高等數(shù)學(xué)證明題

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1、高等數(shù)學(xué)證明題 - 正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種非常重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比擬法，綜合法，分析^p 法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，利用二項式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比擬大，下面就利用高等數(shù)學(xué)知識進展不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈敏性。 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設(shè)有兩個函數(shù)f(x)與g(x),滿足： 〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)； 〔2〕在開區(qū)間〔a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f'(x)>g'(x) ( 或 f'(x)g(x)成立。 例1

2、：求證：ex-1>x (當(dāng)x>0時) 從例題可以看出，在不等式的中有ex形式的指數(shù)形式，如用初等代數(shù)來證明那么有一定的難度，如用高等數(shù)學(xué)中上面的定理那么非常直觀。 分析^p 1：要證ex-1>x，可以設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 這樣就轉(zhuǎn)化成定理1的形式。 證明：設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續(xù)，并在(0,∞)可導(dǎo) 有：f'(x)=ex >g'(x)=1 (當(dāng)x>0) 并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0) 所以根據(jù)定理1有：f(x)>g(x) 即：ex

3、-1>x 這樣通過高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的根本性質(zhì)就可以證明。 另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：ex-x-1>0，證明方法同上〔略〕。 假如不等式中的次數(shù)較高，形式也比擬復(fù)雜，這可能需要屢次轉(zhuǎn)化，才能到達目的，通過下面的例子不難看出這一點。 例2：設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù)，求證：當(dāng)x>0時,有x2-2ax+10 不妨設(shè)：F(x)=ex-x2+2ax-1 有：F(0)=0 那么：F'(x)=ex-2x+2a 如今只需證明：F'(x)>0即可證明F(x)>0 下面分析^p 證明：F'(x)>0 設(shè)g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2

4、-1)=ln4-1=ln >0 (a>ln2-1) 又因：g'(x)=ex-2 所以如今只需證：g'(x)≥0就可以證明g(x)>0. 即需要證：ex≥2 Ⅰ.當(dāng)x≥ln2時成立. Ⅱ.下面考察：當(dāng) 00 g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0 e4所以：g(x)在x=ln2時為極值點，且為極小值。 這樣只要說明：g(ln2)>0即可。 又因：2-2ln2+2a>0 (當(dāng)a>ln2-1時〕 所以：在00. 綜上所述，可知F'(x)>0.所在在證明不等式過程中連續(xù)兩次用到求導(dǎo)。 有時在證明不等式時，如

5、用初等數(shù)學(xué)知識那么比擬困難，假如我們能巧妙地構(gòu)造函數(shù)，這樣可使問題得以簡化，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性，我們利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識很容易地就解決了。下面利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗中值定理進展不等式的證明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：假設(shè)函數(shù)f(x)滿足以下條件： 〔1〕f(x)在[a,b]并閉區(qū)間上連續(xù)； 〔2〕f(x)在(a,b)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； 那么至少存在一點ξ∈〔a,b),使得 f '(ξ)= f(b)?f(a)成立。 b?a例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析^p ：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1

6、,而a,b我們可以假設(shè)其中一個為較大者，那么a,b可組成一個區(qū)間。再分析^p sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。 證明：假設(shè)a＝b,那么等號成立。 假設(shè)a≠b,不妨設(shè)a＜b. 設(shè)f(x)=sinx 那么f '(x)=cosx 那么拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈〔a,b) 使得： f '(ξ) = cosξ= 又因為：|cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中，我們不難發(fā)如今遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時，可用此定理，使得

7、證明得以簡化，其中我們應(yīng)靈敏地利用拉格朗日中值定理的各種變形進展不等式的證明。 利用定積分的有關(guān)知識進展不等式的證明 在不等式的證明中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決，下面的分析^p 不難發(fā)現(xiàn)這一點。 例4：對任意正整數(shù)n>1 3n?1123n 2nnnnnn= [n + n + n +…… +( 1n2n3nn?0xndx n?1nn1nn) +n - n > nn2nn?1n1123n所以：+

8、 n +…… +n < 2 2n?2nnnn1所以[n + n + n +…… +( 1n2n3n在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個例子中都利用了函數(shù)，由此可見函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用，函數(shù)的構(gòu)造和對函數(shù)的分析^p ，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的知識使問題簡化，其次本文利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理進展不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡化，再次通過定積分的定義進展不等式的證明，以上的問題說明高等數(shù)學(xué)在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢，我們還需進一步的學(xué)習(xí)和研究。 【參考文獻】：^p ： [1]《高初數(shù)學(xué)結(jié)合講義 》 首都師范大學(xué)張海山老師 [2]《數(shù)學(xué)分析^p 講義》 高等教育出版社 第 5 頁 共 5 頁