（福建專(zhuān)）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 文

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1、6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)an=.3.等比中項(xiàng)如果成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng),即G是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列.4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;第二項(xiàng) 同一個(gè) 公比 a1qn-1 a,G,b G2=ab 知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確

2、的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)滿(mǎn)足an+1=qan(nN*,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.()(2)G為a,b的等比中項(xiàng)G2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng).()(4)如果an為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,那么數(shù)列bn也是等比數(shù)列.()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,那么數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.()(6)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為 ()知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)2.已知數(shù)列an中,a1=3,an+1-3an=0,bn=log3an,則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn=()A.3n+1B.3nC.nD.n-13.已知an為等差數(shù)列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中

3、項(xiàng),Sn是an的前n項(xiàng)和,則S12的值為()A.21 B.42C.63 D.54C解析解析:由an+1-3an=0,得an+1=3an,又a1=3,數(shù)列an是以3為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,則an=3n,bn=log3an=n.故選C.D知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)4.(2017全國(guó))我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞B解析解析:設(shè)塔的頂層共有x盞燈,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,由 ,可得x

4、=3,故選B.5.(2017北京朝陽(yáng)二模)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=2,a4=-2,則an的通項(xiàng)公式an=.2(-1)n-1 解析解析:a1=2,a4=-2,則a4=-2=a1q3,q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四等比數(shù)列的基本運(yùn)算等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1(1)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于()(2)(2017陜西咸陽(yáng)二模)在等比數(shù)列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的兩根,則a5=()A.1B.-1C.1 D.3(3)(2017全國(guó))設(shè)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1+a2=-1,a1

5、-a3=-3,則a4=.B A-8 考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考解決等比數(shù)列基本運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法有哪些?解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法:(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問(wèn)題可迎刃而解.(2)分類(lèi)討論思想:因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時(shí),就要對(duì)參數(shù)是否為1進(jìn)行分類(lèi)求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),常把qn或 當(dāng)成整體進(jìn)行求解.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2017山西太原二模,文4)已知

6、公比q1的等比數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn,a1=1,S3=3a3,則S5=()(2)(2017安徽安慶二模)在等比數(shù)列an中,a3-3a2=2,且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng),則an的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6DC考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若 ,求.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法?解題心得1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法:(3)通項(xiàng)公式法,若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an=cqn-1(c,q

7、均是不為0的常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列.2.若判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017吉林市模擬)已知數(shù)列an中,a1=1,anan+1=,記T2n為an的前2n項(xiàng)的和,bn=a2n+a2n-1,nN*.(1)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并求出bn;(2)求T2n.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多考向多考向)考向1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用B A考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程?考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考向2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性

8、質(zhì)的應(yīng)用例4(1)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64(2)在公比為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,則S8等于()A.21 B.42C.135D.170CD考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解析解析:(1)S2=3,S4=15,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.(2)解法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.考點(diǎn)一考點(diǎn)二

9、考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡(jiǎn)便?解題心得1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí),為簡(jiǎn)化解題過(guò)程常常利用等比數(shù)列項(xiàng)的如下性質(zhì):(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項(xiàng)的推廣與變形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對(duì)已知條件為等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和,求其前多少項(xiàng)和的問(wèn)題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡(jiǎn)便.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2017廣東廣州綜合測(cè)試)已知數(shù)列an為等比數(shù)列,若a4+a6=10,則a7(a1+2a3)+a3a9=()A.10 B.20C

10、.100D.200(2)(2017江西宜春二模)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S4=10,S12=130,則S8=()A.-30 B.40C.40或-30 D.40或-50CB=(a4+a6)2=102=100.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì),知S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,則(S8-10)2=10(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例5(2017全國(guó),文17)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,a1=-1,b1=1,a2+b2=

11、2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項(xiàng)公式;(2)若T3=21,求S3.解 設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.因此bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.當(dāng)q=-5時(shí),由得d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時(shí),由得d=-1,則S3=-6.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的基本思路是怎樣的?解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題,涉及的知識(shí)面很寬,題目的變化也很多,但是萬(wàn)變不離其宗,只要抓住基本

12、量a1,d(q)充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識(shí),就不難解決這類(lèi)問(wèn)題.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017湖南邵陽(yáng)一模,文17)在等差數(shù)列an中,a2=1,a5=4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)設(shè) ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由題意知,a5-a2=3d=3,d=1,an=n-1(nN*).(2)由(1)得bn=2n-1,數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題,數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解.2.判定等比數(shù)列的方法(1)定義法:(q是不為零的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(2)通項(xiàng)公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(3)等比中項(xiàng)法:=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比數(shù)列.3.求解等比數(shù)列問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)思想(1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量;(2)分類(lèi)討論思想:如求和時(shí)要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時(shí)對(duì)a1與q分類(lèi)討論.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.在等比數(shù)列中,易忽視每一項(xiàng)與公比都不為0.2.在求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),易忽略q=1這一特殊情形.