文科考研微積分第二章一元函數(shù)微分學(xué)

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1、1 第 二 章 一 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 2 一 、 導(dǎo) 數(shù) 定 義 第 一 種 形 式 ： ax afxfaf ax )()(lim)(第 二 種 形 式 ： x afxafaf x )()(lim)( 0)(xfy 在 ax 處 可 導(dǎo) )(),( afaf 存 在 且 相 等 ； 微 分 的 定 義 ： )( xoxAy , xxfy d)(d ； 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 ： 切 線(xiàn) 的 斜 率 ； 關(guān) 系 ： 可 導(dǎo) 可 微 ,可 導(dǎo) 連 續(xù) ,反 之 不 然 . 內(nèi) 容 提 要 3)2sin()(sin )( nxx n , )2cos()(cos )( nxx n , 二 、

2、 求 導(dǎo) 法 則 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) ； 導(dǎo) 數(shù) 的 四 則 運(yùn) 算 ；反 函 數(shù) 、 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) ； 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) ；,)(ln)( )( nxnx aaa .!)1()1( 1)( nnn x nx高 階 導(dǎo) 數(shù) ,幾 個(gè) 簡(jiǎn) 單 函 數(shù) 的 n階 導(dǎo) 數(shù) ： 4 三 、 中 值 定 理 費(fèi) 馬 引 理 ,羅 爾 中 值 定 理 ,拉 格 朗 日 中 值 定 理 ,柯 西中 值 定 理 . 四 、 導(dǎo) 數(shù) 的 應(yīng) 用 洛 必 達(dá) 法 則 求 極 限 的 重 要 方 法 .利 用 函 數(shù) 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 研 究 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 及 其 極 值 .

3、利 用 函 數(shù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) 研 究 函 數(shù) 的 凹 凸 性 及 其 拐 點(diǎn) .最 大 值 、 最 小 值 問(wèn) 題 . 5 若 cxfx )(lim ,則 cy 為 水 平 漸 近 線(xiàn) ； 若 )(lim0 xfxx ,則 0 xx 為 鉛 直 漸 近 線(xiàn) ； 若 0)(lim axxfx ,且 baxxfx )(lim ,則 baxy 為 斜 漸 近 線(xiàn) . 漸 近 線(xiàn) 問(wèn) 題 ： 6 典 型 例 題解例 1 設(shè) 1 , 1 , )( 2 xbax xxxf 處 處 可 導(dǎo) ， 求 a, b的 值 . )(xf 在 1x 處 連 續(xù) ， 而 )(xf 在 1x 處 可 導(dǎo) , 于 是

4、1b . ab 1,211lim)1( 21 xxf x ,1 11lim)1( 1 ax aaxf x ,2a ba1 ， 題 型 1： 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 7 (+09,4 分 ) 函 數(shù) 1 ,e 1 ,)1ln()( xxbxaxf x 在 點(diǎn) 1x 處 可 導(dǎo) ， 則 a ， b . 解 例 2 解 得 e2a ， )2ln21(e b . 連 續(xù) ： ;e2ln ba可 導(dǎo) ： ,e2 a 8 設(shè) 0 , 0 0 , 1sin)( 2 xxxxxf ， 求 )0(f . 解例 3 0 )0()(lim)0( 0 x fxff x xxx x 01sinlim 20 xxx 1sin

5、lim0 .0 9 函 數(shù) |)2()( 32 xxxxxf 的 不 可 導(dǎo) 點(diǎn) 的 個(gè) 數(shù) 是 （ ） . | x 在 0 x 處 不 可 導(dǎo) ， 但 | xx 在 0 x 處 可 導(dǎo) . 例 4 ( 98二 3 )（ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0,|lim 0 不 存 在xxx .0|lim0 xxxx分 析 故 )(xf 在 1,0 xx 不 可 導(dǎo) . 解 ,|1|1|)2)(1()( xxxxxxf 設(shè) |3)( 23 xxxxf ， 則 )(xf 在 0 x 處 可 求 導(dǎo) 的 最 高 階 數(shù) 為 （ ） . （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D）

6、 3 類(lèi) 題 ( 92二 3) 10 設(shè) 0 , )( 0 , cos1)( 2 xxgx xx xxf ,其 中 )(xg 是 有 界 函 數(shù) , 則 )(xf 在 0 x 處 （ ） . 例 5解 ( 99二 3 )（ A） 極 限 不 存 在 （ B） 極 限 存 在 但 不 連 續(xù)（ C） 連 續(xù) 但 不 可 導(dǎo) （ D） 可 導(dǎo) x xgxf x )(lim)0( 20 ,0)(lim0 xxgxxx xf x cos1lim)0( 0 ,02lim 20 xxxx 故 0)0( f ,可 導(dǎo) . 選 (D). 11 (96,6 分 ) 設(shè) 0 , 0 0 , e)()( xxxxg

7、xf x ， 其 中 )(xg 有 連 續(xù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) ， 且 1)0( g ， 1)0( g .（ 1） 求 )(xf ； （ 2） 討 論 )(xf 的 連 續(xù) 性 . 解 例 6 （ 1） 當(dāng) 0 x 時(shí) ， 2 e)(e)()( x xgxgxxf xx ;e)1()()( 2x xxgxgx x 12 ,0 , 0 0 , e)()( xxxxgxf x ,1)0( g 1)0( g，需 用 定 義 求)0(f 2 0 e)(lim xxg xx xxg xx 2 e)(lim0 2 e)(lim0 xx xg ,2 1)0( g 0 )0()(lim)0( 0 x fxff

8、 x 13 ,0 , 0 0 , e)()( xxxxgxf x ,1)0( g 1)0( g所 以 0 , 2 1)0( 0 , e)1()()()( 2 xg xx xxgxgxxf x 14 0 , 2 1)0( 0 , e)1()()()( 2 xg xx xxgxgxxf x)(lim )2( 0 xfx x xxgx xx 2 e)(lim0 2 e)(lim0 xx xg 2 1)0( g ,)0(f 所 以 )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) ， 20 e)1()()(lim x xxgxgx xx 而 在 0 x 處 )(xf 顯 然 連 續(xù) ， 故 )(xf 在 ),( 上

9、連 續(xù) . 15 (+07,8 分 ) 已 知 0 , 1 0 , arctan)( xxx xxf ， 解例 7 求 : (1) )(xf ； (2) )(xf 在 點(diǎn) 0 x 處 是 否 連 續(xù) ？ 為 什 么 ？ ;)1( arctan)1()( 0 22 2 xx xxxxfx ,0 x (1) 0 )0()(lim)0( 0 x fxff x 20 arctanlim x xxx ,0 所 以 0 , 0 0 , )1( arctan)1()( 22 2 xxxx xxxxf 。 16 0 , 0 0 , )1( arctan)1()( 22 2 xxxx xxxxf(2) )1(

10、arctan)1(lim)(lim 22 200 xx xxxxf xx 220 arctan)1(lim x xxxx x xx x 2 1arctan21lim0 0arctanlim0 xx,)0(f 所 以 )(xf 在 點(diǎn) 0 x 處 連 續(xù) 。 及 時(shí) 分 離 非 零 因 子 17 (04,4 分 ) 設(shè) )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ， 且 0)( af ，0)( bf ， 則 下 列 結(jié) 論 中 錯(cuò) 誤 的 是 (A) 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 )()( 0 afxf (B) 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 )()( 0

11、bfxf (C) 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 0)( 0 xf (D) 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 0)( 0 xf 例 8解 由 已 知 )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ， 且 0)(,0)( bfaf ， 則 由 介 值 定 理 ， 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 0)( 0 xf ； 另 外 ， 0 )()(lim)( ax afxfaf ax ， 18 另 外 ， 0 )()(lim)( ax afxfaf ax ， 由 極 限 的 保 號(hào) 性 ， 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 0 )

12、()( 00 ax afxf ， 即 )()( 0 afxf ； 同 理 ， 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),(0 bax ， 使 得 )()( 0 bfxf . 所 以 ， (A) (B) (C)都 正 確 ， 故 選 (D). 19 (07,4 分 )設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) ， 下 列 命 題 錯(cuò) 誤 的 是 例 9解 因 此 分 子 的 極 限 也 必 須 為 0， 均 可 推 導(dǎo) 出 0)0( f . (A) 若 x xfx )(lim0 存 在 ， 則 0)0( f (B) 若 x xfxfx )()(lim0 存 在 ， 則 0)0( f (C) 若 x xfx

13、)(lim0 存 在 ， 則 )0(f 存 在 (D) 若 x xfxfx )()(lim0 存 在 ， 則 )0(f 存 在 (A)， (B)兩 項(xiàng) 中 分 母 的 極 限 為 0， 20 若 x xfx )(lim0 存 在 ， 則 0)0( f ， 0 )0()(lim)0( 0 x fxff x xxfx )(lim0 存 在 .【 答 案 】 應(yīng) 選 (D)。 反 例 ： |)( xxf 在 0 x 處 連 續(xù) ， x xfxfx )()(lim0 0|lim0 x xxx 存 在 ， 但 |)( xxf 在 0 x 處 不 可 導(dǎo) 。 21 題 型 2： 利 用 導(dǎo) 數(shù) 求 曲 線(xiàn)

14、 的 切 線(xiàn) 和 法 線(xiàn) 方 程 解例 1 (89,3分 ) 曲 線(xiàn) xxy 2sin 在 點(diǎn) )21,2( 處 的 切 線(xiàn) 方 程 是 。 ,2sin1 xy ,1)2( y所 以 所 求 切 線(xiàn) 方 程 為 ,2)21( xy.1 xy即 22 (91,3 分 ) 設(shè) 曲 線(xiàn) axxxf 3)( 與 cbxxg 2)( 都 通 過(guò) 點(diǎn) )0,1( ， 且 在 點(diǎn) )0,1( 處 有 公 共 切 線(xiàn) ， 則 a ， b ， c 。 解 例 2 ,)1()1( 0)1()1( gf gf ,23 0 01 bacb a 解 得 1a ， 1b ， 1c 。 23 題 型 3： 一 般 導(dǎo) 函

15、數(shù) 的 計(jì) 算解例 1 (87,4 分 ) 設(shè) 11 11ln 22 xxy ， 求 y. 先 化 簡(jiǎn) ， ,|ln2)11ln(2)11(ln 22 22 xxxxy xxxxy 2111 12 22 xxxxx 11112 222 .1 12 2xx 所 以 24 設(shè) xxy )1( 3 ， 求 y。 例 2解 用 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 , ,)1ln(ln 3xxy ,13)1ln( 333 xxxyy .131ln1 3333 xxxxy x 25 設(shè) )(xyy 是 由 方 程 yx xy e 所 確 定 的 隱 函 數(shù) ,求 : )0(),0( yy . 解 例 3 方 程 兩 邊

16、關(guān) 于 x求 導(dǎo) ,得 (1) 1e)( ，yyxy xy ,1)0( y而 .0)0( y(1)式 兩 邊 再 關(guān) 于 x求 導(dǎo) ： ，yyxyyxy xyxy )2(e)(e 2 代 入 ，將 0)0(,1)0( yy .1)0( y得 26 (95,3 分 ) 設(shè) x xxf 11)( ， 則 )( )( xf n 。 解例 4 利 用 公 式 1 )( !)1()1( nnn x nx ， ,11 2)( xxf .)1( !2)1()( 1)( nnn x nxf得 27 設(shè) )1( 12 xxy ,求 )(ny . 再 利 用 1 )( !)1(1 nnn x nx , 所 以 1

17、11 2)1( 1)1( 12 !)1( nnn nn xxxny . 例 5解 先 用 待 定 系 數(shù) 法 分 解 ， ,2111121 xxxy11 22 xxy ,11111 xx .)1( 1)1( 1!)1( 11 nnnn xxny則另 : 28 設(shè) )1ln()( 2 xxxf ， 求 )0()(nf 例 6解 法 1 由 Leibniz公 式 ： ，及 kkk xkx )1( )!1()1()1ln( 1)( ， 23 1212)( )1( )!3()1()1( )1( )!2()1(2)1( )!1()1()( nn nnnnn xnnn xnnxxnxxf .2 !)1()

18、!3)(1()1()0( 13)( n nnnnf nnn所 以 ,)( )()2(2)1(1)(0)( nnnnnnnnnn vuCvuCvuCvuCvu 得 .)3( n 29比 較 nx 的 系 數(shù) 得 2)1(! )0( 1)( nnf nn ， 即 得 2 !)1()0( 1)( n nf nn . 解 法 2 由 麥 克 勞 林 公 式 ,得 )(! )0(!2 )0()0()0()( )(2 nnn xoxnfxfxffxf )(2)1(32)1ln( 2233222 nnn xonxxxxxxx ,)(2)1(32 1543 nnn xonxxxx 例 6 設(shè) )1ln()(

19、2 xxxf ， 求 )0()(nf .)3( n 30 (93,3 分 ) 設(shè) 函 數(shù) 0 , 0 0 , 1sin|)( 2 xxxxxf ， 則 )(xf 在 0 x 處 （ ） . 題 型 4： 可 導(dǎo) 、 連 續(xù) 與 極 限 的 關(guān) 系 解例 1（ A） 極 限 不 存 在 （ B） 極 限 存 在 但 不 連 續(xù)（ C） 連 續(xù) 但 不 可 導(dǎo) （ D） 可 導(dǎo) 01sin|lim)(lim 200 xxxf xx ,)0(f 所 以 )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) ； 31 (93,3 分 ) 設(shè) 函 數(shù) 0 , 0 0 , 1sin|)( 2 xxxxxf ， 則 )(xf

20、在 0 x 處 （ ） . 解 例 1（ A） 極 限 不 存 在 （ B） 極 限 存 在 但 不 連 續(xù)（ C） 連 續(xù) 但 不 可 導(dǎo) （ D） 可 導(dǎo) 0 )0()(lim 0 x fxfx xxxx 01sinlim 20 ,1sin1lim 20 xxx 所 以 )(xf 在 0 x 處 不 可 導(dǎo) 。 【 答 案 】 應(yīng) 選 (C). 題 型 4： 可 導(dǎo) 、 連 續(xù) 與 極 限 的 關(guān) 系 32 類(lèi) 題 (95,6 分 ) 設(shè) 函 數(shù) 0 , dcos1 0 , 1 0 , )cos1(2)( 0 22 xttx xxxxxf x ， 試 討 論 )(xf 在 0 x 處 的

21、連 續(xù) 性 和 可 導(dǎo) 性 . )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) 可 導(dǎo) ， 且 0)0( f . 33 (96,3 分 ) 設(shè) 方 程 yyx 確 定 y是 x的 函 數(shù) ， 則 d y 。 題 型 5： 微 分 的 概 念 與 計(jì) 算解例 1 ,lnln yyx 兩 邊 對(duì) x求 導(dǎo) ， yyyyyx 1ln1 ,ln yyy ,)ln1( 1 yxy .)ln1( dd yx xy 34 (97,3 分 ) 設(shè) )(e)ln( xfxfy ， 其 中 )(xf 可 微 ， 求 yd . 例 2解 .d)(ln)()(lned )( xxfxfx xfy xf 35 (數(shù) 一 ,00,3

22、分 ) 設(shè) )(),( xgxf 是 恒 大 于 零 的 可 導(dǎo) 函 數(shù) ， 且 0)()()()( xgxfxgxf ， 則 當(dāng) bxa 時(shí) ， 有 （ ） (A) )()()()( xgbfbgxf (B) )()()()( xgafagxf (C) )()()()( bgbfxgxf (D) )()()()( xgafxgxf 題 型 6： 利 用 導(dǎo) 數(shù) 確 定 單 調(diào) 區(qū) 間 與 極 值解例 1 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) )( )()( xg xfx ， ,0)( )()()()()( 2 xg xgxfxgxfx 36即 )(x 單 調(diào) 減 少 ， (A) )()()()( xgbf

23、bgxf (B) )()()()( xgafagxf (C) )()()()( bgbfxgxf (D) )()()()( xgafxgxf )( )()( xg xfx ， ,0)( )()()()()( 2 xg xgxfxgxfx 故 當(dāng) bxa 時(shí) , )()()( axa , 即 )( )()( )()( )( ag afxg xfbg bf ， 而 0)(,0)( xgxf ， 所 以 )()()()( xgbfbgxf ， 選 （ A） . 37 (91,6分 ) 試 證 明 函 數(shù) xxxf )11()( 在 ),0( 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 。 例 2解 ,)11ln()(ln

24、xxxf ,1 1)11ln()( )( xxxf xf ,1 1)11ln()11()( xxxxf x ,1 1)11ln()( xxxg 記 ,0)1( 1 2 xxg 故 )(xg 在 ),0( 內(nèi) 單 調(diào) 減 少 ， 由 于 01 1)11ln(lim xxx ， 38 由 于 01 1)11ln(lim xxx ， 所 以 當(dāng) 0 x 時(shí) ， 有 01 1)11ln()( xxxg ， 從 而 0)( xf ， ),0( x ， 于 是 )(xf 在 ),0( 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 。 39 根 據(jù) 導(dǎo) 函 數(shù) 的 圖 形 可 知 ， 一 階 導(dǎo) 數(shù) 為 零 的 點(diǎn) 有 3個(gè) ， 而

25、 x=0 則 是 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 的 點(diǎn) . 三 個(gè) 一 階 導(dǎo) 數(shù) 為零 的 點(diǎn) 左 右 兩 側(cè) 導(dǎo) 數(shù) 符 號(hào) 不 一 致 ， 必 為 極 值 點(diǎn) ， 且 兩個(gè) 極 小 值 點(diǎn) ， 一 個(gè) 極 大 值 點(diǎn) ； 在 x=0左 側(cè) 一 階 導(dǎo) 數(shù) 為 正 ，右 側(cè) 一 階 導(dǎo) 數(shù) 為 負(fù) ， 可 見(jiàn) x=0為 極 大 值 點(diǎn) ， 故 f(x)共 有兩 個(gè) 極 小 值 點(diǎn) 和 兩 個(gè) 極 大 值 點(diǎn) ， 應(yīng) 選 (C). 設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 ),( 內(nèi) 連 續(xù) ， 其 導(dǎo) 函 數(shù) 的 圖 形 如 圖 所 示 ， 則 )(xf 有 例 3解 ( 03二 4) xyo (A) 一 個(gè) 極

26、小 值 點(diǎn) 和 兩 個(gè) 極 大 值 點(diǎn) . (B) 兩 個(gè) 極 小 值 點(diǎn) 和 一 個(gè) 極 大 值 點(diǎn) . (C) 兩 個(gè) 極 小 值 點(diǎn) 和 兩 個(gè) 極 大 值 點(diǎn) . (D) 三 個(gè) 極 小 值 點(diǎn) 和 一 個(gè) 極 大 值 點(diǎn) . 40 設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 0 xx 處 滿(mǎn) 足 0)()( 00 xfxf , 0)( 0 xf ,則 （ ） . 一 般 ,若 0)()()( 0)1(00 xfxfxf n , 0)( 0)( xf n ,則 (1) 若 n為 奇 數(shù) ,則 0 x 不 是 極 值 點(diǎn) ,但 )(, 00 xfx 是 拐 點(diǎn) ； (2) 若 n為 偶 數(shù) ,則 )(,

27、00 xfx 不 是 拐 點(diǎn) ,但 0 x 是 極 值 點(diǎn) , 且 當(dāng) 0)( 0)( xf n 時(shí) , )( 0 xf 是 極 小 值 ； 當(dāng) 0)( 0)( xf n 時(shí) , )( 0 xf 是 極 大 值 . 例 4解 (A) )( 0 xf 是 )(xf 的 極 大 值 ； (B) )( 0 xf 是 )(xf 的 極 小 值 ； (C)點(diǎn) )(,( 00 xfx 是 曲 線(xiàn) )(xfy 的 拐 點(diǎn) ； （ D） 以 上 都 不 對(duì) . 選 (C). 41 設(shè) 函 數(shù) )(xyy 由 方 程 1222 223 xxyyy 所 確 定 ， 試 求 )(xyy 的 駐 點(diǎn) ， 并 判 斷

28、它 是 否 為 極 值 點(diǎn) 。 化 為 0)1()1(2 23 xx ， 解 得 唯 一 駐 點(diǎn) 1x ， 將 1x ， 1)1( y ， 0y 代 入 ， 可 見(jiàn) 1x 是 隱 函 數(shù) )(xyy 的 極 小 值 點(diǎn) . 令 0y ,得 xy , 例 5解 ( 96六 8) 兩 邊 關(guān) 于 x求 導(dǎo) ,得 (1) 023 2 xyxyyyyy 代 入 原 方 程 ,得 12 23 xx , 對(duì) (1)式 再 求 導(dǎo) ， 得 ，012)26()23( 22 yyyyxyy 得 02 1 y ， 42 (數(shù) 四 ,92,8 分 )給 定 曲 線(xiàn) 2 1xy ， 求 曲 線(xiàn) 的 切 線(xiàn) 被 兩 坐

29、 標(biāo) 軸 所 截 線(xiàn) 段 的 最 短 長(zhǎng) 度 . 設(shè) 切 點(diǎn) 為 )1,( 2uu , 則 切 線(xiàn) 方 程 為 )(21 32 uxuuy , 即 23 32 uxuy , 在 兩 軸 上 的 截 距 分 別 為 u23 , 23u , 則 所 截 線(xiàn) 段 長(zhǎng) 度 為 4 2 143 uul , 設(shè) 4 2 14)( uuuf , 而 02021)( 6 uuf , 故 2u 為 極 小 值 點(diǎn) , 例 6解 ， 令 042)( 5uuuf ,2u于 是 所 求 線(xiàn) 段 的 最 短 長(zhǎng) 度 為 .233143 242 uul 43 (數(shù) 二 ,90,5 分 ) 求 曲 線(xiàn) 21 1xy 的 拐

30、 點(diǎn) . 題 型 7： 求 函 數(shù) 曲 線(xiàn) 的 凹 凸 區(qū) 間 與 拐 點(diǎn) 解例 1 令 0y ， ,)1( 2 22xxy ,)1( )13(2 322xxy 得 3 1x ， 兩 側(cè) y 異 號(hào) ， 故 )4 3,31( 均 為 拐 點(diǎn) . 44 (+05,3 分 ) 設(shè) 函 數(shù) x xxf |1|)( ， 則 ( )。 解例 2 所 以 )(xf 在 1x 處 不 可 導(dǎo) ； (A) 1x 是 )(xf 的 極 值 點(diǎn) ， 但 )0,1( 不 是 曲 線(xiàn) )(xfy 的 拐 點(diǎn) (B) 1x 不 是 )(xf 的 極 值 點(diǎn) ， 但 )0,1( 是 曲 線(xiàn) )(xfy 的 拐 點(diǎn) (C)

31、 1x 是 )(xf 的 極 值 點(diǎn) ， 且 )0,1( 是 曲 線(xiàn) )(xfy 的 拐 點(diǎn) (D) 1x 不 是 )(xf 的 極 值 點(diǎn) ， )0,1( 也 不 是 曲 線(xiàn) )(xfy 的 拐 點(diǎn) ,1 , 11 0,1 , 11|1|)( xx xxxxxxf ,1111lim)1( 1 xxf x ,1)1( f 45可 見(jiàn) 在 1x 兩 側(cè) )(xf 和 )(xf 均 異 號(hào) ， 故 應(yīng) 選 (C). ,1 , 11 0,1 , 11|1|)( xx xxxxxxf ,1 , 1 0,1 , 1)( 22 xx xxxxf ,1 , 2 0,1 , 2 )( 33 xx xxxxf

32、所 以 1x 是 )(xf 的 極 值 點(diǎn) ， 且 )0,1( 是 曲 線(xiàn) )(xfy 的 拐 點(diǎn) ， 46 (94,3 分 ) 曲 線(xiàn) )2)(1( 1arctane 212 xx xxy x 的 漸 近 線(xiàn) 有 題 型 8： 求 函 數(shù) 曲 線(xiàn) 的 漸 近 線(xiàn) 解例 1 水 平 漸 近 線(xiàn) 4 y ； （ A） 1條 （ B） 2條 （ C） 3條 （ D） 4條 )2)(1( 1arctanelimlim 21x 2 xx xxy xx ,4,lim 0 yx 鉛 直 漸 近 線(xiàn) 0 x ； 1x 和 2x 不 是 漸 近 線(xiàn) ， 選 (B). 47 曲 線(xiàn) 2 2e1 e1 xxy (

33、 ). （ A） 沒(méi) 有 漸 近 線(xiàn)（ B） 僅 有 水 平 漸 近 線(xiàn)（ C） 僅 有 鉛 直 漸 近 線(xiàn)（ D） 既 有 水 平 漸 近 線(xiàn) 又 有 鉛 直 漸 近 線(xiàn)1e1 e1lim 22 xxx ， 0 x 為 鉛 直 漸 近 線(xiàn) 。 選 (D). 解例 2 ( 91二 3) 1y 為 水 平 漸 近 線(xiàn) ； 22e1 e1lim0 xxx ， 48 例 3 (07,4 分 ) 曲 線(xiàn) )e1ln(1 xxy ， 漸 近 線(xiàn) 的 條 數(shù) 為 解 水 平 漸 近 線(xiàn) 0y ； （ A） 0條 （ B） 1條 （ C） 2條 （ D） 3條 ,0)e1ln(1lim xx x ,)e1l

34、n(1lim0 xx x 鉛 直 漸 近 線(xiàn) 0 x ； xyx lim )e1ln(1lim 2 xx xx x xx )e1ln(lim xxx e1 elim ,1 49 ,1lim xyx 于 是 有 斜 漸 近 線(xiàn) ： xy . )1(lim xyx )e1ln(1lim xx xx )e1ln(lim xxx x xx e e1lnlim 故 應(yīng) 選 (D). ,0例 3 (07,4 分 ) 曲 線(xiàn) )e1ln(1 xxy ， 漸 近 線(xiàn) 的 條 數(shù) 為 解 （ A） 0條 （ B） 1條 （ C） 2條 （ D） 3條 50 一 般 來(lái) 說(shuō) ， 有 水 平 漸 近 線(xiàn) (即 cy

35、x lim ) 就 不 再 考 慮 斜 漸 近 線(xiàn) ， 但 當(dāng) yx lim 不 存 在 時(shí) ， 就 要 分 別 討 論x 和 x 兩 種 情 況 ， 即 左 右 兩 側(cè) 的 漸 近 線(xiàn) 。 【 評(píng) 注 】 本 題 在 0 x 的 一 側(cè) 有 水 平 漸 近 線(xiàn) ， 而 在 0 x 的 一 側(cè) 有 斜 漸 近 線(xiàn) 。 關(guān) 鍵 應(yīng) 注 意 指 數(shù) 函 數(shù) xe 當(dāng) x 時(shí) 極 限 不 存 在 ， 必 須 分 x 和 x 進(jìn) 行 討 論 。 例 3 (07,4 分 ) 曲 線(xiàn) )e1ln(1 xxy ， 漸 近 線(xiàn) 的 條 數(shù) 為 （ A） 0條 （ B） 1條 （ C） 2條 （ D） 3條 5

36、1 (+07,4 分 ) 函 數(shù) xxxf 1e|)( 有 （ ） 條 漸 近 線(xiàn) 。 解 例 4 所 以 有 斜 漸 近 線(xiàn) 1 xy ； （ A） 0條 （ B） 1條 （ C） 2條 （ D） 3條 ,1elim)(lim 1 xxx xxf )1e(lim)(lim 1 xxx xxxf )1(lim xxx ,1 類(lèi) 似 有 斜 漸 近 線(xiàn) 1 xy ； xxx xxf 100 elim)(lim txt tt elim 1 , 所 以 有 鉛 直 漸 近 線(xiàn) 0 x 。 故 應(yīng) 選 (D). 52 題 型 9： 確 定 函 數(shù) 方 程 f (x) = 0 的 根 解 例 1（ A）

37、 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 可 見(jiàn) 當(dāng) 4a 時(shí) ， 函 數(shù) )(xf 恰 好 有 兩 個(gè) 零 點(diǎn) ， 選 (B). 12186)( 2 xxxf ,)2)(1(6 xx,4)2(,5)1( afaf 【 評(píng) 注 】 對(duì) 于 三 次 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) dcxbxaxxf 23)( ， 當(dāng) 兩 個(gè) 極 值 同 號(hào) 時(shí) ， 函 數(shù) )(xf 只 有 一 個(gè) 零 點(diǎn) ； 當(dāng) 兩 個(gè) 極 值 異 號(hào) 時(shí) ， 函 數(shù) )(xf 有 三 個(gè) 零 點(diǎn) ； 當(dāng) 兩 個(gè) 極 值 有 一 為 零 時(shí) ， 函 數(shù) )(xf 有 兩 個(gè) 零 點(diǎn) . (87,4 分 ) 當(dāng) a取 下 列 哪 個(gè)

38、值 時(shí) ， 函 數(shù) 32)( xxf axx 129 2 恰 有 兩 個(gè) 不 同 的 零 點(diǎn) xyo 53 證 (+05,7 分 ) 設(shè) 函 數(shù) axxy sin2 在 )2,0( 內(nèi) 有 且 僅 有 1 個(gè) 零 點(diǎn) ， 求 正 數(shù) a 的 取 值 范 圍 . 例 2 2,0,sin2)( xaxxxf ,22)2(,0)0( afaf 40cos21)( 0 xxxf令 24 ,0 40 ,0)( xxxf 24 , 40 ,)( xxxf 遞 增遞 減 54 2,0,sin2)( xaxxxf ,22)2(,0)0( afaf （ 1） 當(dāng) 22 a 時(shí) ， ,022)2( af )(xf

39、 在 )2,0( 內(nèi) 無(wú) 零 點(diǎn) ； （ 2） 當(dāng) 220 a 時(shí) ， ,022)2( af )(xf 在 )2,0( 內(nèi) 有 且 僅 有 一 個(gè) 零 點(diǎn) ； 所 以 本 題 答 案 是 ： 220 a . 55 證 (+07,9 分 ) 試 利 用 微 分 學(xué) 方 法 ,根 據(jù) 常 數(shù) k 的 各 種 不 同 取值 ， 討 論 曲 線(xiàn) ky xx ee2 與 曲 線(xiàn) kxy xx 2e4e2 2 的 交 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 情 況 。 例 3 即 討 論 ),(,e3e)( 2 xkxxf xx 的 零 點(diǎn) 的 個(gè) 數(shù) 。 令 01e3e2)( 2 xxxf ， 得 駐 點(diǎn) 2ln1 x ， 02

40、x ， ,e3e4)( 2 xxxf ,021)2ln( f 所 以 2ln1 x 為 極 大 值 點(diǎn) ； ,01)0( f 所 以 02 x 為 極 小 值 點(diǎn) 。 ,)(,)( ff 56 xyo,2)0(452ln)2ln( kfkf當(dāng) 0)2ln( 452ln fk 或 者 0)0( 2 fk 時(shí) ， 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn) ； 當(dāng) 0)2ln( 4 52ln fk 或 者 0)0( 2 fk 時(shí) ， 有 兩 個(gè) 交 點(diǎn) ； 當(dāng) )2ln(0)0( 24 52ln ffk 時(shí) ， 有 三 個(gè) 交 點(diǎn) 。 57 題 型 10： 確 定 方 程 的 根0)(),(, xfxfxF (99,

41、7 分 )設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 1,0 上 連 續(xù) ， 在 )1,0( 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 0)1()0( ff ， 1)5.0( f 。 試 證 ： （ 1） )1,5.0( ， 使 )(f ； （ 2） 對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) ， 必 存 在 ),0( ， 使 得 . 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) xxfxF )()( ,它 在 1,5.0 上 連 續(xù) ,且 由 零 點(diǎn) 存 在 定 理 ， )1,5.0( ， 使 0)( F ， 例 1證 .1)()( ff ,05.05.0)5.0()5.0( fF ,011)1()1( fF 即 )(f ； (1) 58分 析 ： 用 微 分 方 程 法 ,

42、 原 等 式 改 寫(xiě) 為 ,)(1)( xxfxf ，令 xxfxg )()( ，得 )()( xgxg ，解 得 xCxg e)( .e)( Cxg x 即構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) xxxfx e)()( ， 證 (2) (99,7 分 )設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 1,0 上 連 續(xù) ， 在 )1,0( 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 0)1()0( ff ， 1)5.0( f 。 試 證 ： （ 1） )1,5.0( ， 使 )(f ； （ 2） 對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) ， 必 存 在 ),0( ， 使 得 . 例 1 .1)()( ff 59 證 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) xxxfx e)()( ， 顯 然

43、 )(x 在 1,0,0 上 連 續(xù) ， 在 ),0( 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 由 題 設(shè) 及 (1)知 , ,0)0()0( f ,0)(e)( f 由 羅 爾 定 理 ， ),0( ， 使 得 0)( ， 即 ,0e)(1)( ff ,)(1)( ff ,0)1()0( ff ,)( f例 1 .1)()( ff即 60 設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ,在 ),( ba 內(nèi) 可 導(dǎo) , 證 明 ： 在 ),( ba 內(nèi) 至 少 存 在 一 點(diǎn) ,使 ( 95七 5) .)()()()( ffab aafbbf 類(lèi) 題 設(shè) )(xf 在 1,0 上 二 階 可 導(dǎo) ,且 0)1

44、()0( ff , 證 明 : )1,0( ,使 1 )(2)( ff . 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) )()1()( 2 xfxx . ,1 )(2)( xxfxf ,1 2)( )( xxf xf ,)1()( 2xCxf 61 已 知 函 數(shù) )(xf 在 1,0 連 續(xù) , 在 )1,0( 內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 0)0( f , 1)1( f . 證 明 : 例 2證 ( ) 存 在 )1,0( , 使 得 1)(f ; ( ) 存 在 兩 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) )1,0(, , 使 得 1)()( ff . 05(18)12( ) 略 . ( ) 在 ,0 和 1, 上 對(duì) )(xf 分 別

45、 應(yīng) 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 知 存 在 兩 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) ,),0( ,)1,( 使 得 0 )0()()( fff ,)(f 1 )()1()( fff ,1 )(1 f)()( ff 1 )(1)( ff 11 .1所 以 62 (98,6 分 ) 設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ， 在 ),( ba 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 0)( xf ， 試 證 ： 存 在 ),(, ba ， 使 得 eee)( )( abff ab 。 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知 ， 存 在 ),( ba ， 使 得 例 3解 ,)()()( ab afbff 代 入

46、 eee)( )( abff ab ， 轉(zhuǎn) 化 為 只 需 證 明 ,e )(ee )()( fafbf ab 顯 然 ， 只 需 對(duì) )(xf 和 xxg e)( 在 , ba 上 應(yīng) 用 柯 西 中 值 定 理 即 可 。 63 (07,11分 )設(shè) 函 數(shù) )(),( xgxf 在 a, b上 連 續(xù) ， 在 (a, b) 內(nèi) 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù) 且 存 在 相 等 的 最 大 值 ， )()( agaf ，)()( bgbf 證 明 ： 存 在 ),( ba ， 使 得 )()( gf 。 【 證 明 】 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) )()()( xgxfxF ， 由 題 設(shè) 有 0)

47、()( bFaF 。 又 )(),( xgxf 在 (a, b)內(nèi) 具 有 相 等 的 最 大 值 , 21 xx , ),(, 21 baxx 使 得 不 妨 設(shè) 存 在 ,)(max)( ,1 xfMxf bax )(max)( ,2 xgMxg bax 若 21 xx ， 令 1xc , 則 0)( cF ； 例 4 64 若 21 xx ， 因 0)()()( 111 xgxfxF ， 從 而 存 在 ),(, 21 baxxc ， 使 0)( cF 。 ,0)()()( 222 xgxfxF 在 區(qū) 間 , bcca 上 分 別 利 用 羅 爾 定 理 知 ， 存 在),(),( 2

48、1 bcca ， 使 得 0)()( 21 FF ， 再 對(duì) )(xF 在 區(qū) 間 , 21 上 應(yīng) 用 羅 爾 定 理 ， 知 存 在),(),( 21 ba ， 有 0)( F ， 即 )()( gf ,)(max)( ,1 xfMxf bax )(max)( ,2 xgMxg bax 65 (數(shù) 一 ,99,6 分 )試 證 :當(dāng) 0 x 時(shí) , 22 )1(ln)1( xxx . 題 型 11： 利 用 導(dǎo) 數(shù) 證 明 不 等 式 證例 1 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) 1 1ln)( xxxx ， 所 以 )(x 在 ),0( 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 ， 而 0)1( ， 故 2)1( 21)

49、( xxx 22 )1( 1 xxx ,0 )0( x 當(dāng) 10 x 時(shí) ， 0)( x ； 當(dāng) 1x 時(shí) ， 0)( x ， 于 是)()1( 2 xx 22 )1(ln)1( xxx ,0 ),0( x 即 有 22 )1(ln)1( xxx ， 0 x . 66 證 法 1 對(duì) 函 數(shù) x2ln 在 , ba 上 應(yīng) 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ,得 設(shè) 2ee ba , 證 明 )(e4lnln 222 abab . 【 分 析 】 根 據(jù) 所 證 不 等 式 的 形 式 ,可 考 慮 用 拉 格 朗 日 中 值定 理 或 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù) 不 等 式 用 單 調(diào) 性 證 明

50、 . .),(ln2lnln 22 baabab 設(shè) t tt ln)( , 則 2 ln1)( t tt , 當(dāng) et 時(shí) , ,0)( t 所 以 )(t 單 調(diào) 減 少 , 從 而 )e()( 2 ,即 22 2 e2eelnln , 故 )(e 4lnln 222 abab . 例 2 04(15)12 67 證 法 2 設(shè) xxx 22 e4ln)( , 則 2e4ln2)( xxx , 所 以 當(dāng) ex 時(shí) , ,0)( x 從 而 當(dāng) 2ee x 時(shí) , 2ln12)( x xx , 故 )(x 單 調(diào) 減 少 , )e()( 2 x 0e 4e4 22 , 即 當(dāng) 2ee x

51、時(shí) , )(x 單 調(diào) 增 加 . 因 此 當(dāng) 2ee x 時(shí) , )()( ab , 即 aabb 2 222 e4lne4ln , 故 )(e 4lnln 222 abab . 設(shè) 2ee ba , 證 明 )(e4lnln 222 abab . 例 2 68 )(e4lnln)( 222 axaxx , 2ee xa , 【 評(píng) 注 】 本 題 也 可 設(shè) 輔 助 函 數(shù) 為 或 )(e 4lnln)( 222 xbxbx , 2ee bx , 再 用 單 調(diào) 性 進(jìn) 行 證 明 即 可 . 設(shè) 2ee ba , 證 明 )(e4lnln 222 abab . 例 2 69 (92,3

52、分 ) 設(shè) 商 品 的 需 求 函 數(shù) 為 PQ 5100 ， 其 中 PQ, 分 別 表 示 需 求 量 和 價(jià) 格 ， 如 果 商 品 需 求 彈 性 的 絕 對(duì) 值 大 于 1， 則 商 品 價(jià) 格 的 取 值 范 圍 是 。 題 型 12： 導(dǎo) 數(shù) 在 經(jīng) 濟(jì) 上 的 應(yīng) 用 解例 1 由 題 意 ， 15100 5 PP ， 解 得 20P 或 2010 P ， 而 05100 PQ ， 有 20P ， 所 以 P的 取 值 范 圍 是 )20,10( 。 需 求 彈 性 為 )( )(PQ PQP ,5100 5 PP 70 (93,9分 )設(shè) 某 產(chǎn) 品 的 成 本 函 數(shù) 為

53、,)( 2 cbqaqqC 需 求 函 數(shù) 為 ),( 1 pdeq 其 中 q 為 需 求 量 (即 產(chǎn) 量 )， p 為 單 價(jià) ， edcba , 都 是 正 的 常 數(shù) ， 且 bd ， 求 : 例 2解(1)利 潤(rùn) 最 大 時(shí) 的 產(chǎn) 量 及 最 大 利 潤(rùn) ； (2)需 求 對(duì) 價(jià) 格 的 彈 性 ；(3)需 求 對(duì) 價(jià) 格 彈 性 的 絕 對(duì) 值 為 1時(shí) 的 產(chǎn) 量 . （ 1） 利 潤(rùn) 函 數(shù) 為 CpqL )()( 2 cbqaqqeqd ,)()( 2 cqaeqbd ,)(2)( qaebdL 令 0L ， 得 )(2 ae bdq ， 因 為 0)(2 aeL ， 所

54、 以 ， 當(dāng) )(2 ae bdq 時(shí) ， 利 潤(rùn) 最 大 ， .)(4 )( 2max cae bdL 71 例 2解(1)利 潤(rùn) 最 大 時(shí) 的 產(chǎn) 量 及 最 大 利 潤(rùn) ； (2)需 求 對(duì) 價(jià) 格 的 彈 性 ；(3)需 求 對(duì) 價(jià) 格 彈 性 的 絕 對(duì) 值 為 1時(shí) 的 產(chǎn) 量 . （ 2） 所 以 需 求 對(duì) 價(jià) 格 的 彈 性 為 eq deqeqpqqp 。 ,1eq （ 3） 由 1| ， 得 e dq 2 。 (93,9分 )設(shè) 某 產(chǎn) 品 的 成 本 函 數(shù) 為 ,)( 2 cbqaqqC 需 求 函 數(shù) 為 ),( 1 pdeq 其 中 q 為 需 求 量 (即 產(chǎn)

55、 量 )， p 為 單 價(jià) ， edcba , 都 是 正 的 常 數(shù) ， 且 bd ， 求 : 72 (98,6 分 ) 設(shè) 某 酒 廠 有 一 批 新 釀 的 好 酒 ， 如 果 現(xiàn) 在 （ 假 定 0t ） 就 售 出 ， 總 收 入 為 0R （ 元 ） 。 如 果 窖 藏 起 來(lái) 待 來(lái) 日 按 陳 酒 價(jià) 格 出 售 ， t年 末 的 總 收 入 為 tRR 520e 。 假 定 銀 行 的 年 利 率 為 r， 并 以 連 續(xù) 復(fù) 利 計(jì) 算 ， 試 求 窖 藏 多 少 年 出 售 可 使 總 收 入 的 現(xiàn) 值 最 大 ？ 并 求 06.0r 時(shí) 的 t 值 。 例 3解 根

56、據(jù) 連 續(xù) 復(fù) 利 公 式 ， 這 批 酒 在 窖 藏 t 年 末 總 收 入 R的 現(xiàn) 值 為 ,e)()( trtRtA ,e520 tRR 而 ,e)( 520 trtRtA 所 以 ,0)51(edd 520 rtRtA rtt 得 唯 一 駐 點(diǎn) 20 25 1rt ， 73 ,0)51(edd 520 rtRtA rtt 得 唯 一 駐 點(diǎn) 20 251rt ， 而 0d d 22 tA ， 故 20 25 1rt 是 極 大 值 點(diǎn) ， 即 為 最 大 值 點(diǎn) ， 即 窖 藏 225 1rt （ 年 ） 售 出 ， 總 收 入 的 現(xiàn) 值 最 大 。 當(dāng) 06.0r 時(shí) ， 11

57、9 100 t （ 年 ） 。 74END 75 設(shè) 函 數(shù) n nn xxf 31lim)( ， 則 )(xf 在 ),( 內(nèi) 解例 3 ( 05二 4)(A) 處 處 可 導(dǎo) . (B) 恰 有 一 個(gè) 不 可 導(dǎo) 點(diǎn) .(C) 恰 有 兩 個(gè) 不 可 導(dǎo) 點(diǎn) . (D) 至 少 有 三 個(gè) 不 可 導(dǎo) 點(diǎn) . 1 , 11 , 1 1 ,)( 33 xx xxxxf ，時(shí)當(dāng) 1x nnn xxxf 133 )11(lim)( .3x，時(shí)當(dāng) 1x ;11lim)( 3 n nn xxf，時(shí)當(dāng) 1x ;111lim)( nnxf所 以 故 )(xf 在 1x處 不 可 導(dǎo) ， 選 (C).

58、76 已 知 0)1(lim 2 baxxxx ,則 a _ , b _. 分 析 此 題 實(shí) 際 上 是 求 曲 線(xiàn) 1 2 xxy 的 漸 近 線(xiàn) 方 程 . 即 曲 線(xiàn) 1 2 xxy 的 漸 近 線(xiàn) 方 程 為 1 xy . 解 法 1 )1(lim 2 baxxxx ，01 )()1(lim 2 x bxbaxax，得 到 001 ba a .11 ba例 5 ( 90,3) 77 )1(lim 2 xxxa x 解 法 2 0)1(lim 2 baxxxx ,1)1(lim 2 axxxb x x xxxx 1lim 22 .1,)(lim xxfa x 一 般 ， 斜 漸 近 線(xiàn) 求 法 ：baxy .)(lim axxfb x 78 解 曲 線(xiàn) 12 2 xxy 的 斜 漸 近 線(xiàn) 方 程 為 . 【 05,4】xxfa x )(lim )12(lim 2 xx xx ,21)(lim axxfb x )12(2lim xxx ,41所 求 斜 漸 近 線(xiàn) 方 程 為 .4121 xy類(lèi) 題