線性方程與常數(shù)變易法

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1、 2.2 線性方程與常數(shù)變易法 /Linear ODE and variation of constants Method/ 本節(jié)要求 /Requirements/ 熟練掌握 線性方程 和 伯努利方程 的求解方法 。 了解 黎卡提方程 的簡單性質(zhì)及其求解方法 。 內(nèi)容提要 /Constant Abstract/ : 齊 次 線 性 方 程 特 點(diǎn) 解 法 舉 例 線 性 方 程 常 數(shù) 變 易 法 ( 積 分 因 子 方 法 ） 非 齊 次 線 性 方 程 求 解 步 驟 舉 例 隨 堂 練 習(xí) 伯 努 利 方 程 線 性 方 程 與 常 數(shù) 變 易 法 特 點(diǎn) 可 化 為 線 性 方 程 的

2、 方 程 黎 卡 提 方 程 解 法 其 他 可 化 為 線 性 方 程 的 方 程 重 點(diǎn) 與 難 點(diǎn) 思 考 一 、 一階線性微分方程 / First-Order Linear ODE/ 0)()()( xcyxbdxdyxa (2.2.1) 的方程稱為 一階線性微分方程 (即關(guān)于 是線性的 ) yy , 其中 )(),( xQxP 為 x 的已知函數(shù)。當(dāng) 0)( xQ 時(shí)， 稱為 齊次線性方程 ; 當(dāng) 0)( xQ 時(shí)，稱為 非齊次線性方程 。 形如 一般形式 )()( xQyxPy yxPy )( (2.2.2) 2.2 Linear ODE and variation of cons

3、tants Method （ 1） 齊次 線性方程 /Homogenous Linear ODE/ yxpy )( 解法 : 分離變量，得 : dxxp y dy )( 積分，得 : 1)( Cdxxpy dy 1)(ln Cdxxpy . .(2.2.2) dxxpC eey )(1 dxxpC eey )(1 1Cec 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 得 dxxpcey )( 因?yàn)?0y 為 (2.2.2)的解 ,所以其通解為 : dxxpcey )( . (2.2.3) 其中 c為任意常數(shù)。 滿足初始條件 00 )( yx

4、y 的解是 xx dttpeyy 0 )( 0 .(2.2.3) 2.2 Linear ODE and variation of constants Method xxp s in)( xx d x cecey c o ss i n 由公式 (2.2.3)得，所求特解為 : xey c o s2 由公式 (2.2.3)得，所求通解為： 解 例 1 0 xyy s in 的通解 ,并求滿足條件 的特解 2) 2( y 試求微分方程 2.2 Linear ODE and variation of constants Method （ 2） 非齊次線性方程 /Non-Homogenous Linea

5、r ODE/ 采用 常數(shù)變易法 求解 設(shè)想方程 )()( xQyxPy 有形如 (2.2.3)的解，但其中的常數(shù) c變易為 x的待定函數(shù) 即設(shè) dxxPexcy )()( .(2.2.4) dxxPcey )( (2.2.3) 方程的解。 2.2 Linear ODE and variation of constants Method ( ) ( )dy P x y Q xdx 上式代入方程 (2.2.1)，得 : dxxPexcy )()( )()()()()()( )()()( xQexcxPxPexcexc dxxPdxxPdxxP 即 : )()( )( xQexc dxxP )()(

6、 xQyxPy dxxPexQxc )()()( 積分得 : cdxexQxc dxxp )()()( 2.2 Linear ODE and variation of constants Method cdxexQxc dxxp )()()( 代入 (2.2.4) )( )()( cdxexQey dxxPdxxP .(2.2.5) dxxPexcy )()( 得 : 同時(shí)，方程滿足初始條件 00 )( yx 的特解為 : )( 0 00 )( 0 )( x x dttPdttP dxexQyey x x x x 2.2 Linear ODE and variation of constant

7、s Method 其中第一項(xiàng)是線性齊次方程的通解，第二項(xiàng)是線性非齊次方 程特解。 非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)： 通解等于其對(duì)應(yīng)齊次方程通解與自身的一個(gè)特解之和。 由 (2.2.5)得 : dxexQecey dxxPdxxPdxxP )()()( )( 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 常數(shù)變易法 ( ) ( )dy P x y Q xdx () dy P x y dx ()P x d xy C e ()() P x d xy C x e 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 , 通常稱為 常數(shù)變易法 . ( ) ( )dy P x y

8、Q xdx 一階非齊線性微分方程的通解 ( ) ( )()P x d x P x d xy e Q x e d x c ( ) ( ) ( )()P x d x P x d x P x d xy e Q x e d x c e 或 例 2 xxydxdyx 2c oss inc os 解 1) 先求對(duì)應(yīng)的齊次方程通解 xydxdyx s inc os dx x x y dy c o s s in cxy lnc o slnln )(cc os 為任意常數(shù)xcy 2) 用常數(shù)變易法求方程通解 設(shè) x xcy c os )( 是方程的解，代入原方程，得 2.2 Linear ODE and var

9、iation of constants Method x xcy c os )( xxc 2c o s)( cxxx dxxc 2s i n4121c os)( 2 xxydxdyx 2c oss inc os xxxxcx xxcxxcx 22 c o ss i nc o s )()c o s s i n)(c o s)(c o s )()2s i n4121(c o s1 為任意常數(shù)ccxxxy 說明： 對(duì)于一階線性方程，也可直接用通解公式計(jì)算得出。 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 例 3 22 yx y dx dy 解 1

10、) 轉(zhuǎn)換變量位置 222dx x y xydy y y 2) 用公式求方程通解 )( )()( cdxexQey dxxPdxxP 1212 cdyyeex dyydxy )1(2 cdy y yx )( 22 lnln cdyyee yy 22 ln cyyy 22 ln cyyyx 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 有時(shí)方程關(guān)于 dx dyy, x 為 y 的函數(shù)，方程關(guān)于 dy dxx, 于是仍可以根據(jù)上面的方法求解。 注意 : 不是線性的，但如果視 是線性的， 2.2 Linear ODE and variation of

11、 constants Method 3yx y dx dy 解 方程可以改寫為 : 21 yx ydy dx 2)( ,1)( yyQyyp 練習(xí) 故通解為 : )( 1 2 1 ceyex dyydyy )21( 2 cyy 即 : 33 2 1 2 1 ycxycyyx 或 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 二、 可化為線性方程的方程 1 伯努利方程 /Bernoulli ODE/ 2* 黎卡提方程 / Riccati ODE/ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

12、1 伯努利方程 /Bernoulli ODE/ 形如 )6.2.2( )()( nyxQyxPy 的方程稱為伯努利方程，其中 1,0 nn 它通過變量代換可化為線性方程。 解法 ： 將方程 (2.2.6)的各項(xiàng)同乘以 ny 得 : )()( 1 xQyxPyy nn 令 nyz 1 dx dyyn dx dz n )1(則 dx dyy dx dz n n 1 1 2.2 Linear ODE and variation of constants Method )()(1 1 xQzxPdxdzn 用上式求解后，代入原變量 ,便得原方程的通解。 )()1()()1( xQnzxPndxdz n

13、yz 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1 ( 1 ) ( ) n P x d x n P x d xny e n Q x e d x c 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 例 4 xxyyxy ln 2 將方程改寫為 : xyxyy ln1 12 解 xzxdxdz ln1 )ln( 11 cdxexez dxxdxx 1 yz )ln( cdxx xx )( ln21 2 cxx 故 )( ln211 2xcxy 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 2 黎卡

14、提方程 / Riccati ODE/ 形如 )7.2.2( )()()( 2 xRyxQyxPdxdy 的方程稱為 黎卡提方程 。 特點(diǎn) : 在一般情況下，此類方程的解不能用初等函數(shù)及其積分 形示表示， 如果先由觀察法或其他方法知道它的一個(gè)特 解時(shí)，才可以通過初等積分法，求出它的通解。 2.2 Linear ODE and variation of constants Method )7.2.2( )()()( 2 xRyxQyxPdxdy 解法 若方程有一特解為 )()( xyxy 設(shè) )( xyzy )( xyzy 則 )()()( 2 xRyzxQyzxP )( xyz )()()2)(

15、 22 xRyzxQyzyzxP )()()()()(2()( 22 xRyxQyxPzxQxPyzxP )( xyz )( xyz )()(2()( 2 zxQxPyzxPz 化為伯努利方程。 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 122 xyy 由觀察看出 xy 是方程的一個(gè)特解，于是 令 uxy ，則得 解 xuuu 22 1)(1 22 xxuu 1 2 21 1 xuu u 11 21)( xuu 12 xzz Cdxeez xx 22 122 dxeCexy xx 故原方程的通解為 例 5 2.2 Linear ODE a

16、nd variation of constants Method 例 6 試求 1222 xyyxyx 形如 x a 的特解 , 解此微分方程。 解 設(shè) ,2xayxay ， 代入方程得 : 12 aaa 所以 故 xy 1 是方程的一個(gè)特解。 1a 01 2 a 1)1()1()1( 2222 uxxuxxuxx 令 uxy 1 于是方程化為伯努利方程 xuuxu 22 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 21 2 1 xxuu u 211 )( xxuu 2xxzz 故原方程的通解為 Cdxexez xx 222 22 1 222 22 Cdxexeu xx 1 222 22 11 Cdxexe x u x y xx 2.2 Linear ODE and variation of constants Method 例 7