（福建專）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6.3 等比數(shù)列及其前n項和課件 文

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1、6.3等比數(shù)列及其前n項和知識梳理考點自測1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項與它的前一項的比等于常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則它的通項an=.3.等比中項如果成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,即G是a與b的等比中項a,G,b成等比數(shù)列.4.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項和為Sn,當(dāng)q=1時,Sn=na1;第二項 同一個 公比 a1qn-1 a,G,b G2=ab 知識梳理考點自測知識梳理考點自測1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確

2、的畫“”,錯誤的畫“”.(1)滿足an+1=qan(nN*,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.()(2)G為a,b的等比中項G2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項.()(4)如果an為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,那么數(shù)列bn也是等比數(shù)列.()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,那么數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.()(6)若數(shù)列an的通項公式是an=an,則其前n項和為 ()知識梳理考點自測2.已知數(shù)列an中,a1=3,an+1-3an=0,bn=log3an,則數(shù)列bn的通項公式bn=()A.3n+1B.3nC.nD.n-13.已知an為等差數(shù)列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中

3、項,Sn是an的前n項和,則S12的值為()A.21 B.42C.63 D.54C解析解析:由an+1-3an=0,得an+1=3an,又a1=3,數(shù)列an是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列,則an=3n,bn=log3an=n.故選C.D知識梳理考點自測4.(2017全國)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞B解析解析:設(shè)塔的頂層共有x盞燈,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列,由 ,可得x

4、=3,故選B.5.(2017北京朝陽二模)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1=2,a4=-2,則an的通項公式an=.2(-1)n-1 解析解析:a1=2,a4=-2,則a4=-2=a1q3,q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1.考點一考點二考點三考點四等比數(shù)列的基本運算等比數(shù)列的基本運算例1(1)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于()(2)(2017陜西咸陽二模)在等比數(shù)列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的兩根,則a5=()A.1B.-1C.1 D.3(3)(2017全國)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1

5、-a3=-3,則a4=.B A-8 考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四思考解決等比數(shù)列基本運算問題的常見思想方法有哪些?解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法:(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論思想:因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時,就要對參數(shù)是否為1進(jìn)行分類求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或 當(dāng)成整體進(jìn)行求解.考點一考點二考點三考點四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1(1)(2017山西太原二模,文4)已知

6、公比q1的等比數(shù)列an前n項和Sn,a1=1,S3=3a3,則S5=()(2)(2017安徽安慶二模)在等比數(shù)列an中,a3-3a2=2,且5a4為12a3和2a5的等差中項,則an的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6DC考點一考點二考點三考點四等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式;(2)若 ,求.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四思考判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法?解題心得1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法:(3)通項公式法,若數(shù)列通項公式可寫成an=cqn-1(c,q

7、均是不為0的常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列.2.若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.考點一考點二考點三考點四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2(2017吉林市模擬)已知數(shù)列an中,a1=1,anan+1=,記T2n為an的前2n項的和,bn=a2n+a2n-1,nN*.(1)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并求出bn;(2)求T2n.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多考向多考向)考向1等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用B A考點一考點二考點三考點四思考經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)簡化解題過程?考點一考點二考點三考點四考向2等比數(shù)列前n項和的性

8、質(zhì)的應(yīng)用例4(1)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64(2)在公比為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,則S8等于()A.21 B.42C.135D.170CD考點一考點二考點三考點四解析解析:(1)S2=3,S4=15,由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.(2)解法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.考點一考點二

9、考點三考點四思考本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡便?解題心得1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時,為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項的如下性質(zhì):(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數(shù)列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.考點一考點二考點三考點四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(1)(2017廣東廣州綜合測試)已知數(shù)列an為等比數(shù)列,若a4+a6=10,則a7(a1+2a3)+a3a9=()A.10 B.20C

10、.100D.200(2)(2017江西宜春二模)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S4=10,S12=130,則S8=()A.-30 B.40C.40或-30 D.40或-50CB=(a4+a6)2=102=100.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì),知S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,則(S8-10)2=10(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.考點一考點二考點三考點四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題例5(2017全國,文17)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=

11、2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項公式;(2)若T3=21,求S3.解 設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.因此bn的通項公式為bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.當(dāng)q=-5時,由得d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時,由得d=-1,則S3=-6.考點一考點二考點三考點四思考解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的?解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本

12、量a1,d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識,就不難解決這類問題.考點一考點二考點三考點四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4(2017湖南邵陽一模,文17)在等差數(shù)列an中,a2=1,a5=4.(1)求數(shù)列an的通項公式an;(2)設(shè) ,求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)由題意知,a5-a2=3d=3,d=1,an=n-1(nN*).(2)由(1)得bn=2n-1,數(shù)列bn是以1為首項,公比為2的等比數(shù)列,考點一考點二考點三考點四1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.2.判定等比數(shù)列的方法(1)定義法:(q是不為零的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(2)通項公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(3)等比中項法:=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比數(shù)列.3.求解等比數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想(1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量;(2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.考點一考點二考點三考點四1.在等比數(shù)列中,易忽視每一項與公比都不為0.2.在求等比數(shù)列的前n項和時,易忽略q=1這一特殊情形.