2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 立體幾何中的向量方法 第1課時 空間向量與平行關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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第1課時　空間向量與平行關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重點)2.熟練掌握用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(重點、難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．直線的方向向量與平面的法向量 (1)直線的方向向量的定義 直線的方向向量是指和這條直線_平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個． (2)平面的法向量的定義 直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則a叫做平面α的法向量． 思考：直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ [提示]　不唯一，直線的方向向量(平面的法向量) 有無數(shù)個，它們分別是共線向量． 2．空間中平行關(guān)系的向量表示 線線平行 設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 線面平行 設(shè)l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?au＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 設(shè)α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)一個平面的單位法向量是唯一的．(　　) (2)一條直線的方向向量和一個平面的法向量垂直，則這條直線和這個平面平行．(　　) (3)若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　) A．(1,2,3)　　　　 B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) A　[＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．] 3．若直線l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342161】 l?α或l∥α　[∵μa＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a， ∴l(xiāng)?α或l∥α.] [合 作 探 究攻 重 難] 求平面的法向量 　如圖321，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． 圖321 (1)求平面ABCD的一個法向量； (2)求平面SAB的一個法向量； (3)求平面SCD的一個法向量． [解]　以點A為原點，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴＝是平面SAB的一個法向量． (3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)． 設(shè)平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)， 則n⊥，n⊥，所以 得方程組∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)． [規(guī)律方法]　1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟 (1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)． (2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量，. (3)列方程組：由列出方程組． (4)解方程組： (5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取1)． (6)得結(jié)論：得到平面的一個法向量． 2．求平面法向量的三個注意點 (1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量． (2)取特值：在求n的坐標(biāo)時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量． (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標(biāo)為某特定值時一定要注意這個坐標(biāo)不為0. [跟蹤訓(xùn)練] 1．正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點，在如圖322所示的空間直角坐標(biāo)系中，求： 圖322 (1)平面BDD1B1的一個法向量； (2)平面BDEF的一個法向量． [解]　設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)． (1)連接AC(圖略)，因為AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量． (2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)． 設(shè)平面BDEF的一個法向量為n＝(x，y，z)． ∴ ∴∴ 令x＝2，得y＝－2，z＝－1. ∴n＝(2，－2，－1)即為平面BDEF的一個法向量. 利用空間向量證明線線平行 　如圖323所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形． 圖323 [解]　以點D為坐標(biāo)原點，分別以，，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F(xiàn)， ∴＝，＝，＝，＝， ∴＝，＝， ∴∥，∥， 又∵FAE，F(xiàn)EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四邊形AEC1F是平行四邊形． [規(guī)律方法]　1.兩直線的方向向量共線(垂直)時，兩直線平行(垂直)；否則兩直線相交或異面． 2．直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內(nèi)或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直． 3．兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不垂直． [跟蹤訓(xùn)練] 2．長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面對角線B1D1，A1B上的點，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1. 【導(dǎo)學(xué)號：46342162】 [證明]　如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝a，DC＝b，DD1＝c，則得下列各點的坐標(biāo)：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E，F(xiàn). ∴＝，＝(－a，b，c)， ∴＝. 又FE與AC1不共線，∴直線EF∥AC1. 利用空間向量證明線面、面面平行 [探究問題] 在用向量法處理問題時，若幾何體的棱長未確定，應(yīng)如何處理？ 提示：可設(shè)幾何體的棱長為1或a，再求點的坐標(biāo)． 　在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD． [思路探究]　 [證明]　法一　如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝. 設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則即取x＝1，則y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一個法向量為n＝(1，－1，－1)． 又n＝(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD． 法二?。剑剑?－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD． 法三　＝－＝－＝－＝－＝－. 即可用與線性表示，故與，是共面向量，故MN∥平面A1BD． 母題探究：1.(變條件)本例中條件不變，試證明平面A1BD∥平面CB1D1. [證明]　由例題解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)， 則＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)， 設(shè)平面CB1D1的法向量為m＝(x1，μ1，z1)， 則，即 令y1＝1，可得平面CB1D1的一個法向量為m＝(－1,1,1)， 又平面A1BD的一個法向量為n＝(1，－1，－1)． 所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1. 2．(變條件)若本例換為： 在如圖324所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點，求證：AB∥平面DEG. 圖324 [證明]　∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直． 以點E為坐標(biāo)原點，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)． 設(shè)平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1,1，－1)， ∴n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n. ∵AB?平面DEG， ∴AB∥平面DEG. [規(guī)律方法]　1.向量法證明線面平行的三個思路 (1)設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u，即au＝0. (2)根據(jù)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行，要證明一條直線和一個平面平行，在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可． (3)根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可． 2．證明面面平行的方法 設(shè)平面α的法向量為μ，平面β的法向量為v，則α∥β?μ∥v. [當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基] 1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a與b分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(　　) A．x＝6，y＝15　　　　 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ D　[∵l1∥l2，∴a∥b， ∴存在λ∈R，使a＝λb， 則有2＝3λ，4＝λx,5＝λy， ∴x＝6，y＝.] 2．已知線段AB的兩端點坐標(biāo)為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則線段AB與坐標(biāo)平面(　　) A．xOy平行 B．xOz平行 C．yOz平行 D．yOz相交 C　[＝(0,5，－3)，坐標(biāo)平面yOz的一個法向量為n＝(1,0,0)，因為n＝0，所以⊥n. 故線段AB與坐標(biāo)平面yOz平行．] 3．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，且l∥α，則m＝________. －8　[∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直． ∴(2，m,1)＝2＋m＋2＝0. 解得m＝－8.] 4．在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點P在棱AA1上，且AP＝2PA1，點S在棱BB1上，且SB1＝2BS，點Q，R分別是棱O1B1，AE的中點．求證：PQ∥RS. 【導(dǎo)學(xué)號：46342163】 [解]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)． 易求得P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S， 于是＝，＝. ∴＝，∴∥.∵RPQ，∴PQ∥RS.