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鉸接四桿機(jī)構(gòu)會引起不穩(wěn)定運(yùn)動的證明
不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)在它的運(yùn)動范圍內(nèi)有兩個平衡點(diǎn)，它們在很多系統(tǒng)中都很重要，如閥，開關(guān)和節(jié)拍。不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)由于能量儲存和動作特征相結(jié)合并必須同時考慮而難設(shè)計(jì)。這篇論文研究的是不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)如四桿機(jī)構(gòu)，它在聯(lián)接處有扭轉(zhuǎn)彈力，理論上硬質(zhì)機(jī)構(gòu)的性質(zhì)已經(jīng)有所改善來保證不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動。設(shè)計(jì)師用這些知識可以解決大量的不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的運(yùn)動與能量需求問題。舉例說明在不穩(wěn)定機(jī)設(shè)計(jì)中理論的作用。
介紹
一個活動機(jī)構(gòu)在它的運(yùn)動范圍內(nèi)有兩個平衡位置，這是很多機(jī)構(gòu)所要求的，但是活動機(jī)構(gòu)在設(shè)計(jì)中存在許多問題，尤其是機(jī)構(gòu)運(yùn)動與能量積累特點(diǎn)有關(guān)。而且，通常情況下運(yùn)動與能量存儲會發(fā)生在一個靈活轉(zhuǎn)動部件上。這篇論文講的是要設(shè)計(jì)一個簡單的轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)，研究機(jī)構(gòu)的運(yùn)動和不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)之間的基本關(guān)系的必要性。
許多人已經(jīng)討論了大量的轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)的特征，包括運(yùn)動機(jī)構(gòu)特征的設(shè)計(jì)。最近，他們對微型轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)特別感興趣，它需要的用來控制開關(guān)的動力是由轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)提供的，而不需要維持運(yùn)轉(zhuǎn)。不穩(wěn)定微型閥，微型開關(guān)，微型繼電器，甚至是一個小的纖維開關(guān)都已經(jīng)證明了這一點(diǎn)。有人建議用一個轉(zhuǎn)動系統(tǒng)來提供裝配微小零件的彈力，在穩(wěn)定系統(tǒng)中這項(xiàng)工作也正進(jìn)展。這篇論文是研究機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)來保證不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的執(zhí)行，這是不存在的例子。
問題的研究
以上的每個轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中都存儲和釋放能量，事實(shí)上，所有的不穩(wěn)定系統(tǒng)需要某種形式的能量儲存，因?yàn)?，穩(wěn)定點(diǎn)發(fā)生在能量最小處。不穩(wěn)定機(jī)械系統(tǒng)典型地靠拉緊時儲存的能量來獲得不穩(wěn)定運(yùn)動。不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)表現(xiàn)的順從的方式得到不穩(wěn)定執(zhí)行運(yùn)動，因?yàn)榛顒訔U件允許活動桿件和能量儲存合并為一體。另外，有許多優(yōu)點(diǎn)，如減少零件數(shù)，減少摩擦，反沖和損耗。
然而，不穩(wěn)定機(jī)械的設(shè)計(jì)并非機(jī)械的，需要分析機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動和儲存的能量，為解決這個問題，以上提到的機(jī)械中的許多用一個簡單梁來獲得不穩(wěn)定運(yùn)動的情況。但是，這個方法簡單，不能讓設(shè)計(jì)者靈活的控制滑動力或穩(wěn)定狀態(tài)的位置，尤其是對小橫梁?？渴Ｓ嗟囊稽c(diǎn)拉力和改變的很多的參數(shù)減少彎曲。
鉸鏈模型提供了一個簡單的方法來模擬復(fù)雜的非直線偏斜的機(jī)構(gòu)。它能大約地說明一個用了一個或一個以上螺栓聯(lián)接的機(jī)構(gòu)的力偏斜的特征。聯(lián)接的扭轉(zhuǎn)彈力模仿部件的剛度，如圖1所示。這個類型的模型用運(yùn)了短且彎曲的旋軸，端部用螺栓固定，或直構(gòu)件用螺栓固定。連桿的長度和彈簧的剛度都綜合地用運(yùn)。
鉸鏈模型在精確分析與轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)和能量儲存特點(diǎn)的綜合用運(yùn)已經(jīng)被充分地證明，但是為了研究分析目前的問題，人們已經(jīng)意識到許多類型的機(jī)構(gòu)可能表示連桿被彎曲的彈簧螺栓聯(lián)接。因此，這篇論文將提醒我們用固定的帶有彎曲彈簧的結(jié)構(gòu)在一個或多個聯(lián)接處檢查機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動和運(yùn)行情況，然后這個；運(yùn)行的結(jié)果可能會用到固定結(jié)構(gòu)或不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)中。這要依賴于執(zhí)行結(jié)果或設(shè)計(jì)者的要求。
不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。機(jī)械中部件的彎曲或是彎曲彈簧要求有力的運(yùn)動。當(dāng)沒有外部力來保證力機(jī)構(gòu)位置的時候，機(jī)構(gòu)處于平衡位置。如果在小干擾之后系統(tǒng)又回到原來位置，機(jī)構(gòu)就是穩(wěn)定的，但是，如果小干擾使系統(tǒng)改變了原來的位置就不穩(wěn)定。潛能和機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性可以用拉格朗日定理聯(lián)系起來。如果符合最小潛能，平衡位置就是穩(wěn)定的，這條定理導(dǎo)致了更多的不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)形式上的定義，一個不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動范圍內(nèi)包括兩個最小能量點(diǎn)。
用鉸鏈固定的模型的潛能方程可以簡單地建立，對有聯(lián)接的桿，它的潛能方程為；
(1)
式中k是彎曲彈簧系數(shù)，θ是連桿的轉(zhuǎn)角，或桿件的彎曲角度，機(jī)構(gòu)的潛能是儲存在各個桿件中的潛能之和。平衡點(diǎn)可以通過確定機(jī)械位置的找，它是第一次找到偏移量為零的位置。在這些點(diǎn)中第二次的偏移量將決定平衡位置的穩(wěn)定性，正值則符合。
分析機(jī)構(gòu)的方法 如圖2所示無鉸鏈的四桿機(jī)構(gòu)，圖中有四根桿長度分別是r1,r2,r3,r4,四個扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)分別是k1,k2,k3和k4，每根桿和地面的夾角為θ1，θ2，θ3，θ4，定義地面為第一根桿，認(rèn)為扭轉(zhuǎn)彈簧不扭曲，機(jī)構(gòu)中的位置決定于θ20，θ30，θ40，不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要保證有不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)存在。所以，可能要單獨(dú)檢查每個彈簧來確定是否有一個彈簧在機(jī)構(gòu)中保證機(jī)構(gòu)能執(zhí)行運(yùn)動。這要選擇一個非零參數(shù)，而其它的都為零，這種潛能方程可能不同，它的偏移量等于零，方程的解決定于平衡位置。因此，可以這樣描述解決問題的方法：在一般的四桿鉸鏈機(jī)構(gòu)中找到扭轉(zhuǎn)彈簧位置，該機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動過程中要有兩個平衡點(diǎn)。
問題的解表明簡單設(shè)計(jì)的工具加工不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)如同一系列定理指導(dǎo)不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，由一系列定理說明不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的運(yùn)行結(jié)果，用定理論證以上解。
定理指導(dǎo)不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的運(yùn)動
根據(jù)Grashof準(zhǔn)則，四桿機(jī)構(gòu)分為Grashof機(jī)構(gòu)和非 Grashof機(jī)構(gòu)，Grashof
準(zhǔn)則可以用數(shù)學(xué)式描述：
（2）
式中s,l,p和q分別是最長最短，和兩根長度處于中間的桿。Grashof準(zhǔn)則2將方程分為
符合不等式的為 機(jī)構(gòu)，反之為非 機(jī)構(gòu)。另外，邊為機(jī)構(gòu)是對于方程左邊和右邊相等的一系列機(jī)構(gòu)。變位機(jī)構(gòu)將回和其它 機(jī)構(gòu)類型不同地處理，所以這里有三種機(jī)構(gòu)： 機(jī)構(gòu)，邊為機(jī)構(gòu)和非機(jī)構(gòu)。
Grashof不等式機(jī)構(gòu)
定理1 當(dāng)且僅當(dāng)四桿機(jī)構(gòu)的一個聯(lián)接處的扭轉(zhuǎn)彈簧位于最短桿對面，并且不彎曲彈簧與其對面的兩桿在一條直線上的狀態(tài)不符時，它運(yùn)動起來和鉸鏈桿模型機(jī)構(gòu)一樣不穩(wěn)定。
準(zhǔn)則1.1 當(dāng)且僅當(dāng)四桿Grashof機(jī)構(gòu)有一個扭轉(zhuǎn)彈簧位于最短桿對面，并且不彎曲彈簧與其對面的兩桿在一條直線上的狀態(tài)不符時，它將不會平衡。
論證. 通過對一般的有一個聯(lián)接的四桿機(jī)構(gòu)的潛能方程分析，證明定理1，分析最小潛能方程的解決定機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動是否能達(dá)到每個最小值，因?yàn)榍懊嬲撟C的鉸鏈機(jī)構(gòu)的精度，結(jié)果是相當(dāng)?shù)剡m合任何機(jī)構(gòu)。因此準(zhǔn)則1和定理1.1同樣的論據(jù)。
以上定理可以通過考慮Grashof機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動來決定哪個螺栓聯(lián)接要在兩個位置保持相對大小一樣的角度。但是，更多的嚴(yán)密的論據(jù)給設(shè)計(jì)者更多的信息去認(rèn)識自然和穩(wěn)定位置的設(shè)定方法。
能量方程發(fā)分析，對于任何四桿機(jī)構(gòu)，能量方程是每個彈簧潛能的和
(3)
式中
(4)
選擇θ2為獨(dú)立的變量，第一個偏移量為：
(5)
因?yàn)檫@個機(jī)構(gòu)可能被反轉(zhuǎn)以使它的每個桿是地面一樣固定的，只有一個彈簧位置需要分析，選擇位置4是因?yàn)榉匠毯唵?，而且?這個獨(dú)立變量沒在表達(dá)ψ4的方程中出現(xiàn)，如果k4不為零，方程為：
0= （6）
方程中的第一部分θ4-θ40=0，使機(jī)構(gòu)有兩種符合的裝配方法，那就是說，任何長度r1,r2,r3r 和r4的桿，第四根桿的初始角θ40，有兩個不同的機(jī)械位置，假設(shè)θ40不符合要求，機(jī)構(gòu)可以被裝配，如圖3，按準(zhǔn)確的位置可以這樣列方程
（7）
方程的解是
或 （8）
式中
（9）
θ20，θ30分別是第二，第三根桿的初始交，但是如果θ20=θμ，這兩組解就相同了，和θ40的例子一樣。
方程（6）的第二部分偏移量為
（10）
如果 方程有兩組解：
θ2=θ3
θ2=θ3+π
因此，當(dāng)?shù)诙鶙U和第三根桿在同一條直線上時，偏移量為零，根據(jù)方程（10）的偏移量為零時，第二，三根桿也在同一條直線上，也就是說機(jī)構(gòu)是變位機(jī)構(gòu)。
對解的解釋
從以上分析可知，彈簧放在四桿機(jī)構(gòu)的任何一個桿件上第一個偏移量的潛能方程都有四組解。前兩組在方程（8）中給出，是機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定位置，另兩組解在方程（11）中，是不穩(wěn)定位置，除非θ40象以上定義的那樣是極值。這時，方程（7）有唯一解，和方程（11）總的解相同。因此，潛能方程在整個轉(zhuǎn)動過程中最多有兩個準(zhǔn)確值---一個穩(wěn)定位置和一個不穩(wěn)定位置。這就證明了一個四桿機(jī)構(gòu)的彈簧聯(lián)接的對桿同軸是就會穩(wěn)定。
雖然對任何長度桿件的機(jī)構(gòu)和彎曲彈簧都有可能有兩個穩(wěn)定位置，但是除了以上討論的極值，有些結(jié)構(gòu)達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)，也就是說，一個機(jī)構(gòu)總可以在穩(wěn)定位置裝配。但是裝配后不一定穩(wěn)定。為了證明這點(diǎn)，認(rèn)為一個機(jī)構(gòu)在不穩(wěn)定位置，這時與彈簧聯(lián)接的對桿在一條直線上。即當(dāng)θ2=θ3時，機(jī)構(gòu)達(dá)到平衡點(diǎn)，
（12）
相似地，如果θ2和θ3相差π弧度，方程為
（13）
方程(12)的第二個條件和方程(13)的第一個條件可以同時用任意的四桿機(jī)構(gòu)證明，式中可知任意兩桿的長度小于等于另外兩桿的和，要想證明這個不等式，可以組裝一個符合不等式地機(jī)構(gòu)。最長的桿也要小于等于另外兩桿之和，表達(dá)式為
s+p+q>l （14）
式中slpq如方程（2）中定義的，代數(shù)不等式為
l-q ≤ s+p （15）
l-p ≤s+q
l-s ≤ p+q
另外，由于l為最長桿，可得以下不等式：
p-s
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