人教版數(shù)學七年級下冊第五章 相交線與平行線——專題練習

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1、 小專題（一）平行線中的“拐點”問題 模型 1 M 型 【例 1】 如圖，已知 AB∥CD，則∠B，∠BED，∠D 之間有何數(shù)量關系？請說明 理由． 【思路點撥】 由已知條件知，AB∥CD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線的性質解決．為此可構造第三條直線，即過點 E 作 EF∥AB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了． 變式  當點 E 運動到平行線的外側 1．已知 AB∥CD，點 E 為 AB，CD 之外任意一點． (1)如圖 1，探究∠BED 與∠B，∠D 的數(shù)量關系，并說明理由； (2)如圖 2，探究

2、∠CDE 與∠B，∠BED 的數(shù)量關系，并說明理由． 拓展  平行線間有多個拐點 2．(1)如圖 1 中，AB∥CD，則∠E＋∠G 與∠B＋∠F＋∠D 有何關系？ (2)在圖 2 中，若 AB∥CD，又能得到什么結論？ 如果出現(xiàn)多個拐點時，可以作多條平行線，從而將多拐點問題轉化為一個拐點問 題來處理．M 型最終的結論為：朝左的角之和等于朝右的角之和． 模型 2  鉛筆型 【例 2】 如圖，直線 AB∥CD，∠B，∠BED，∠D 之間有什么關系呢？為什么？ 拓展  平行線間有多個拐點 3．(1)①如圖

3、 1，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＝ 1 2 1 2 ②如圖 2，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＝ 1 3 1 2 3  度； 度； ③如圖 3，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝ 1 4 1 2 3 4 ④圖 4，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝ 1 5 1 2 3 4 5 從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ (2)如圖 5，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋…＋∠A ＝ 1 n 1 2 3 n 度； 度； 度． 小專題(二)  利用平行線的性質求角的度數(shù)

4、 類型 1  直接利用平行線的性質與判定求角度 1．如圖，OC 是∠AOB 的平分線，l∥OB.若∠1＝52°，則∠2 的度數(shù)為( ) A．52° B．54° C．64° D．69° 2．如圖，CD∥AB，點 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，則∠AOF 的度數(shù)是( ) A．20° B．25° C．30° D．35° 3．如圖，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，則∠D＝ ． 4．如圖，已知 EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD 的度數(shù)． 類型 2  借助學具的特征求角度

5、 5．如圖，將直尺與 30°角的三角尺疊放在一起．若∠1＝40°，則∠2 的大小是 ( ) A．40° B．60° C．70° D．80° 6．如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點剛好落在平行線 l ，l 上，已知∠C 1 2 是直角，則∠1＋∠2 的度數(shù)等于( ) A．75° B．90° C．105° D．120° 類型 3  折疊問題中求角度 7．將一個長方形紙片折疊成如圖所示的圖形．若∠ABC＝26°，則∠ACD＝ ． 8．如圖，一個四邊形紙片 ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把紙片按如圖 所示折疊，

6、使點 B 落在 AD 邊上的 B′點，AE 是折痕，則∠AEB 的度數(shù)是 ． 類型 4  抽象出平行線模型求角度 (建模思想) 9．如圖，∠AOB 的一邊 OA 為平面鏡，∠AOB＝38°，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點 C 射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點 E 處，已知∠ADC＝∠ ODE.則∠DEB 的度數(shù)是  度． 10 ．如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個梯形挖去一個小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉動刀片時會形成如圖 2 所示的∠1 與∠2，則∠1 與∠2 的度數(shù)和是

7、 ． 小專題(三)  平行線的性質與判定的綜合運用 ——教材 P37T13 的變式與應用 教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明． (1)如圖 1，點 D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點，DE∥BA，DF ∥CA.求證：∠FDE＝∠A. 證明：∵DE∥BA， ∴∠FDE＝ ∵DF∥CA，  ． ∴∠A＝ ∴∠FDE＝∠A.  ． (2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點 O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求證 AC∥BD. 證明：∵∠C＝∠COA，∠

8、D＝∠BOD， 又∠COA＝∠BOD( )， ∴∠C＝ ． ∴AC∥BD(內錯角相等，兩直線平行)． (1)判定兩直線平行的方法有五種：①平行線的定義；②平行公理的推論；③同 位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行；⑤同旁內角互補，兩直線 平行． (2)判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運用，推理時要 注意書寫格式． (3)由兩條直線平行得到同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補，解題時應結 合圖形先確認所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內錯角 或同旁內角，同時要學會簡單的幾何說理，做到每一步有理有據(jù)．

9、 1．如圖，已知 AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為 D，F(xiàn)，∠2＋∠3＝180°.試說明： ∠GDC＝∠B.下面是不完整的說理過程，請你將橫線上的過程和括號里的理由補 充完整． 解：因為 AD⊥BC，EF⊥BC(已知)， ①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定義)． ②所以 (同位角相等，兩直線平行)． ③所以∠1＋∠2＝ (兩直線平行，同旁內角互補)． ④又因為∠2＋∠3＝180°( )， ⑤所以∠1＝∠3( )． ⑥所以 AB∥DG( )． ⑦所以∠GDC＝∠B( )． 2．如圖，點 G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB，

10、AG 分別交于點 H，M.若 DF∥AB，∠ B＝75°，∠D＝105°，求證：∠AME＝∠AGC. 3．如圖，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 與 AE 相交于點 F，∠CFE＝∠E.求證：AD ∥BC. 4．如圖，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的平分線．你能判斷 DF 與 AB 的位置關系嗎？請說明理由． 5．如圖，AB⊥BD 于點 B，點 E 是 BD 上的點，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且 ∠1＋∠2＝90°.求證：CD⊥BD. 6．如圖，把一張長方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與

11、 BC 的交點為 G，點 D， C 分別落在 D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2 的度數(shù)． 7．如圖，已知 BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°. (1)求證：AF∥DE； (2)若 AQ 平分∠FAC，交 BC 于點 Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ 的度數(shù)． 參考答案： 小專題（一）平行線中的“拐點”問題 模型 1 M 型 【例 1】 如圖，已知 AB∥CD，則∠B，∠BED，∠D 之間有何數(shù)量關系？請說明 理由． 【思路點撥】 由已知條件知，AB∥CD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線

12、的性質解決．為此可構造第三條直線，即過點 E 作 EF∥AB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了． 【解答】 ∠BED＝∠B＋∠D. 理由：過點 E 作 EF∥AB，則 EF∥CD. ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF. ∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D. 變式  當點 E 運動到平行線的外側 1．已知 AB∥CD，點 E 為 AB，CD 之外任意一點． (1)如圖 1，探究∠BED 與∠B，∠D 的數(shù)量關系，并說明理由； (2)如圖 2，探究∠CDE 與∠B，∠BED 的數(shù)量關系，并說明理由． 解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.

13、理由如下： 過點 E 作 EF∥AB，則 AB∥CD∥EF. ∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF. ∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF， ∴∠B＝∠BED＋∠D. (2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下： 過點 E 作 EF∥AB，則 AB∥CD∥EF. ∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°. 又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED， ∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF， 即∠CDE＝∠B＋∠BED. 拓展  平行線間有多個拐點 2．(1)如圖 1 中，AB∥CD，則∠E＋∠G 與∠B＋∠F＋∠D 有何關系？

14、 (2)在圖 2 中，若 AB∥CD，又能得到什么結論？ 解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D. 理由：過點 E，F(xiàn)，G 分別作 EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，GH∥AB， 由 AB∥CD，得 AB∥EM∥FN∥GH∥CD. ∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D. ∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝ ∠B＋∠EFG＋∠D. (2)在圖 2 中，有∠E ＋∠E ＋∠E ＋…＋∠E ＝∠B＋∠F ＋∠F ＋…＋∠F 1 2 3 n 1 2  n

15、－1  ＋∠ D. 如果出現(xiàn)多個拐點時，可以作多條平行線，從而將多拐點問題轉化為一個拐點問 題來處理．M 型最終的結論為：朝左的角之和等于朝右的角之和． 模型 2  鉛筆型 【例 2】 如圖，直線 AB∥CD，∠B，∠BED，∠D 之間有什么關系呢？為什么？ 【解答】 ∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 理由：過點 E 作 EF∥AB. ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF. ∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°， 即∠B＋∠BED＋∠D＝360°

16、. 拓展  平行線間有多個拐點 3．(1)①如圖 1，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＝180 度； 1 2 1 2 ②如圖 2，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＝360 度； 1 3 1 2 3 ③如圖 3，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝540 度； 1 4 1 2 3 4 ④圖 4，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝720 度； 1 5 1 2 3 4 5 從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ (2)如圖 5，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋…＋∠A ＝180(n－1)度． 1 n 1

17、2 3 n 解：每增加一個角，度數(shù)增加 180°. 小專題(二)  利用平行線的性質求角的度數(shù) 類型 1  直接利用平行線的性質與判定求角度 1．如圖，OC 是∠AOB 的平分線，l∥OB.若∠1＝52°，則∠2 的度數(shù)為( C ) A．52° B．54° C．64° D．69° 2．如圖，CD∥AB，點 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，則∠AOF 的度數(shù)是( D ) A．20° D．35°  B．25° C．30° 3．如圖，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°

18、，則∠D＝130°． 4．如圖，已知 EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD 的度數(shù)． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3(等量代換)． ∴AB∥DG(內錯角相等，兩直線平行)． ∴∠BAC＋∠AGD＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)． ∵∠BAC＝80°， ∴∠AGD＝100°. 類型 2  借助學具的特征求角度 5．如圖，將直尺與 30°角的三角尺疊放在一起．若∠1＝40°，則∠2 的大小是 ( D ) A．40° B．60° C

19、．70° D．80° 6．如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點剛好落在平行線 l ，l 上，已知∠C 1 2 是直角，則∠1＋∠2 的度數(shù)等于( B ) A．75° B．90° C．105° D．120° 類型 3  折疊問題中求角度 7．將一個長方形紙片折疊成如圖所示的圖形．若∠ABC＝26°，則∠ACD＝128°． 8．如圖，一個四邊形紙片 ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把紙片按如圖 所示折疊，使點 B 落在 AD 邊上的 B′點，AE 是折痕，則∠AEB 的度數(shù)是 65°． 類型 4  抽象出平

20、行線模型求角度 (建模思想) 9．如圖，∠AOB 的一邊 OA 為平面鏡，∠AOB＝38°，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點 C 射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點 E 處，已知∠ADC＝∠ ODE.則∠DEB 的度數(shù)是 76 度． 10 ．如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個梯形挖去一個小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉動刀片時會形成如圖 2 所示的∠1 與∠2，則∠1 與∠2 的度數(shù)和是 90°． 小專題(三)  平行線的性質與判定的綜合運用 ——教材 P37T13 的變式與應用

21、 教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明． (1)如圖 1，點 D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點，DE∥BA，DF ∥CA.求證：∠FDE＝∠A. 證明：∵DE∥BA， ∴∠FDE＝∠BFD(兩直線平行，內錯角相等)． ∵DF∥CA， ∴∠A＝∠BFD(兩直線平行，同位角相等)． ∴∠FDE＝∠A. (2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點 O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求證 AC∥BD. 證明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， 又∠COA＝∠BOD(對頂角相等)， ∴∠C＝∠D．

22、 ∴AC∥BD(內錯角相等，兩直線平行)． (1)判定兩直線平行的方法有五種：①平行線的定義；②平行公理的推論；③同 位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行；⑤同旁內角互補，兩直線 平行． (2)判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運用，推理時要 注意書寫格式． (3)由兩條直線平行得到同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補，解題時應結 合圖形先確認所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內錯角 或同旁內角，同時要學會簡單的幾何說理，做到每一步有理有據(jù)． 1．如圖，已知 AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為 D，F(xiàn)，∠2＋

23、∠3＝180°.試說明： ∠GDC＝∠B.下面是不完整的說理過程，請你將橫線上的過程和括號里的理由補 充完整． 解：因為 AD⊥BC，EF⊥BC(已知)， ①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定義)． ②所以 AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)． ③所以∠1＋∠2＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)． ④又因為∠2＋∠3＝180°(已知)， ⑤所以∠1＝∠3(同角的補角相等)． ⑥所以 AB∥DG(內錯角相等，兩直線平行)． ⑦所以∠GDC＝∠B(兩直線平行，同位角相等)． 2．如圖，點 G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB

24、，AG 分別交于點 H，M.若 DF∥AB，∠ B＝75°，∠D＝105°，求證：∠AME＝∠AGC. 證明：∵DF∥AB(已知)， ∴∠D＝∠BHM(兩直線平行，同位角相等)． 又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)， ∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°. ∴DE∥BC(同旁內角互補，兩直線平行)． ∴∠AME＝∠AGC(兩直線平行，同位角相等)． 3．如圖，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 與 AE 相交于點 F，∠CFE＝∠E.求證：AD ∥BC. 證明：∵AE 平分∠BAD(已知)， ∴∠1＝∠2(角平分線的定義)．

25、∵AB∥CD(已知)， ∴∠1＝∠CFE(兩直線平行，同位角相等)． 又∵∠1＝∠2(已證)，∠CFE＝∠E(已知)， ∴∠2＝∠E(等量代換)． ∴AD∥BC(內錯角相等，兩直線平行)． 4．如圖，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的平分線．你能判斷 DF 與 AB 的位置關系嗎？請說明理由． 解：DF∥AB. 理由：∵BE 是∠ABC 的平分線， ∴∠1＝∠2(角平分線的定義)． ∵∠E＝∠1(已知)， ∴∠E＝∠2(等量代換)． ∴AE∥BC(內錯角相等，兩直線平行)． ∴∠A＋∠ABC＝1

26、80°(兩直線平行，同旁內角互補)． ∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)， ∴∠A＝∠3(等量代換)． ∴DF∥AB(同位角相等，兩直線平行)． 5．如圖，AB⊥BD 于點 B，點 E 是 BD 上的點，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且 ∠1＋∠2＝90°.求證：CD⊥BD. 證明：∵AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD(已知)， ∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分線的性質)． ∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)． ∵∠1＋∠2＝90°(已知)， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°. ∴AB

27、∥CD(同旁內角互補，兩直線平行)． ∴∠B＋∠D＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)． ∴∠D＝180°－∠B(等式的性質)． ∵AB⊥BD(已知)， ∴∠B＝90°(垂直的定義)． ∴∠D＝90°，即 CD⊥BD. 6．如圖，把一張長方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與 BC 的交點為 G，點 D， C 分別落在 D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2 的度數(shù)． 解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°， ∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(兩直線平行，內錯角相等)． 由折疊，知∠GEF＝∠DEF＝55°

28、. ∴∠GED＝110°. ∴∠2＝110°. ∴∠1＝180°－∠2＝70°(兩直線平行，同旁內角互補)． 7．如圖，已知 BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°. (1)求證：AF∥DE； (2)若 AQ 平分∠FAC，交 BC 于點 Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ 的度數(shù)． 解：(1)證明：∵BC∥GE， ∴∠E＝∠1＝50°. ∵∠AFG＝∠1＝50°， ∴∠E＝∠AFG＝50°. ∴AF∥DE. (2)過點 A 作 AP∥GE， ∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC. ∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°. ∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°. ∵AQ 平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°. ∴∠CAP＝80°. ∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.