《矢量分析》PPT課件

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1、第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 1長 春 理 工 大 學(xué) 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 2 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 3 電 磁 場(chǎng) （ 或 電 磁 波 ） 作 為 能 量 的 一 種 形 式 ， 是 當(dāng) 今 世 界 最重 要 的 能 源 之 一 電 磁 波 作 為 信 息 傳 輸 的 載 體 ， 成 為 當(dāng) 今 人 類 社 會(huì) 發(fā) 布 和 獲取 信 息 、 探 測(cè) 未 知 世 界 的 重 要 手 段一 、 課 程 的 性 質(zhì) 電 類 專

2、 業(yè) 學(xué) 生 必 修 的 技 術(shù) 基 礎(chǔ) 課 是 電 氣 工 程 師 的 必 備 知 識(shí) 是 電 磁 理 論 的 重 要 組 成 部 分 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 41 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 早 期 研 究 電 、 磁 現(xiàn) 象 是 大 自 然 最 重 要 的 往 來 現(xiàn) 象 ， 也 是 最 早 被 科 學(xué)家 們 關(guān) 心 和 研 究 的 物 理 現(xiàn) 象 ， 其 中 貢 獻(xiàn) 最 大 的 有 賴 頓 、 富 蘭 克林 、 伏 打 等 科 學(xué) 家 。 19世 紀(jì) 以 前 ， 電 、 磁 現(xiàn) 象 一 直 作 為 兩 個(gè) 獨(dú) 立 的 物 理 現(xiàn) 象

3、 ，沒 有 人 發(fā) 現(xiàn) 它 們 之 間 的 相 互 聯(lián) 系 。 但 是 這 些 研 究 （ 特 別 是 伏 打1799年 發(fā) 明 了 電 池 ） 為 電 磁 學(xué) 理 論 的 建 立 奠 定 了 基 礎(chǔ) 。二 、 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 發(fā) 展 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 52 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 建 立 18世 紀(jì) 末 期 ， 德 國 哲 學(xué) 家 謝 林 認(rèn) 為 ， 宇 宙 是 有 活 力 的 ，而 不 是 僵 死 的 。 他 認(rèn) 為 電 就 是 宇 宙 的 活 力 ， 是 宇 宙 的 靈 魂 ，電 、 磁 、 光 、 熱 是 相 互

4、聯(lián) 系 的 。 奧 斯 特 是 謝 林 的 信 徒 ， 他 從 1807年 開 始 研 究 電 、 磁 之 間的 關(guān) 系 。 1820年 ， 他 發(fā) 現(xiàn) 電 流 以 力 作 用 于 磁 針 。 安 培 發(fā) 現(xiàn) 作 用 力 的 方 向 、 電 流 的 方 向 、 磁 針 到 通 電 導(dǎo) 線的 垂 直 方 向 是 相 互 垂 直 的 ， 并 定 量 建 立 了 若 干 數(shù) 學(xué) 公 式 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 6 法 拉 第 在 謝 林 的 影 響 下 ， 相 信 電 、 磁 、 光 、 熱 是 相 互 聯(lián)系 的 。 奧 斯 特 1820

5、年 發(fā) 現(xiàn) 電 流 以 力 作 用 于 磁 針 后 ， 法 拉 第 敏 銳地 意 識(shí) 到 ， 電 可 以 對(duì) 磁 產(chǎn) 生 作 用 ， 磁 也 一 定 能 夠 對(duì) 電 產(chǎn) 生 影 響 。1821年 他 開 始 探 索 磁 生 電 的 實(shí) 驗(yàn) 。 1831年 他 發(fā) 現(xiàn) ， 當(dāng) 磁 棒 插 入導(dǎo) 體 線 圈 時(shí) ， 線 圈 中 就 會(huì) 產(chǎn) 生 電 流 。 這 表 明 ， 電 與 磁 之 間 存 在著 密 切 的 聯(lián) 系 。 麥 克 斯 韋 深 入 研 究 并 探 討 了 電 與 磁 之 間 發(fā) 生 作 用 的 問 題 ，發(fā) 展 了 場(chǎng) 的 概 念 。 在 法 拉 第 實(shí) 驗(yàn) 的 基 礎(chǔ) 上 ， 總

6、 結(jié) 了 宏 觀 電 磁 現(xiàn)象 的 規(guī) 律 ， 引 進(jìn) 位 移 電 流 的 概 念 。 這 個(gè) 概 念 的 核 心 思 想 是 ： 變化 著 的 電 場(chǎng) 能 產(chǎn) 生 磁 場(chǎng) ， 與 變 化 著 的 磁 場(chǎng) 產(chǎn) 生 電 場(chǎng) 相 對(duì) 應(yīng) 。 在 此 基 礎(chǔ) 上 提 出 了 一 套 偏 微 分 方 程 來 表 述 電 磁 現(xiàn) 象 的 基 本 規(guī) 律 ，稱 為 麥 克 斯 韋 方 程 組 ， 是 經(jīng) 典 電 磁 學(xué) 的 基 本 方 程 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 73 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 發(fā) 展 在 麥 克 斯 韋 方 程 建 立 后 的

7、一 百 多 年 里 ,隨 著 科 學(xué) 技 術(shù) 的 發(fā)展 ， 電 磁 理 論 得 到 了 廣 泛 的 應(yīng) 用 和 發(fā) 展 ， 尤 其 近 30年 來 ， 無線 電 電 子 學(xué) 、 計(jì) 算 機(jī) 和 網(wǎng) 絡(luò) 技 術(shù) 的 飛 速 發(fā) 展 ， 生 物 電 磁 學(xué) 、環(huán) 境 電 磁 學(xué) 和 電 磁 兼 容 等 學(xué) 科 的 建 立 ， 向 電 磁 理 論 提 出 了 許多 新 的 研 究 課 題 ， 使 現(xiàn) 代 電 磁 理 論 得 到 了 迅 速 的 發(fā) 展 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 8 1887年 ， 德 國 科 學(xué) 家 赫 茲 用 火 花 隙

8、激 勵(lì) 一 個(gè) 環(huán) 狀 天 線 ，用 另 一 個(gè) 帶 隙 的 環(huán) 狀 天 線 接 收 ， 證 實(shí) 了 麥 克 斯 韋 關(guān) 于 電 磁 波存 在 的 預(yù) 言 ， 這 一 重 要 的 實(shí) 驗(yàn) 導(dǎo) 致 了 后 來 無 線 電 報(bào) 的 發(fā) 明 。從 此 開 始 了 電 磁 場(chǎng) 理 論 應(yīng) 用 與 發(fā) 展 時(shí) 代 ， 并 且 發(fā) 展 成 為 當(dāng) 代最 引 人 注 目 的 學(xué) 科 之 一 。三 、 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 應(yīng) 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 9無 線 電 報(bào) : 1895年 ， 意 大 利 馬 可 尼 成 功 地 進(jìn) 行 了 2.5km

9、距 離 的 無 線電 報(bào) 傳 送 實(shí) 驗(yàn) ； 1896年 ， 波 波 夫 進(jìn) 行 了 約 250m米 距 離 的 類似 試 驗(yàn) ； 1899年 , 無 線 電 報(bào) 跨 越 英 吉 利 海 峽 的 試 驗(yàn) 成 功 ；1901年 ， 跨 越 大 西 洋 的 3200km距 離 的 試 驗(yàn) 成 功 。 馬 可 尼 以其 在 無 線 電 報(bào) 等 領(lǐng) 域 的 成 就 ， 獲 得 了 1909年 的 諾 貝 爾 物 理 學(xué) 獎(jiǎng) 。 無 線 電 報(bào) 的 發(fā) 明 ， 開 始 了 利 用 電 磁 波 時(shí) 期 。有 線 電 話 : 1876年 ， 美 國 A.G . 貝 爾 在 美 國 建 國 100周 年 博

10、覽 會(huì) 上 展 示了 他 所 發(fā) 明 的 有 線 電 話 。 此 后 ， 有 線 電 話 便 迅 速 普 及 開 來 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 10電 視 : 1884年 ， 德 國 尼 普 科 夫 提 出 機(jī) 械 掃 描 電 視 的 設(shè) 想 ； 1927年 ， 英 國 貝 爾 德 成 功 地 用 電 話 線 路 把 圖 像 從 倫 敦 傳 至 大 西 洋中 的 船 上 ； 茲 沃 霄 金 在 1923和 1924 年 相 繼 發(fā) 明 了 攝 像 管 和 顯 像 管 ； 1931年 ， 他 組 裝 成 世 界 上 第 一 個(gè) 全 電

11、子 電 視 系 統(tǒng) 。廣 播 : 1906年 ， 美 國 費(fèi) 森 登 用 50kH z頻 率 發(fā) 電 機(jī) 作 發(fā) 射 機(jī) ， 用 微音 器 接 入 天 線 實(shí) 現(xiàn) 調(diào) 制 ， 使 大 西 洋 航 船 上 的 報(bào) 務(wù) 員 聽 到 了 他 從波 士 頓 播 出 的 音 樂 ； 1919年 ， 第 一 個(gè) 定 時(shí) 播 發(fā) 語 言 和 音 樂 的 無線 電 廣 播 電 臺(tái) 在 英 國 建 成 ； 次 年 ， 在 美 國 的 匹 茲 堡 城 又 建 成 一座 無 線 電 廣 播 電 臺(tái) 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 11雷 達(dá) : 第 二 次 世

12、界 大 戰(zhàn) 前 夕 ， 飛 機(jī) 成 為 主 要 進(jìn) 攻 武 器 。 英 、 美 、德 、 法 等 國 競(jìng) 相 研 制 一 類 能 夠 早 期 警 戒 飛 機(jī) 的 裝 置 。 1936年 ，英 國 的 瓦 特 設(shè) 計(jì) 的 警 戒 雷 達(dá) 最 先 投 入 了 運(yùn) 行 ， 有 效 地 警 戒 了來 自 德 國 的 轟 炸 機(jī) 。 1938年 ， 美 國 研 制 成 第 一 部 能 指 揮 火 炮射 擊 的 火 炮 控 制 雷 達(dá) 。 1940年 ， 多 腔 磁 控 管 的 發(fā) 明 ， 使 微 波雷 達(dá) 的 研 制 成 為 可 能 。 1944年 ， 能 夠 自 動(dòng) 跟 蹤 飛 機(jī) 的 雷 達(dá) 研制

13、成 功 。 1945年 ， 能 消 除 背 景 干 擾 、 顯 示 運(yùn) 動(dòng) 目 標(biāo) 的 顯 示 技術(shù) 的 發(fā) 明 ， 使 雷 達(dá) 更 加 完 善 。 在 整 個(gè) 第 二 次 世 界 大 戰(zhàn) 期 間 ，雷 達(dá) 成 了 電 磁 場(chǎng) 理 論 最 活 躍 的 部 分 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 12衛(wèi) 星 通 信 技 術(shù) : 1958年 ， 美 國 發(fā) 射 低 軌 道“ 斯 科 爾 ” 衛(wèi) 星 成 功 ， 這 是 第 一 顆用 于 通 信 的 試 驗(yàn) 衛(wèi) 星 。 1964年 ，借 助 定 點(diǎn) 同 步 通 信 衛(wèi) 星 首 次 實(shí)現(xiàn) 了 美 、 歐

14、 、 非 三 大 洲 的 通 信 和 電 視 轉(zhuǎn) 播 。 1965年 ， 第 一 顆 商用 定 點(diǎn) 同 步 衛(wèi) 星 投 入 運(yùn) 行 。 1969年 ， 大 西 洋 、 太 平 洋 和 印 度 洋上 空 均 已 有 定 點(diǎn) 同 步 通 信 衛(wèi) 星 。 衛(wèi) 星 地 球 站 已 遍 布 世 界 各 國 ，這 些 衛(wèi) 星 地 球 站 又 和 本 國 或 本 地 區(qū) 的 通 信 網(wǎng) 接 通 。 衛(wèi) 星 通 信 經(jīng)歷 10年 的 發(fā) 展 ， 終 趨 于 成 熟 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 13衛(wèi) 星 定 位 技 術(shù) : 1957年 衛(wèi) 星 發(fā) 射

15、成 功 后 ， 人 們 試 圖 將 雷 達(dá) 引 入 衛(wèi) 星 ， 實(shí) 現(xiàn)以 衛(wèi) 星 為 基 地 對(duì) 地 球 表 面 及 近 地 空 間 目 標(biāo) 的 定 位 和 導(dǎo) 航 。 1958年 底 ， 美 國 開 始 研 究 實(shí) 施 這 一 計(jì) 劃 ， 于 1964年 研 究 成 功 子 午 儀衛(wèi) 星 導(dǎo) 航 系 統(tǒng) 。 1973年 美 國 提 出 了 由 24顆 衛(wèi) 星 組 成 的 實(shí) 用 系 統(tǒng)新 方 案 ， 即 G PS計(jì) 劃 。 1990年 最 終 的 G PS方 案 是 由 21顆 工 作 衛(wèi)星 和 3顆 在 軌 備 用 衛(wèi) 星 組 成 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電

16、磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 14其 他 應(yīng) 用 ： 陰 極 射 線 示 波 器 ， 噴 墨 打 印 機(jī) ， 礦 物 的 分 選 ， 磁分 離 器 ， 回 旋 加 速 器 ， 磁 流 體 發(fā) 電 機(jī) ， 電 磁 泵 ， 磁 懸 浮列 車 ， 變 壓 器 ， 電 磁 爐 ， 電 磁 式 生 物 芯 片 ， 隱 形 飛 機(jī) ，電 磁 高 速 公 路 等 等 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 15世 界 首 輛 載 人 高 溫 超 導(dǎo) 磁 懸 浮 試 驗(yàn) 車 西 南 交 通 大 學(xué) 應(yīng) 用 超 導(dǎo) 研 究 所 研 制Stable!Stable!磁 場(chǎng) 力

17、 的 應(yīng) 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 16B2 隱 形 轟 炸 機(jī) i rri 反 射 定 律 的 應(yīng) 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 17立 體 電 影 電 磁 波 極 化 特 性 的 應(yīng) 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 18 全 球 定 位 系 統(tǒng) Global Positioning System(GPS)信 息 載 體 的 應(yīng) 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 19五 、

18、 學(xué) 習(xí) 的 目 的 、 方 法 及 其 要 求 掌 握 宏 觀 電 磁 場(chǎng) 的 基 本 屬 性 和 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 掌 握 宏 觀 電 磁 波 的 傳 播 規(guī) 律 了 解 電 磁 波 的 輻 射 原 理 掌 握 靜 態(tài) 場(chǎng) 問 題 的 基 本 求 解 方 法 訓(xùn) 練 分 析 問 題 、 歸 納 問 題 的 科 學(xué) 方 法 培 養(yǎng) 用 數(shù) 學(xué) 方 法 解 決 實(shí) 際 問 題 的 能 力 獨(dú) 立 完 成 作 業(yè) 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 20電 磁 單 位 本 書 采 用 國 際 單 位 制 （ SI ） 。 在 電 磁 學(xué) 中 ， 這 種

19、單 位 制 的 四 個(gè) 基 本 單 位 是 長 度 、 質(zhì) 量 、 時(shí) 間 和 電 流 強(qiáng) 度 。長 度 單 位 為 m（ 米 ） ， 質(zhì) 量 單 位 為 kg（ 千 克 ） ， 時(shí) 間 單位 為 s（ 秒 ） ， 電 流 強(qiáng) 度 單 位 為 A（ 安 培 ） 。 對(duì) 于 正 弦 電 磁 場(chǎng) 使 用 的 時(shí) 間 因 子 為 e j t 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 21 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 22本 章 內(nèi) 容1.1 矢 量 代 數(shù)1.2 三 種 常 用 的 正 交 曲 線 坐

20、標(biāo) 系1.3 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度1.4 矢 量 場(chǎng) 的 通 量 與 散 度1.5 矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 流 與 旋 度1.6 無 旋 場(chǎng) 與 無 散 場(chǎng)1.7 拉 普 拉 斯 運(yùn) 算 與 格 林 定 理 1.8 亥 姆 霍 茲 定 理 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 231. 標(biāo) 量 和 矢 量矢 量 的 大 小 或 模 ： AA 矢 量 的 單 位 矢 量 ：標(biāo) 量 ： 一 個(gè) 只 用 大 小 描 述 的 物 理 量 。 AAeA 矢 量 的 代 數(shù) 表 示 ： AeAeA AA 1.1 矢 量 代 數(shù)矢 量 ： 一 個(gè) 既 有 大 小 又

21、 有 方 向 特 性 的 物 理 量 ， 常 用 黑 體 字 母 或 帶 箭 頭 的 字 母 表 示 。 矢 量 的 幾 何 表 示 ： 一 個(gè) 矢 量 可 用 一 條 有 方 向 的 線 段 來 表 示 注 意 ： 單 位 矢 量 不 一 定 是 常 矢 量 。 A矢 量 的 幾 何 表 示常 矢 量 ： 大 小 和 方 向 均 不 變 的 矢 量 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 24zzyyxx AeAeAeA A AA AA A xyz coscoscos )coscoscos( zyx eeeAA 矢 量 用 坐 標(biāo) 分 量 表 示

22、 coscoscos zyxA eeee zAx AAyAzx y O 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 25（ 1） 矢 量 的 加 減 法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 兩 矢 量 的 加 減 在 幾 何 上 是 以 這 兩 矢 量 為鄰 邊 的 平 行 四 邊 形 的 對(duì) 角 線 ,如 圖 所 示 。矢 量 的 加 減 符 合 交 換 律 和 結(jié) 合 律 2. 矢 量 的 代 數(shù) 運(yùn) 算 矢 量 的 加 法 BA AB 矢 量 的 減 法 BA ABB 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 兩 矢 量 的 加 法 和 減

23、法 ：結(jié) 合 律 ( ) ( )A B C A B C A B B A 交 換 律 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 26（ 2） 標(biāo) 量 乘 矢 量（ 3） 矢 量 的 標(biāo) 積 （ 點(diǎn) 積 ） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBA cos A B B A 矢 量 的 標(biāo) 積 符 合 交 換 律1 zzyyxx eeeeee 0 xzzyyx eeeeee AB 矢 量 與 的 夾 角A B A B A B 0 BA / A B AB 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工

24、大學(xué) 27（ 4） 矢 量 的 矢 積 （ 叉 積 ）sinABeBA n )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA eeeBA ABBA sinAB BA B A矢 量 與 的 叉 積A B用 坐 標(biāo) 分 量 表 示 為寫 成 行 列 式 形 式 為BA ABBA 若 ， 則BA / 0BA 若 ， 則 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 28（ 5） 矢 量 的 混 合 運(yùn) 算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()( BACACBCBA CBABC

25、ACBA )()()( 分 配 律 分 配 律 標(biāo) 量 三 重 積 矢 量 三 重 積 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 29 三 維 空 間 任 意 一 點(diǎn) 的 位 置 可 通 過 三 條 相 互 正 交 曲 線 的 交 點(diǎn) 來確 定 。 1.2 三 種 常 用 的 正 交 曲 線 坐 標(biāo) 系 在 電 磁 場(chǎng) 與 波 理 論 中 ， 三 種 常 用 的 正 交 曲 線 坐 標(biāo) 系 為 ： 直 角 坐標(biāo) 系 、 圓 柱 坐 標(biāo) 系 和 球 坐 標(biāo) 系 。 三 條 正 交 曲 線 組 成 的 確 定 三 維 空 間 任 意 點(diǎn) 位 置 的 體 系

26、， 稱 為正 交 曲 線 坐 標(biāo) 系 ； 三 條 正 交 曲 線 稱 為 坐 標(biāo) 軸 ； 描 述 坐 標(biāo) 軸 的 量 稱為 坐 標(biāo) 變 量 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 301. 直 角 坐 標(biāo) 系 zeyexer zyx 位 置 矢 量面 元 矢 量線 元 矢 量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd yxelleS zyxzz ddddd 體 積 元 zyxV dddd zxelleS yzxyy ddddd 坐 標(biāo) 變 量 zyx ,坐 標(biāo) 單 位 矢 量 zyx eee , 點(diǎn) P(x0,y0,

27、z0)0yy （ 平 面 ） o x y z0 xx （ 平 面 ）0zz （ 平 面 ）P 直 角 坐 標(biāo) 系 xe ze yex yz直 角 坐 標(biāo) 系 的 長 度 元 、 面 積 元 、 體 積 元 odz d y dxzyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 312. 圓 柱 坐 標(biāo) 系 ddddd ddddd ddddd zzz zz elleS zelleS zelleS z,坐 標(biāo) 變 量 zeee , 坐 標(biāo) 單 位 矢 量 zeer z 位 置 矢 量 zeeel

28、zdddd 線 元 矢 量 zV dddd 體 積 元面 元 矢 量 圓 柱 坐 標(biāo) 系 中 的 線 元 、 面 元 和 體 積 元圓 柱 坐 標(biāo) 系0 （ 半 平 面 ）0 （ 圓 柱 面 ） 0 zz （ 平 面 ） ),( 000 zP 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 32 ddsinddd 2relleS rrr ddsinddd rrelleS zr ddddd rrelleS r 3. 球 坐 標(biāo) 系 ,r坐 標(biāo) 變 量 eeer ,坐 標(biāo) 單 位 矢 量 rer r 位 置 矢 量 dsinddd rererel r 線 元 矢

29、量 dddsind 2 rrV 體 積 元面 元 矢 量 球 坐 標(biāo) 系 中 的 線 元 、 面 元 和 體 積 元球 坐 標(biāo) 系0 （ 半 平 面 ） 0 （ 圓 錐 面 ）0rr （ 球 面 ） ),( 000 rP 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 334. 坐 標(biāo) 單 位 矢 量 之 間 的 關(guān) 系 xe ye zeeeze cos sin 0cossin 00 0 1直 角 坐 標(biāo) 與圓 柱 坐 標(biāo) 系 e e zereee sin 0 cossincos 00 01圓 柱 坐 標(biāo) 與球 坐 標(biāo) 系直 角 坐 標(biāo) 與球 坐 標(biāo) 系 ze

30、ree e cossin cossinsincos 0 xe ye sinsin sincos cossin o xy 單 位 圓 直 角 坐 標(biāo) 系 與 柱 坐 標(biāo) 系 之 間坐 標(biāo) 單 位 矢 量 的 關(guān) 系 xeye eeo z 單 位 圓 柱 坐 標(biāo) 系 與 求 坐 標(biāo) 系 之 間坐 標(biāo) 單 位 矢 量 的 關(guān) 系z(mì)e eree 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 341.3 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度q 如 果 物 理 量 是 標(biāo) 量 ， 稱 該 場(chǎng) 為 標(biāo) 量 場(chǎng) 。 例 如 ： 溫 度 場(chǎng) 、 電 位 場(chǎng) 、 高 度 場(chǎng) 等 。q 如 果

31、 物 理 量 是 矢 量 ， 稱 該 場(chǎng) 為 矢 量 場(chǎng) 。 例 如 ： 流 速 場(chǎng) 、 重 力 場(chǎng) 、 電 場(chǎng) 、 磁 場(chǎng) 等 。q 如 果 場(chǎng) 與 時(shí) 間 無 關(guān) ， 稱 為 靜 態(tài) 場(chǎng) ， 反 之 為 時(shí) 變 場(chǎng) 。 時(shí) 變 標(biāo) 量 場(chǎng) 和 矢 量 場(chǎng) 可 分 別 表 示 為 ： 、),( tzyxu ),( tzyxF 確 定 空 間 區(qū) 域 上 的 每 一 點(diǎn) 都 有 確 定 物 理 量 與 之 對(duì) 應(yīng) ， 稱 在該 區(qū) 域 上 定 義 了 一 個(gè) 場(chǎng) 。從 數(shù) 學(xué) 上 看 ， 場(chǎng) 是 定 義 在 空 間 區(qū) 域 上 的 函 數(shù) ：標(biāo) 量 場(chǎng) 和 矢 量 場(chǎng) 、),( zyxu ),

32、( zyxF靜 態(tài) 標(biāo) 量 場(chǎng) 和 矢 量 場(chǎng) 可 分 別 表 示 為 ： 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 351. 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 等 值 面等 值 面 : 標(biāo) 量 場(chǎng) 取 得 同 一 數(shù) 值 的 點(diǎn) 在 空 間 形 成 的 曲 面 。 Czyxu ),(等 值 面 方 程 ： 常 數(shù) C 取 一 系 列 不 同 的 值 ， 就 得 到 一 系 列不 同 的 等 值 面 ， 形 成 等 值 面 族 ； 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 等 值 面 充 滿 場(chǎng) 所 在 的 整 個(gè) 空 間 ； 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 等 值 面 互 不 相 交 。 等 值 面 的 特 點(diǎn)

33、 ：意 義 : 形 象 直 觀 地 描 述 了 物 理 量 在 空 間 的 分 布 狀 態(tài) 。 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 等 值 線 (面 ) 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 362. 方 向 導(dǎo) 數(shù)意 義 ： 方 向 導(dǎo) 數(shù) 表 示 場(chǎng) 沿 某 方 向 的 空 間 變 化 率 。0 0 cos cos cos| limM lu u u u ul l x y z 概 念 ： l0ul u(M)沿 方 向 增 加 ； l0ul u(M)沿 方 向 減 小 ； l0ul u(M)沿 方 向 無 變 化 。 M0 lMl方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 l特 點(diǎn) ：

34、 方 向 導(dǎo) 數(shù) 既 與 點(diǎn) M0有 關(guān) ， 也 與 方 向 有 關(guān) 。問 題 ： 在 什 么 方 向 上 變 化 率 最 大 、 其 最 大 的 變 化 率 為 多 少 ？ 的 方 向 余 弦 。 l式 中 ： coscoscos 、 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 37 例 1-1 求 數(shù) 量 場(chǎng) =(x+y)2-z通 過 點(diǎn) M(1, 0, 1)的 等 值 面 方 程 。 解 ： 點(diǎn) M的 坐 標(biāo) 是 x0=1, y0=0, z0=1， 則 該 點(diǎn) 的 數(shù) 量 場(chǎng) 值 為=(x0+y0)2-z0=0。 其 等 值 面 方 程 為 22 )

35、( 0)( yxz zyx 或 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 38 例 1-2 求 數(shù) 量 場(chǎng) 在 點(diǎn) M(1, 1, 2)處 沿 l=ex+2ey+2ez方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 。 解 ： l方 向 的 方 向 余 弦 為 z yxu 22 32221 2cos 32221 2cos 31221 1cos 222 222 222 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 39而 2 22 )(,2,2 z yxzuzyyuzxxu 數(shù) 量 場(chǎng) 在 l方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 2 223223

36、2231 coscoscos z yxzyzx zuyuxulu 在 點(diǎn) M處 沿 l方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 324232132131 Ml 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 40梯 度 的 表 達(dá) 式 ： zueueueu z 1圓 柱 坐 標(biāo) 系 ureurerueu r sin11 球 坐 標(biāo) 系 zueyuexueu zyx 直 角 坐 標(biāo) 系 3. 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 （ 或 ）gradu u意 義 ： 描 述 標(biāo) 量 場(chǎng) 在 某 點(diǎn) 的 最 大 變 化 率 及 其 變 化 最 大 的 方 向概 念 ： ， 其 中 取 得 最

37、大 值 的 方 向max|l uu e l l ue l 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 41 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 是 矢 量 場(chǎng) ， 它 在 空 間 某點(diǎn) 的 方 向 表 示 該 點(diǎn) 場(chǎng) 變 化 最 大 （ 增 大 ）的 方 向 ， 其 數(shù) 值 表 示 變 化 最 大 方 向 上場(chǎng) 的 空 間 變 化 率 。 標(biāo) 量 場(chǎng) 在 某 個(gè) 方 向 上 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) ， 是梯 度 在 該 方 向 上 的 投 影 。梯 度 的 性 質(zhì) ：梯 度 運(yùn) 算 的 基 本 公 式 ： uufuf uvvuuv vuvu uCCuC )()( )( )

38、( )( 0 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 垂 直 于 通 過 該 點(diǎn) 的 等 值 面 （ 或 切 平 面 ） 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 42 解 (1)由 梯 度 計(jì) 算 公 式 ， 可 求 得 P點(diǎn) 的 梯 度 為 PzyxP zyxzeyexe )( 22 zyxzyx eeeeyexe 22)22( )1,1,1( 例 1.2.1 設(shè) 一 標(biāo) 量 函 數(shù) ( x, y, z ) = x2 y2 z 描 述 了 空 間 標(biāo) 量場(chǎng) 。 試 求 ： (1) 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) P(1,1,1) 處 的 梯 度 ， 以 及 表 示 該 梯 度

39、方 向的 單 位 矢 量 。 (2) 求 該 函 數(shù) 沿 單 位 矢 量方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) ， 并 以 點(diǎn) P(1,1,1) 處 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 值 與 該 點(diǎn) 的 梯 度值 作 以 比 較 ， 得 出 相 應(yīng) 結(jié) 論 。 ooo 60cos45cos60cos zyxl eeee 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 43表 征 其 方 向 的 單 位 矢 量 2 2 2 (1,1,1)2 2 2 2 13 3 3(2 ) (2 ) ( 1)x y zl x y zP P e x e y ee e e ex y (2) 由 方 向 導(dǎo)

40、數(shù) 與 梯 度 之 間 的 關(guān) 系 式 可 知 ， 沿 el 方 向 的 方 向?qū)?數(shù) 為對(duì) 于 給 定 的 P 點(diǎn) ， 上 述 方 向 導(dǎo) 數(shù) 在 該 點(diǎn) 取 值 為 (1,1,1) 1 2 212 2 2P x yl )2 12221()22( zyxzyxl eeeeyexeel 212 yx 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 44而 該 點(diǎn) 的 梯 度 值 為 2 2 2 (1,1,1)(2 ) (2 ) ( 1) 3P x y 顯 然 ， 梯 度 描 述 了 P點(diǎn) 處 標(biāo) 量 函 數(shù) 的 最 大 變 化 率 ，即 最 大 的 方 向 導(dǎo)

41、 數(shù) ， 故 恒 成 立 。P PPl 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 451.4 矢 量 場(chǎng) 的 通 量 與 散 度 1. 矢 量 線 意 義 ： 形 象 直 觀 地 描 述 了 矢 量 場(chǎng) 的 空 間 分 布 狀 態(tài) 。 ),(d),(d),(d zyxF zzyxF yzyxF x zyx 矢 量 線 方 程 ：概 念 ： 矢 量 線 是 這 樣 的 曲 線 ， 其 上 每 一 點(diǎn) 的 切 線 方 向 代 表 了 該 點(diǎn) 矢 量 場(chǎng) 的 方 向 。 矢 量 線OM Fdr r r dr 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析

42、電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 46例 1-6 求 矢 量 場(chǎng) A=xy2ex+x2yey+zy2ez的 矢 量 線 方 程 。解 ： 矢 量 線 應(yīng) 滿 足 的 微 分 方 程 為 zydzyxdyxydx 222 zydzxydx yxdyxydx 22 22 222 1 cyx xcz從 而 有 解 之 即 得 矢 量 方 程 c1和 c2是 積 分 常 數(shù) 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 472. 矢 量 場(chǎng) 的 通 量 問 題 ： 如 何 定 量 描 述 矢 量 場(chǎng) 的 大 小 ？ 引 入 通 量 的 概 念 。 nd d dS S

43、F S F e S 通 量 的 概 念 nd dS e S 其 中 ： 面 積 元 矢 量 ；ne 面 積 元 的 法 向 單 位 矢 量 ；dSnd dF e S 穿 過 面 積 元 的 通 量 。 如 果 曲 面 S 是 閉 合 的 ， 則 規(guī) 定 曲 面 的 法 向 矢 量 由 閉 合 曲 面內(nèi) 指 向 外 ， 矢 量 場(chǎng) 對(duì) 閉 合 曲 面 的 通 量 是 ),( zyxF Sdne面 積 元 矢 量 SS SeFSF dd n 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 480通 過 閉 合 曲 面 有 凈 的 矢 量 線 穿 出 0有 凈 的

44、矢量 線 進(jìn) 入 0進(jìn) 入 與 穿 出 閉 合 曲面 的 矢 量 線 相 等矢 量 場(chǎng) 通 過 閉 合 曲 面 通 量 的 三 種 可 能 結(jié) 果 閉 合 曲 面 的 通 量 從 宏 觀 上 建 立 了 矢 量 場(chǎng) 通 過 閉 合 曲 面 的 通量 與 曲 面 內(nèi) 產(chǎn) 生 矢 量 場(chǎng) 的 源 的 關(guān) 系 。通 量 的 物 理 意 義 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 493. 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 為 了 定 量 研 究 場(chǎng) 與 源 之 間 的 關(guān) 系 ， 需 建 立 場(chǎng) 空 間 任 意 點(diǎn) （ 小體 積 元 ） 的 通 量 源 與 矢 量 場(chǎng)

45、 （ 小 體 積 元 曲 面 的 通 量 ） 的 關(guān) 系 。 利用 極 限 方 法 得 到 這 一 關(guān) 系 ：稱 為 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 。 散 度 是 矢 量 通 過 包 含 該 點(diǎn) 的 任 意 閉 合 小 曲 面 的 通 量 與 曲 面 元體 積 之 比 的 極 限 。 F V SzyxFzyxF SV d),(lim),( 0 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 50圓 柱 坐 標(biāo) 系 )(sin1)(sinsin1)(1 22 FrFrFrrrF r zFFFF z )(球 坐 標(biāo) 系 zFyFxFF zyx 直 角 坐 標(biāo) 系散 度

46、的 表 達(dá) 式 ：散 度 的 有 關(guān) 公 式 ： GFGF fFFfFf kFkFk fCfC CCC )( )( 為常量)()( )( )為常矢量(0 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 51直 角 坐 標(biāo) 系 下 散 度 表 達(dá) 式 的 推 導(dǎo) 0 0 00 0 0 0 0 0 , ,( , , ) , ,2 2 xx x x y zFx xF x y z F x y z x 0 0 00 0 0 0 0 0 , ,( , , ) , ,2 2 xx x x y zFx xF x y z F x y z x 0 0 0 0 0 0 ( , ,

47、) ( , , )2 2 xx x Fx xF x y z F x y z y z x y zx 由 此 可 知 ， 穿 出 前 、 后 兩 側(cè) 面 的 凈通 量 值 為 不 失 一 般 性 ， 令 包 圍 P點(diǎn) 的 微 體 積 V 為 一 直 平 行 六 面 體 ， 如圖 所 示 。 則 ox y在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 計(jì) 算z zxy P F 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 52根 據(jù) 定 義 ， 則 得 到 直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 散 度 表 達(dá) 式 為 同 理 ， 分 析 穿 出 另 兩 組 側(cè) 面 的 凈 通 量 ， 并 合

48、成 之 ， 即 得 由 點(diǎn)P 穿 出 該 六 面 體 的 凈 通 量 為 zFyFxFV SFF zyxSV dlim0 zyxzFzyxyFzyxxFSF zyxS d 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 534. 散 度 定 理 VS VFSF dd 體 積 的 剖 分 V S1 S2en2 en1S 從 散 度 的 定 義 出 發(fā) ， 可以 得 到 矢 量 場(chǎng) 在 空 間 任 意 閉合 曲 面 的 通 量 等 于 該 閉 合 曲面 所 包 含 體 積 中 矢 量 場(chǎng) 的 散度 的 體 積 分 ， 即 散 度 定 理 是 閉 合 曲 面 積 分

49、 與 體 積 分 之 間 的 一 個(gè) 變 換 關(guān) 系 ，在 電 磁 理 論 中 有 著 廣 泛 的 應(yīng) 用 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 54 例 1-3已 知 矢 量 場(chǎng) r=xex+yey+zez， 求 由 內(nèi) 向 外 穿 過 圓 錐 面x2+y2=z2與 平 面 z=H所 圍 封 閉 曲 面 的 通 量 。 解 ： 21 SSS SdrSdrSdr 22 0cosSS rdSSdr 321 1 1111 HHHdxdyHHdxdy zdxdyydxdzxdydzSdrS S SSSS 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分

50、 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 55 例 1-4 球 面 S上 任 意 點(diǎn) 的 位 置 矢 量 為 r=xex+yey+zez， 求 dVrSdr VS S Sdr 解 ： 根 據(jù) 散 度 定 理 知 而 r的 散 度 為 3 zzyyxxr所 以 33 43433 RRVddVrSdr VVS 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 561.5 矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 流 與 旋 度 1. 矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 流 與 旋 渦 源 例 如 ： 流 速 場(chǎng) 。 不 是 所 有 的 矢 量 場(chǎng) 都 由 通 量 源 激 發(fā) 。 存 在 另 一 類 不 同 于

51、通量 源 的 矢 量 源 ， 它 所 激 發(fā) 的 矢 量 場(chǎng) 的 力 線 是 閉 合 的 ， 它 對(duì) 于 任何 閉 合 曲 面 的 通 量 為 零 。 但 在 場(chǎng) 所 定 義 的 空 間 中 閉 合 路 徑 的 積分 不 為 零 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 57 如 磁 場(chǎng) 沿 任 意 閉 合 曲 線 的 積 分 與 通 過 閉 合 曲 線 所 圍 曲 面 的 電流 成 正 比 ， 即 SC SzyxJIlzyxB d),(d),( 00 上 式 建 立 了 磁 場(chǎng) 的 環(huán) 流 與 電 流 的 關(guān) 系 。 磁 感 應(yīng) 線 要么 穿 過

52、曲 面磁 感 應(yīng) 線 要 么 同 時(shí)穿 入 和 穿 出 曲 面磁 感 應(yīng) 線 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 58q如 果 矢 量 場(chǎng) 的 任 意 閉 合 回 路 的 環(huán) 流 恒 為 零 ， 稱 該 矢 量 場(chǎng) 為 無旋 場(chǎng) ， 又 稱 為 保 守 場(chǎng) 。 C lzyxF d),(環(huán) 流 的 概 念 矢 量 場(chǎng) 對(duì) 于 閉 合 曲 線 C 的 環(huán) 流 定 義 為 該 矢 量 對(duì) 閉 合 曲 線 C 的 線 積 分 ， 即q如 果 矢 量 場(chǎng) 對(duì) 于 任 何 閉 合 曲 線 的 環(huán) 流 不 為 零 ， 稱 該 矢 量 場(chǎng) 為有 旋 矢 量 場(chǎng) ，

53、 能 夠 激 發(fā) 有 旋 矢 量 場(chǎng) 的 源 稱 為 旋 渦 源 。 電 流 是磁 場(chǎng) 的 旋 渦 源 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 59 矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 流 給 出 了 矢 量 場(chǎng) 與 積 分 回 路 所 圍 曲 面 內(nèi) 旋 渦 源宏 觀 聯(lián) 系 。 為 了 給 出 空 間 任 意 點(diǎn) 矢 量 場(chǎng) 與 旋 渦 源 的 關(guān) 系 ， 引 入矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 。 S CMFn 2. 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 （ ） F （ 1） 環(huán) 流 面 密 度 CS lFSF d1limrot 0n稱 為 矢 量 場(chǎng) 在 點(diǎn) M 處 沿 方 向

54、的 環(huán) 流 面 密 度 。n特 點(diǎn) ： 其 值 與 點(diǎn) M 處 的 方 向 有 關(guān) 。n 過 點(diǎn) M 作 一 微 小 曲 面 S ， 它 的 邊 界 曲 線 記 為 C， 曲 面 的 法線 方 向 與 曲 線 的 繞 向 成 右 手 螺 旋 法 則 。 當(dāng) S0 時(shí) ， 極 限n 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 60而 推 導(dǎo) 的 示 意 圖 如 圖 所 示 。rotxF o yz y CMzx 1 234計(jì) 算 的 示 意 圖 rotx F 直 角 坐 標(biāo) 系 中 、 、 的 表 達(dá) 式rotxF roty F rotz F 41321 dd

55、ddd llllC lFlFlFlFlF )()( 4321 zFyFzFyF zyzy 2)(2 yyFMFF Mzzz 2)(3 zzFMFF Myyy 2)(1 zzFMFF Myyy 2)(4 yyFMFF Mzzz 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 61于 是 同 理 可 得故 得概 念 ： 矢 量 場(chǎng) 在 M 點(diǎn) 處 的 旋 度 為 一 矢 量 ， 其 數(shù) 值 為 M 點(diǎn) 的 環(huán)流 面 密 度 最 大 值 ， 其 方 向 為 取 得 環(huán) 量 密 度 最 大 值 時(shí) 面 積 元 的 法 線 方 向 ， 即 物 理 意 義 ： 旋 渦 源

56、 密 度 矢 量 。性 質(zhì) ：（ 2） 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 zyzFyFlF yzC )(d zFyFS lFF yzCSx dlimrot 0 maxnn rot FeF FeF nnrot xFzFF zxy rot yFxFF xyz rot 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 62 yFxFexFzFezFyFeF xyzzxyyzx 旋 度 的 計(jì) 算 公 式 : zzFFF zeeeF 1 FrrFFr erererF rr sinsinsin12 直 角 坐 標(biāo) 系 圓 柱 坐 標(biāo) 系 球 坐 標(biāo) 系z(mì)yx zyx FFF zyx

57、 eee 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 63旋 度 的 有 關(guān) 公 式 ：矢 量 場(chǎng) 的 旋 度的 散 度 恒 為 零 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度的 旋 度 恒 為 零 FfFfFf )( CfCf )( 0 C GFGF )( GFFGGF )( 0)( F 0)( u 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 64 SC SFlF dd3. 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 是 閉 合 曲 線積 分 與 曲 面 積 分 之 間 的 一 個(gè) 變換 關(guān) 系 式 ， 也 在 電 磁 理 論 中

58、有廣 泛 的 應(yīng) 用 。 曲 面 的 剖 分方 向 相 反 大 小相 等 結(jié) 果 抵 消 從 旋 度 的 定 義 出 發(fā) ， 可 以 得 到 矢 量 場(chǎng) 沿 任 意 閉 合 曲 線 的 環(huán)流 等 于 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 在 該 閉 合 曲 線 所 圍 的 曲 面 的 通 量 ， 即 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 65 例 1-5 求 矢 量 (c是 常 數(shù) )沿 曲 線 (x-2)2+y2=R2, z=0的 環(huán) 量 例 1-5 圖 zyx ecexe-yA 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué)

59、66解 ： 由 于 在 曲 線 l上 z=0， 所 以 dz=0。 2 220 22220 202220 20202 )cos2( cos2)cos(sin cos)cos2(sin )sin()cos2()cos2(sin )(R dRR dRR dRRdR RdRRdR xdyydxldAl 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 67 例 1-6 求 矢 量 場(chǎng) A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在 點(diǎn) M(1， 0， 1)處 的 旋 度 以 及 沿 n=2ex+6ey+3ez方 向 的 環(huán) 量 面 密 度 。 解 ： 矢

60、 量 場(chǎng) A的 旋 度 zyx zyx exyezxeyz xyzzxyyzx zyx eeeAArot )()()( )()()( 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 68在 點(diǎn) M(1， 0， 1)處 的 旋 度 zyxM eeeA 2n方 向 的 單 位 矢 量 zyxzyx eeeeeen 737672)362(362 1 222 在 點(diǎn) M(1， 0， 1)處 沿 n方 向 的 環(huán) 量 面 密 度 7177327672 nA M 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 694. 散 度 和 旋 度

61、 的 區(qū) 別 0, 0F F 0. 0F F 0, 0F F 0, 0F F 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 701. 矢 量 場(chǎng) 的 源散 度 源 ： 是 標(biāo) 量 ， 產(chǎn) 生 的 矢 量 場(chǎng) 在 包 圍 源 的 封 閉 面 上 的 通 量 等 于 （ 或 正 比 于 ） 該 封 閉 面 內(nèi) 所 包 圍 的 源 的 總 和 ， 源 在 一 給 定 點(diǎn) 的 （ 體 ） 密 度 等 于 （ 或 正 比 于 ） 矢 量 場(chǎng) 在 該 點(diǎn) 的 散 度 ； 旋 度 源 ： 是 矢 量 ， 產(chǎn) 生 的 矢 量 場(chǎng) 具 有 渦 旋 性 質(zhì) ， 穿 過 一 曲

62、面 的 旋 度 源 等 于 （ 或 正 比 于 ） 沿 此 曲 面 邊 界 的 閉 合 回 路 的 環(huán) 量 ， 在 給 定 點(diǎn) 上 ， 這 種 源 的 （ 面 ） 密 度 等 于 （ 或 正 比 于 ） 矢 量 場(chǎng) 在 該 點(diǎn) 的 旋 度 。1.6 無 旋 場(chǎng) 與 無 散 場(chǎng) 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 712. 矢 量 場(chǎng) 按 源 的 分 類（ 1） 無 旋 場(chǎng) 0d C lF 性 質(zhì) ： ， 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ， 是 保 守 場(chǎng) 。僅 有 散 度 源 而 無 旋 度 源 的 矢 量 場(chǎng) ， 0 F無 旋 場(chǎng) 可 以 用 標(biāo)

63、 量 場(chǎng) 的 梯 度 表 示 為例 如 ： 靜 電 場(chǎng) 0E EuF ( ) 0F u 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 72（ 2） 無 散 場(chǎng) 僅 有 旋 度 源 而 無 散 度 源 的 矢 量 場(chǎng) ， 即性 質(zhì) ： 0d S SF 0 F無 散 場(chǎng) 可 以 表 示 為 另 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度例 如 ， 恒 定 磁 場(chǎng) AB 0B AF 0)( AF 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 73（ 3） 無 旋 、 無 散 場(chǎng) （ 源 在 所 討 論 的 區(qū) 域 之 外 ）0F （ 4）

64、有 散 、 有 旋 場(chǎng)這 樣 的 場(chǎng) 可 分 解 為 兩 部 分 ： 無 旋 場(chǎng) 部 分 和 無 散 場(chǎng) 部 分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l CF r F r F r u r A r 無 旋 場(chǎng) 部 分 無 散 場(chǎng) 部 分( ) 0u F u 02 u0F 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 741.7 拉 普 拉 斯 運(yùn) 算 與 格 林 定 理 1. 拉 普 拉 斯 運(yùn) 算 標(biāo) 量 拉 普 拉 斯 運(yùn) 算 2u概 念 ： 2 拉 普 拉 斯 算 符 2 2 22 2 2 2u u uu x y z 直 角 坐 標(biāo) 系計(jì) 算 公 式

65、： 2 22 2 2 21 1( )u u uu z 22 22 2 2 2 21 1 1( ) (sin )sin sinu u uu rr r r r r 圓 柱 坐 標(biāo) 系球 坐 標(biāo) 系 uu 2)( 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 75 矢 量 拉 普 拉 斯 運(yùn) 算 2F 概 念 ： 2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F 即 2 2( )i iF F 注 意 ： 對(duì) 于 非 直 角 分 量 ， 2 2( )i iF F 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ：如 ： 2 2( )F F ( , , )i x y z)()(

66、2 FFF 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 762. 格 林 定 理 設(shè) 任 意 兩 個(gè) 標(biāo) 量 場(chǎng) 及 ， 若 在 區(qū) 域 V 中 具 有 連 續(xù) 的 二 階 偏導(dǎo) 數(shù) ， 那 么 ， 可 以 證 明 該 兩 個(gè) 標(biāo) 量 場(chǎng) 及 滿 足 下 列 等 式 ： SV SnV 2 dd)( 根 據(jù) 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 的 關(guān) 系 ， 上 式 又 可 寫 成 以 上 兩 式 稱 為 標(biāo) 量 第 一 格 林 定 理 。S V, ne SV SV 2 d)(d)( 式 中 S 為 包 圍 V 的 閉 合 曲 面 ， 為 標(biāo)量 場(chǎng) 在 S 表 面 的 外 法 線 方 向 上的 偏 導(dǎo) 數(shù) 。 nne 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析電磁場(chǎng)與電磁波 長春理工大學(xué) 77基 于 上 式 還 可 獲 得 下 列 兩 式 ：上 兩 式 稱 為 標(biāo) 量 第 二 格 林 定 理 。 格 林 定 理 說 明 了 區(qū) 域 V 中 的 場(chǎng) 與 邊 界 S 上 的 場(chǎng) 之 間 的 關(guān) 系 。因 此 ， 利 用 格 林 定 理 可 以 將 區(qū)