 對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J

5、.Napier，1550 年 ～1617 年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到 18 世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707 年 ～1783 年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系． 對數(shù)的定義：一般地，若 ax=N（a>0 且 a≠1），那么 x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 x=logaN，比如指數(shù)式 24=16 可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式 4=log216，對數(shù)式 2=log525，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式 52=25． 我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：logaM?N=logaM+logaNa>0,a≠1,M>0,N>0． 理由如下： 設(shè) logaM=m，logaN=n，則 M=

6、am，N=an， ∴M?N=am?an=am+n． 由對數(shù)的定義得 m+n=logaM?N， 又 ∵m+n=logaM+logaN， ∴l(xiāng)ogaM?N=logaM+logaM． 根據(jù)閱讀材料，解決以下問題： (1) 將指數(shù)式 34=81 轉(zhuǎn)化為對數(shù)式： ； (2) 求證 logaMN=logaM-logaNa>0,a≠1,M>0,N>0； (3) 拓展運(yùn)用：計(jì)算 log69+log68-log62= ． 5. 某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外學(xué)習(xí)與探究中遇到一些新的數(shù)學(xué)符號(hào)，他們將其中某些材料摘錄如下： 對于三個(gè)實(shí)數(shù) a，b，c，用 Ma,b,c 表

7、示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用 mina,b,c 表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)． 例如：M1,2,9=1+2+93=4，min1,2,-3=-3，min3,1,1=1．請結(jié)合上述材料，解決下列問題： (1) ① M-22,22,-22= ； ② minsin30°,cos60°,tan45°= ； (2) 若 M-2x,x2,3=2，求 x 的值； (3) 若 min3-2x,1+3x,-5=-5，求 x 的取值范圍． 6. 我們規(guī)定，以二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的二次項(xiàng)系數(shù) a 的 2 倍為一次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù) b 為常數(shù)項(xiàng)構(gòu)造的一次函數(shù) y=2ax+b 叫

8、做二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的“子函數(shù)”，反過來，二次函數(shù) y=ax2+bx+c 叫做一次函數(shù) y=2ax+b 的“母函數(shù)”． (1) 若一次函數(shù) y=2x-4 是二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的“子函數(shù)”，且二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn) C3,0，求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2) 若“子函數(shù)”y=x-6 的“母函數(shù)”的最小值為 1，求“母函數(shù)”的函數(shù)解析式； (3) 已知二次函數(shù) y=-x2-4x+8 的“子函數(shù)”圖象與 x 軸、 y 軸交于 C，D 兩點(diǎn)，P 點(diǎn)在直線 CD 上方的拋物線上，求 △PCD 的面積的最大值． 7. 對于一個(gè)函數(shù)，自變量 x 取 a 時(shí)，函數(shù)

9、值 y 也等于 a，我們稱 a 為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．如果二次函數(shù) y=x2+2x+c 有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) x1，x2，且 x1<1

10、b-y01+k2，例如：點(diǎn) 0,1 到直線 y=2x+6 的距離 d=2×0+6-11+22=5．據(jù)此進(jìn)一步可得兩條平行線 y=x 和 y=x-4 之間的距離為 ． 11. 閱讀材料： 定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于 -1，記為 i2=-1，這個(gè)數(shù) i 叫做虛數(shù)單位，把形如 a+bi（a，b 為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中 a 叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b 叫這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似． 例如計(jì)算： 4+i+6-2i=4+6+1-2i=10-i； 2-i3+i=6-3i+2i-i2=6-i--1=7-i； 4+i4-i=16-i2=16--1=

11、17； 2+i2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i． 根據(jù)以上信息，完成下面計(jì)算： 1+2i2-i+2-i2= ． 12. 規(guī)定：logaba>0,a≠1,b>0 表示 a，b 之間的一種運(yùn)算．現(xiàn)有如下的運(yùn)算法則：logaan=n，logNM=logaMlogaNa>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0．例如：log223=3，log25=log105log102，則 log832= ． 13. 閱讀材料：設(shè) a=x1,y1，b=x2,y2，如果 a∥b，則 x1?y2=x2?y1，根據(jù)該材料填空，已知 a=4,3，b=8,m，且 a∥b，則 m=

12、 ． 14. 規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形，根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論： ①正方形和菱形都是廣義菱形； ②平行四邊形是廣義菱形； ③對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形； ④若 M，N 的坐標(biāo)分別為 0,1，0,-1，P 是二次函數(shù) y=14x2 的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ 垂直直線 y=-1 于點(diǎn) Q，則四邊形 PMNQ 是廣義菱形， 其中正確的是 ．（填序號(hào)） 15. 如圖所示，將一等邊三角形的三條邊各 8 等分，按順時(shí)針方向（圖中箭頭方向）標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào) 0，1，2，3，4，5，6，

13、7，8，將不同邊上的序號(hào)和為 8 的兩點(diǎn)依次連接起來，這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系．在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來表示（水平方向開始，按順時(shí)針方向），如點(diǎn) A 的坐標(biāo)可表示為 1,2,5，點(diǎn) B 的坐標(biāo)可表示為 4,1,3，按此方法，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)可表示為 ． 16. 閱讀下面的材料： 如果函數(shù) y=fx 滿足：對于自變量 x 的取值范圍內(nèi)的任意 x1，x2， （1）若 x1fx2，則稱 fx 是減函數(shù)．

14、 例題：證明函數(shù) fx=6xx>0 是減函數(shù)． 證明：設(shè) 00，x1x2>0． ∴6(x2-x1)x1x2>0．即 fx1-fx2>0． ∴fx1>fx2． ∴ 函數(shù) fx=6xx>0 是減函數(shù)． 根據(jù)以上材料，解答下面的問題： 已知函數(shù) fx=1x2+xx<0，f-1=1(-1)2+-1=0，f-2=1(-2)2+-2=-74． (1) 計(jì)算：f-3= ，f-4= ； (2) 猜想：函數(shù) fx=1x2+xx

15、<0 是 函數(shù)（填“增”或“減”）； (3) 請仿照例題證明你的猜想． 17. 定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線． (1) 如圖 1，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 △ABC 的角平分線，E，F(xiàn) 分別是 BD，AD 上的點(diǎn)．求證：四邊形 ABEF 是鄰余四邊形． (2) 如圖 2，在 5×4 的方格紙中，A，B 在格點(diǎn)上，請畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形 ABEF，使 AB 是鄰余線，E，F(xiàn) 在格點(diǎn)上． (3) 如圖 3，在（1）的條件下，取 EF 中點(diǎn) M，連接 DM 并延長交 AB 于點(diǎn) Q，延長 EF 交

16、AC 于點(diǎn) N．若 N 為 AC 的中點(diǎn)，DE=2BE，QB=3，求鄰余線 AB 的長． 18. 定義：我們把二次函數(shù) y=ax2+bx+c 和 y=-ax2+bx-c 稱為一對友好函數(shù)，并稱函數(shù) y=ax2+bx+c 是函數(shù) y=-ax2+bx-c 的友好函數(shù)，函數(shù) y=-ax2+bx-c 也是函數(shù) y=ax2+bx+c 的友好函數(shù)． (1) 請你寫出一對友好函數(shù)； (2) 若函數(shù) y=2x2+bx+c 與它的友好函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)重合，求 b 和 c 的值； (3) 如圖所示，若函數(shù) y=-x2+bx+c 的圖象的頂點(diǎn) P 是拋物線 y=14x+12 第一象限上的一個(gè)動(dòng)

17、點(diǎn)，且與 x 軸交于點(diǎn) Ax1,0 和點(diǎn) Bx2,0，且 x1

18、坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A-1,0，B1,0，C 是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接 AB，BC，CA 所形成的圖形為 S，記 S 的寬距為 d． ①若 d=2，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn) C 所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示)； ②若點(diǎn) C 在 ⊙M 上運(yùn)動(dòng)，⊙M 的半徑為 1，圓心 M 在過點(diǎn) 0,2 且與 y 軸垂直的直線上．對于 ⊙M 上任意點(diǎn) C，都有 5≤d≤8，直接寫出圓心 M 的橫坐標(biāo) x 的取值范圍． 答案 1. 【答案】 (1) 對任意一個(gè)完全平方數(shù) m，設(shè) m=n2（n 為正整數(shù)）， 因?yàn)?n-n=0， 所以 n×n 是 m 的最佳分解， 所以對任意一個(gè)完全平方數(shù)

19、 m，總有 Fm=nn=1． (2) 設(shè)交換 t 的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為 t?，則 t?=10y+x， 因?yàn)?t 為“吉祥數(shù)”， 所以 t?-t=10y+x-10x+y=9y-x=18， 所以 y=x+2， 因?yàn)?1≤x≤y≤9，x，y 為自然數(shù) 所以“吉祥數(shù)”有：13，24，35，46，57，68，79， 所以 F13=113，F(xiàn)24=46=23，F(xiàn)35=57，F(xiàn)46=223，F(xiàn)57=319，F(xiàn)68=417，F(xiàn)79=179， 因?yàn)?57>23>417>319>223>113， 所以所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)t 的最大值是 57． 2. 【答案】 (1)

20、 （1）① 3；② B1,2 （2）假設(shè)函數(shù) y=4x 的圖象上存在點(diǎn) Cx,y 使 dO,C=3， 根據(jù)題意，得 ∣x-0∣+4x-0=3， ∵x>0， ∴4x>0， ∴∣x-0∣+4x-0=x+4x， ∴x+4x=3， ∴x2+4=3x， ∴x2-3x+4=0， ∴Δ=b2-4ac=-7<0， ∴ 方程 x2-3x+4=0 沒有實(shí)數(shù)根， ∴ 該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn) C，使 dO,C=3． （3）設(shè) Dx,y， 根據(jù)題意得 dO,D=∣x-0∣+∣x2-5x+7-0∣=∣x∣+∣x2-5x+7∣， ∵x2-5x+7=x-522+34>0，且

21、x≥0， ∴dO,D=∣x∣+∣x2-5x+7∣=x+x2-5x+7=x2-4x+7=x-22+3， ∴ 當(dāng) x=2 時(shí)，dO,D 有最小值 3，此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 2,1． (2) 如圖 2 所示，以 M 為原點(diǎn)，MN 所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy， 將函數(shù) y=-x 的圖象沿 y 軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止， 設(shè)交點(diǎn)為 E，過點(diǎn) E 作 EH⊥MN，垂足為 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 處，再沿 HE 方向修建到 E 處． 理由如下：設(shè)過點(diǎn) E 的直線 l1 與 x 軸相交于點(diǎn) F．在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)

22、P，過點(diǎn) P 作直線 l2∥l1，l2 與 x 軸相交于點(diǎn) G． ∵∠EFH=45°， ∴EH=HF，dO,E=OH+EH=OF． 同理 dO,P=OG． ∵OG≥OF， ∴dO,P≥dO,E， ∴ 上述方案修建的道路最短． 【解析】 (1) （1）①由題意得 dO,A=∣0+2∣+∣0-1∣=2+1=3． ②設(shè) Bx,y，由定義兩點(diǎn)間的距離可得 ∣0-x∣+∣0-y∣=3， ∴x+y=3， ∴x+y=3,y=-2x+4, 解得 x=1,y=2, ∴B1,2． 3. 【答案】 (1) 四邊形 ABCD 是垂美四邊形． 理由如下：如圖 4

23、 所示，連接 BD，AC， ∵AB=AD， ∴ 點(diǎn) A 在線段 BD 的垂直平分線上， ∵CB=CD， ∴ 點(diǎn) C 在線段 BD 的垂直平分線上， ∴ 直線 AC 是線段 BD 的垂直平分線， ∴AC⊥BD，即四邊形 ABCD 是垂美四邊形． (2) ∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得 AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． (3) 連接 CG，BE，如圖 5 所示． ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠

24、CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即 ∠GAB=∠CAE． 在 △GAB 和 △CAE 中， AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE, ∴△GAB≌△CAESAS， ∴∠ABG=∠AEC． 又 ∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠BMN=90°，即 CE⊥BG， ∴ 四邊形 CGEB 是垂美四邊形． 由（2）得 CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=42，BE=52， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=73， ∴GE=73． 4. 【答案】 (1) 4=log381（或 log381

25、=4） (2) 設(shè) logaM=m，logaN=n， 則 M=am，N=an， ∴MN=aman=am-n． 由對數(shù)的定義得 m-n=logaMN， 又 ∵m-n=logaM-logaN， ∴l(xiāng)ogaMN=logaM-logaN． (3) 2 【解析】 (3) log69+log68-log62=log69×8÷2=log636=2． 5. 【答案】 (1) 43；12 (2) ∵M(jìn)-2x,x2,3=2， ∴-2x+x2+33=2， 解得 x=-1或3． (3) ∵min3-2x,1+3x,-5=-5， ∴3-2x≥-5,

26、3-2x≥-5, 解得 -2≤x≤4． 【解析】 (1) ① M-22,22,-22=-22+22-223=43． ② minsin30°,cos60°,tan45°=12． 6. 【答案】 (1) 由題意得 a=1，b=-4， 故拋物線的表達(dá)式為 y=x2-4x+c． 將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入得 c=3， 故拋物線的表達(dá)式為 y=x2-4x+3=x-22-1， 故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2,-1． (2) “子函數(shù)”y=x-6 的“母函數(shù)”為 y=12x2-6x+c， ∵y=12x2-12x+c=12x-62-18+c， 故 -18+c=1，解得 c=19，

27、 故“母函數(shù)”的表達(dá)式為 y=12x2-6x+19． (3) 如圖所示，連接 DP，設(shè)點(diǎn) Pm,-m2-4m+8，過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交 CD 于點(diǎn) H， 由題意得，直線 CD 的表達(dá)式為 y=-2x-4，則點(diǎn) Hm,-2m-4， 故點(diǎn) C，D 的坐標(biāo)分別為 -2,0，0,-4， ∴S△PCD=S△PHC-S△PHD=12×PH×xH-xC-xH-xD=12×-m2-4m+8+2m+4×m+2-m=-m2-2m+12=-m+12+13, 當(dāng) m=-1 時(shí)，S△PCD 有最大值，其最大值為 13． 7. 【答案】B 【解析】由題意知二次函數(shù) y=x2+2x+c

28、 有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) x1，x2 是方程 x2+2x+c=x 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且 x1<10，令 y=x2+x+c，畫出該二次函數(shù)的草圖如圖所示， 則 1-4c>0,1+1+c<0, 解得 c<-2． 8. 【答案】B 9. 【答案】 0 【解析】提示：當(dāng) x=-1 時(shí)，f-1=-12-1=0． 10. 【答案】 22 【解析】當(dāng) x=0 時(shí)，y=x=0，即點(diǎn) 0,0 在直線 y=x 上， ∵ 點(diǎn) 0,0 到直線 y=x-4 的距離為 d=

29、0-4-01+12=42=22， 又直線 y=x 和 y=x-4 平行， ∴ 這兩條平行線之間的距離為 22． 11. 【答案】 7-i 【解析】 1+2i2-i+2-i2=2-i+4i-2i2+4+i2-4i=6-i-i2=7-i. 12. 【答案】 53 【解析】提示：log832=log232log28=log225log223=53． 13. 【答案】 6 【解析】 ∵a=4,3，b=8,m，且 a∥b， ∴4m=3×8， ∴m=6． 14. 【答案】①④ 【解析】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊

30、相等，①正確． ②平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯(cuò)誤． ③由給出條件無法得到一組對邊平行，③錯(cuò)誤． ④設(shè)點(diǎn) Pm,14m2，則 Qm,-1， ∴MP=m2+14m2-12=14m2+1，PQ=14m2+1． ∵ 點(diǎn) P 在第一象限， ∴m>0， ∴MP=14m2+1， ∴MP=PQ． 又 ∵M(jìn)N∥PQ， ∴ 四邊形 PMNQ 是廣義菱形，④正確． 15. 【答案】 (2,4,2) 16. 【答案】 (1) -269；-6316 (2) 增 (3) 設(shè) x1

31、x22-x2=x1-x21-x1+x2x12x22， ∵x1f-3， ∴ 函數(shù) fx=1x2+xx<0 是增函數(shù)． 17. 【答案】 (1) ∵AB=AC，AD 是 △ABC 的角平分線， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠D

32、AB+∠DBA=90°， ∴∠FAB 與 ∠EBA 互余， ∴ 四邊形 ABEF 是鄰余四邊形． (2) 如圖所示（答案不唯一）， 四邊形 ABEF 即為所求． (3) ∵AB=AC，AD 是 △ABC 的角平分線， ∴BD=CD， ∵DE=2BE， ∴BD=CD=3BE， ∴CE=CD+DE=5BE， ∵∠EDF=90°，M 為 EF 中點(diǎn)， ∴DM=ME， ∴∠MDE=∠MED， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△DBQ∽△ECN， ∴QBNC=BDCE=35， ∵QB=3， ∴NC=5， ∵AN=CN， ∴

33、AC=2CN=10， ∴AB=AC=10． 18. 【答案】 (1) 令 a=1，b=2，c=3，得 y=ax2+bx+c=x2+2x+3，y=-ax2+bx-c=-x2+2x-3， ∴y=x2+2x+3 和 y=-x2+2x-3 是一對友好函數(shù)．（答案不唯一） (2) ∵ 兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)重合， ∴ 兩拋物線的對稱軸重合，即 -b-2×2=-b2×2， ∴b=0， ∴ 兩拋物線的解析式為 y=2x2+c 和 y=-2x2-c． ∵ 兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)重合， ∴c=-c，解得 c=0， ∴b=0，c=0． (3) 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 m,14m+

34、12， 則兩拋物線的解析式為 y1=-x-m2+14m+12 和 y2=x+m2-14m+12， 令 y1=0 得 -x-m2+14m+12=0，解得 xA=34m-1，xB=54m+1， ∴AB=54m+1-34m-1=12m+2． 令 y2=0，得 x+m2-14m+12=0，解得 xC=-54m-1，xD=-34m+1． 如圖 1 所示， 則 AD=34m-1--34m+1=32m-2． ∵ 點(diǎn) D 和點(diǎn) A 是線段 CB 的三等分點(diǎn)， ∴AD=AB， ∴32m-2=12m+2，解得 m=4， ∴y1=-x-42+4=-x2+8x-12， ∴b=8，c=

35、-12． 如圖 2 所示， 則 AD=-34m+1-34m-1=2-32m． ∵ 點(diǎn) D 和點(diǎn) A 是線段 CB 的三等分點(diǎn)， ∴AD=12AB， ∴2-32m=1212m+2，解得 m=47， ∴y1=-x-m2+14m+12=-x-472+872=-x2+87x+4849． ∴b=87，c=4849． 綜上所述，可知 b=8，c=-12 或 b=87，c=4849． 19. 【答案】 (1) 2；1+5 (2) ①如圖（2）所示， 所形成的圖形是圖中陰影部分 S1 和 S2（分別以 A，B 為圓心，以 AB 為半徑所作的圓心角為 120° 的

36、兩條弧所圍成的陰影部分即為點(diǎn) C 所在的區(qū)域）． ∴ 點(diǎn) C 所在的區(qū)域的面積為 S1+S2=83π-23． ②點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的范圍為 -35+1≤x≤-42+1 或 42-1≤x≤35-1． 【解析】 (1) ②如圖（1）所示， 正方形 ABCD 的邊長為 2， 設(shè)半圓的圓心為 O，點(diǎn) P 是 ⊙O 上一點(diǎn)，連接 OP，PC，OC． 在 Rt△ODC 中，OC=CD2+OD2=12+22=5， ∴OP+OC≥PC， ∴PC≤1+5， ∴ 這個(gè)“窗戶形”的寬距為 1+5． (2) ②如圖（3）所示， 當(dāng)點(diǎn) M 在 y 軸的右側(cè)時(shí)，連接 AM，作 MT⊥

37、x 軸于 T． 設(shè) M 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,2x>0，由題意可知．AC=d，MC=1，由圖象可知 AM-MC≤AC≤AM+MC， 又 ∵ 對于 ⊙M 上任意點(diǎn) C，5≤d≤8 恒成立， ∴AM-MC≥5，AM+MC≤8， ∴6≤AM≤7． 在 Rt△AMT 中，根據(jù)勾股定理得 AM2=MT2+AT2=22+x+12， ∴62≤22+x+12≤72， ∴32≤x+12≤45． ∵x>0， ∴42≤x+1≤35， ∴42-1≤x≤35-1， ∴ 滿足條件的點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的范圍為 42-1≤x≤35-1． 當(dāng)點(diǎn) M 在 y 軸的左側(cè)時(shí)，同理可得，滿足條件的點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的范圍為 -35+1≤x≤-42+1． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的范圍為 -35+1≤x≤-42+1 或 42-1≤x≤35-1．