人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第五章 相交線與平行線——專題練習(xí)

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1、 小專題（一）平行線中的“拐點”問題 模型 1 M 型 【例 1】 如圖，已知 AB∥CD，則∠B，∠BED，∠D 之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明 理由． 【思路點撥】 由已知條件知，AB∥CD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線的性質(zhì)解決．為此可構(gòu)造第三條直線，即過點 E 作 EF∥AB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了． 變式  當(dāng)點 E 運動到平行線的外側(cè) 1．已知 AB∥CD，點 E 為 AB，CD 之外任意一點． (1)如圖 1，探究∠BED 與∠B，∠D 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)如圖 2，探究

2、∠CDE 與∠B，∠BED 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 拓展  平行線間有多個拐點 2．(1)如圖 1 中，AB∥CD，則∠E＋∠G 與∠B＋∠F＋∠D 有何關(guān)系？ (2)在圖 2 中，若 AB∥CD，又能得到什么結(jié)論？ 如果出現(xiàn)多個拐點時，可以作多條平行線，從而將多拐點問題轉(zhuǎn)化為一個拐點問 題來處理．M 型最終的結(jié)論為：朝左的角之和等于朝右的角之和． 模型 2  鉛筆型 【例 2】 如圖，直線 AB∥CD，∠B，∠BED，∠D 之間有什么關(guān)系呢？為什么？ 拓展  平行線間有多個拐點 3．(1)①如圖

3、 1，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＝ 1 2 1 2 ②如圖 2，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＝ 1 3 1 2 3  度； 度； ③如圖 3，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝ 1 4 1 2 3 4 ④圖 4，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝ 1 5 1 2 3 4 5 從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ (2)如圖 5，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋…＋∠A ＝ 1 n 1 2 3 n 度； 度； 度． 小專題(二)  利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

4、 類型 1  直接利用平行線的性質(zhì)與判定求角度 1．如圖，OC 是∠AOB 的平分線，l∥OB.若∠1＝52°，則∠2 的度數(shù)為( ) A．52° B．54° C．64° D．69° 2．如圖，CD∥AB，點 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，則∠AOF 的度數(shù)是( ) A．20° B．25° C．30° D．35° 3．如圖，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，則∠D＝ ． 4．如圖，已知 EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD 的度數(shù)． 類型 2  借助學(xué)具的特征求角度

5、 5．如圖，將直尺與 30°角的三角尺疊放在一起．若∠1＝40°，則∠2 的大小是 ( ) A．40° B．60° C．70° D．80° 6．如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點剛好落在平行線 l ，l 上，已知∠C 1 2 是直角，則∠1＋∠2 的度數(shù)等于( ) A．75° B．90° C．105° D．120° 類型 3  折疊問題中求角度 7．將一個長方形紙片折疊成如圖所示的圖形．若∠ABC＝26°，則∠ACD＝ ． 8．如圖，一個四邊形紙片 ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把紙片按如圖 所示折疊，

6、使點 B 落在 AD 邊上的 B′點，AE 是折痕，則∠AEB 的度數(shù)是 ． 類型 4  抽象出平行線模型求角度 (建模思想) 9．如圖，∠AOB 的一邊 OA 為平面鏡，∠AOB＝38°，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點 C 射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點 E 處，已知∠ADC＝∠ ODE.則∠DEB 的度數(shù)是  度． 10 ．如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個梯形挖去一個小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動刀片時會形成如圖 2 所示的∠1 與∠2，則∠1 與∠2 的度數(shù)和是

7、 ． 小專題(三)  平行線的性質(zhì)與判定的綜合運用 ——教材 P37T13 的變式與應(yīng)用 教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明． (1)如圖 1，點 D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點，DE∥BA，DF ∥CA.求證：∠FDE＝∠A. 證明：∵DE∥BA， ∴∠FDE＝ ∵DF∥CA，  ． ∴∠A＝ ∴∠FDE＝∠A.  ． (2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點 O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求證 AC∥BD. 證明：∵∠C＝∠COA，∠

8、D＝∠BOD， 又∠COA＝∠BOD( )， ∴∠C＝ ． ∴AC∥BD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． (1)判定兩直線平行的方法有五種：①平行線的定義；②平行公理的推論；③同 位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行；⑤同旁內(nèi)角互補，兩直線 平行． (2)判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運用，推理時要 注意書寫格式． (3)由兩條直線平行得到同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，解題時應(yīng)結(jié) 合圖形先確認(rèn)所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內(nèi)錯角 或同旁內(nèi)角，同時要學(xué)會簡單的幾何說理，做到每一步有理有據(jù)．

9、 1．如圖，已知 AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為 D，F(xiàn)，∠2＋∠3＝180°.試說明： ∠GDC＝∠B.下面是不完整的說理過程，請你將橫線上的過程和括號里的理由補 充完整． 解：因為 AD⊥BC，EF⊥BC(已知)， ①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定義)． ②所以 (同位角相等，兩直線平行)． ③所以∠1＋∠2＝ (兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)． ④又因為∠2＋∠3＝180°( )， ⑤所以∠1＝∠3( )． ⑥所以 AB∥DG( )． ⑦所以∠GDC＝∠B( )． 2．如圖，點 G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB，

10、AG 分別交于點 H，M.若 DF∥AB，∠ B＝75°，∠D＝105°，求證：∠AME＝∠AGC. 3．如圖，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 與 AE 相交于點 F，∠CFE＝∠E.求證：AD ∥BC. 4．如圖，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的平分線．你能判斷 DF 與 AB 的位置關(guān)系嗎？請說明理由． 5．如圖，AB⊥BD 于點 B，點 E 是 BD 上的點，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且 ∠1＋∠2＝90°.求證：CD⊥BD. 6．如圖，把一張長方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與

11、 BC 的交點為 G，點 D， C 分別落在 D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2 的度數(shù)． 7．如圖，已知 BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°. (1)求證：AF∥DE； (2)若 AQ 平分∠FAC，交 BC 于點 Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ 的度數(shù)． 參考答案： 小專題（一）平行線中的“拐點”問題 模型 1 M 型 【例 1】 如圖，已知 AB∥CD，則∠B，∠BED，∠D 之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明 理由． 【思路點撥】 由已知條件知，AB∥CD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線

12、的性質(zhì)解決．為此可構(gòu)造第三條直線，即過點 E 作 EF∥AB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了． 【解答】 ∠BED＝∠B＋∠D. 理由：過點 E 作 EF∥AB，則 EF∥CD. ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF. ∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D. 變式  當(dāng)點 E 運動到平行線的外側(cè) 1．已知 AB∥CD，點 E 為 AB，CD 之外任意一點． (1)如圖 1，探究∠BED 與∠B，∠D 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)如圖 2，探究∠CDE 與∠B，∠BED 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.

13、理由如下： 過點 E 作 EF∥AB，則 AB∥CD∥EF. ∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF. ∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF， ∴∠B＝∠BED＋∠D. (2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下： 過點 E 作 EF∥AB，則 AB∥CD∥EF. ∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°. 又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED， ∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF， 即∠CDE＝∠B＋∠BED. 拓展  平行線間有多個拐點 2．(1)如圖 1 中，AB∥CD，則∠E＋∠G 與∠B＋∠F＋∠D 有何關(guān)系？

14、 (2)在圖 2 中，若 AB∥CD，又能得到什么結(jié)論？ 解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D. 理由：過點 E，F(xiàn)，G 分別作 EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，GH∥AB， 由 AB∥CD，得 AB∥EM∥FN∥GH∥CD. ∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D. ∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝ ∠B＋∠EFG＋∠D. (2)在圖 2 中，有∠E ＋∠E ＋∠E ＋…＋∠E ＝∠B＋∠F ＋∠F ＋…＋∠F 1 2 3 n 1 2  n

15、－1  ＋∠ D. 如果出現(xiàn)多個拐點時，可以作多條平行線，從而將多拐點問題轉(zhuǎn)化為一個拐點問 題來處理．M 型最終的結(jié)論為：朝左的角之和等于朝右的角之和． 模型 2  鉛筆型 【例 2】 如圖，直線 AB∥CD，∠B，∠BED，∠D 之間有什么關(guān)系呢？為什么？ 【解答】 ∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 理由：過點 E 作 EF∥AB. ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF. ∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°， 即∠B＋∠BED＋∠D＝360°

16、. 拓展  平行線間有多個拐點 3．(1)①如圖 1，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＝180 度； 1 2 1 2 ②如圖 2，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＝360 度； 1 3 1 2 3 ③如圖 3，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝540 度； 1 4 1 2 3 4 ④圖 4，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝720 度； 1 5 1 2 3 4 5 從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ (2)如圖 5，MA ∥NA ，則∠A ＋∠A ＋∠A ＋…＋∠A ＝180(n－1)度． 1 n 1

17、2 3 n 解：每增加一個角，度數(shù)增加 180°. 小專題(二)  利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù) 類型 1  直接利用平行線的性質(zhì)與判定求角度 1．如圖，OC 是∠AOB 的平分線，l∥OB.若∠1＝52°，則∠2 的度數(shù)為( C ) A．52° B．54° C．64° D．69° 2．如圖，CD∥AB，點 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，則∠AOF 的度數(shù)是( D ) A．20° D．35°  B．25° C．30° 3．如圖，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°

18、，則∠D＝130°． 4．如圖，已知 EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD 的度數(shù)． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3(等量代換)． ∴AB∥DG(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． ∴∠BAC＋∠AGD＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)． ∵∠BAC＝80°， ∴∠AGD＝100°. 類型 2  借助學(xué)具的特征求角度 5．如圖，將直尺與 30°角的三角尺疊放在一起．若∠1＝40°，則∠2 的大小是 ( D ) A．40° B．60° C

19、．70° D．80° 6．如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點剛好落在平行線 l ，l 上，已知∠C 1 2 是直角，則∠1＋∠2 的度數(shù)等于( B ) A．75° B．90° C．105° D．120° 類型 3  折疊問題中求角度 7．將一個長方形紙片折疊成如圖所示的圖形．若∠ABC＝26°，則∠ACD＝128°． 8．如圖，一個四邊形紙片 ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把紙片按如圖 所示折疊，使點 B 落在 AD 邊上的 B′點，AE 是折痕，則∠AEB 的度數(shù)是 65°． 類型 4  抽象出平

20、行線模型求角度 (建模思想) 9．如圖，∠AOB 的一邊 OA 為平面鏡，∠AOB＝38°，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點 C 射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點 E 處，已知∠ADC＝∠ ODE.則∠DEB 的度數(shù)是 76 度． 10 ．如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個梯形挖去一個小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動刀片時會形成如圖 2 所示的∠1 與∠2，則∠1 與∠2 的度數(shù)和是 90°． 小專題(三)  平行線的性質(zhì)與判定的綜合運用 ——教材 P37T13 的變式與應(yīng)用

21、 教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明． (1)如圖 1，點 D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點，DE∥BA，DF ∥CA.求證：∠FDE＝∠A. 證明：∵DE∥BA， ∴∠FDE＝∠BFD(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)． ∵DF∥CA， ∴∠A＝∠BFD(兩直線平行，同位角相等)． ∴∠FDE＝∠A. (2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點 O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求證 AC∥BD. 證明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， 又∠COA＝∠BOD(對頂角相等)， ∴∠C＝∠D．

22、 ∴AC∥BD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． (1)判定兩直線平行的方法有五種：①平行線的定義；②平行公理的推論；③同 位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行；⑤同旁內(nèi)角互補，兩直線 平行． (2)判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運用，推理時要 注意書寫格式． (3)由兩條直線平行得到同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，解題時應(yīng)結(jié) 合圖形先確認(rèn)所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內(nèi)錯角 或同旁內(nèi)角，同時要學(xué)會簡單的幾何說理，做到每一步有理有據(jù)． 1．如圖，已知 AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為 D，F(xiàn)，∠2＋

23、∠3＝180°.試說明： ∠GDC＝∠B.下面是不完整的說理過程，請你將橫線上的過程和括號里的理由補 充完整． 解：因為 AD⊥BC，EF⊥BC(已知)， ①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定義)． ②所以 AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)． ③所以∠1＋∠2＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)． ④又因為∠2＋∠3＝180°(已知)， ⑤所以∠1＝∠3(同角的補角相等)． ⑥所以 AB∥DG(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． ⑦所以∠GDC＝∠B(兩直線平行，同位角相等)． 2．如圖，點 G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB

24、，AG 分別交于點 H，M.若 DF∥AB，∠ B＝75°，∠D＝105°，求證：∠AME＝∠AGC. 證明：∵DF∥AB(已知)， ∴∠D＝∠BHM(兩直線平行，同位角相等)． 又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)， ∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°. ∴DE∥BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)． ∴∠AME＝∠AGC(兩直線平行，同位角相等)． 3．如圖，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 與 AE 相交于點 F，∠CFE＝∠E.求證：AD ∥BC. 證明：∵AE 平分∠BAD(已知)， ∴∠1＝∠2(角平分線的定義)．

25、∵AB∥CD(已知)， ∴∠1＝∠CFE(兩直線平行，同位角相等)． 又∵∠1＝∠2(已證)，∠CFE＝∠E(已知)， ∴∠2＝∠E(等量代換)． ∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． 4．如圖，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的平分線．你能判斷 DF 與 AB 的位置關(guān)系嗎？請說明理由． 解：DF∥AB. 理由：∵BE 是∠ABC 的平分線， ∴∠1＝∠2(角平分線的定義)． ∵∠E＝∠1(已知)， ∴∠E＝∠2(等量代換)． ∴AE∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． ∴∠A＋∠ABC＝1

26、80°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)． ∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)， ∴∠A＝∠3(等量代換)． ∴DF∥AB(同位角相等，兩直線平行)． 5．如圖，AB⊥BD 于點 B，點 E 是 BD 上的點，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且 ∠1＋∠2＝90°.求證：CD⊥BD. 證明：∵AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD(已知)， ∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分線的性質(zhì))． ∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)． ∵∠1＋∠2＝90°(已知)， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°. ∴AB

27、∥CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)． ∴∠B＋∠D＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)． ∴∠D＝180°－∠B(等式的性質(zhì))． ∵AB⊥BD(已知)， ∴∠B＝90°(垂直的定義)． ∴∠D＝90°，即 CD⊥BD. 6．如圖，把一張長方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與 BC 的交點為 G，點 D， C 分別落在 D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2 的度數(shù)． 解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°， ∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)． 由折疊，知∠GEF＝∠DEF＝55°

28、. ∴∠GED＝110°. ∴∠2＝110°. ∴∠1＝180°－∠2＝70°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)． 7．如圖，已知 BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°. (1)求證：AF∥DE； (2)若 AQ 平分∠FAC，交 BC 于點 Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ 的度數(shù)． 解：(1)證明：∵BC∥GE， ∴∠E＝∠1＝50°. ∵∠AFG＝∠1＝50°， ∴∠E＝∠AFG＝50°. ∴AF∥DE. (2)過點 A 作 AP∥GE， ∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC. ∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°. ∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°. ∵AQ 平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°. ∴∠CAP＝80°. ∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.