高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題七 概率統(tǒng)計(jì) 17_1 計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理課件 理 新人教版

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1、第一講計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理 【 知 識 回 顧 】1.排 列(1)定 義 ： 從 n個 不 同 元 素 中 取 出 m(m n)個 元 素 ， 按 照一 定 的 順 序 排 成 一 列 ， 叫 做 從 n個 不 同 元 素 中 取 出 m個元 素 的 一 個 排 列 . (2)排 列 數(shù) 公 式 ： =n(n-1) (n-m+1)=_. n!n m !mnA 2.組 合(1)定 義 ： 從 n個 不 同 元 素 中 取 出 m(m n)個 元 素 _， 叫 做 從 n個 不 同 元 素 中 取 出 m個 元 素 的 一 個 組 合 .(2)組 合 數(shù) 公 式 ： =_=_.由 于 0！ =1，

2、 所 以 =1.mm nn mmAC =A n!m! n m ! 合 成一 組 n n 1 n m 1m m 1 1 0nC (3)組 合 數(shù) 的 性 質(zhì)m _n nm _ _n 1 n nC CC C C ， n mm m 1 3.二 項(xiàng) 式 定 理(1)定 義 ：這 個 公 式 所 表 示 的 定 理 叫 做 二 項(xiàng) 式 定 理 .第 k+1項(xiàng) 為 Tk+1=_. n 0 n 1 n 1 1 n nn n na b C a C a b _ C b (n N*). k n k knC a bk n k knC a b (2)二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 有 關(guān) 性 質(zhì) ： 二 項(xiàng) 展 開 式 中

3、， 偶 數(shù) 項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 和 等 于 奇 數(shù)項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 和 ， 即=_； 1 3 5 0 2 4n n n n n nC C C C C C 2n-1 若 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn，則 f(x)展 開 式 中 的 各 項(xiàng) 系 數(shù) 和 為 f(1)，奇 數(shù) 項(xiàng) 系 數(shù) 和 為 a0+a2+a4+ = ，偶 數(shù) 項(xiàng) 系 數(shù) 之 和 為 a1+a3+a5+ =_.f(1) f( 1)2 f(1) f( 1)2 【 易 錯 提 醒 】1.忽 視 順 序 ： 解 決 排 列 組 合 問 題 時 ， 易 忽 視 問 題 與 順序 是 否 有 關(guān)

4、這 一 條 件 .2.混 淆 兩 個 系 數(shù) ： 二 項(xiàng) 展 開 式 中 某 一 項(xiàng) 的 系 數(shù) 與 某 一項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 易 混 . 3.忽 視 k的 取 值 范 圍 ： 在 利 用 Tk+1= 求 特 定 項(xiàng)時 ， k 0， 1， ， n易 漏 k=0的 情 況 .k n k knC a b 【 考 題 回 訪 】1.(2016 全 國 卷 )如 圖 ，小 明 從 街 道 的 E處 出 發(fā) ， 先到 F處 與 小 紅 會 合 ， 再 一 起 到 位 于 G處 的 老 年 公 寓 參 加志 愿 者 活 動 ， 則 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 選 擇 的 最 短 路 徑條

5、數(shù) 為 ( )A.24 B.18 C.12 D.9 【 解 析 】 選 B.E F有 6種 走 法 ， F G有 3種 走 法 ， 由 分步 乘 法 計(jì) 數(shù) 原 理 知 ， 共 6 3=18種 走 法 . 2.(2016 全 國 卷 )定 義 “ 規(guī) 范 01數(shù) 列 ” an如 下 ：an共 有 2m項(xiàng) ， 其 中 m項(xiàng) 為 0， m項(xiàng) 為 1， 且 對 任 意 k 2m，a1， a2， ， ak中 0的 個 數(shù) 不 少 于 1的 個 數(shù) .若 m=4， 則 不同 的 “ 規(guī) 范 01數(shù) 列 ” 共 有 ( )A.18個 B.16個 C.14個 D.12個 【 解 析 】 選 C.由 題 意

6、得 必 有 a1=0， a2m=1具 體 情 況 如 下 ：00001111， 00010111， 00011011， 00011101，00100111， 00101011， 00101101， 00110011，00110101， 01000111， 01001011， 01001101，01010011， 01010101； 共 14個 . 3.(2015 全 國 卷 )(x2+x+y)5的 展 開 式 中 ， x5y2的 系數(shù) 為 ( )A.10 B.20 C.30 D.60【 解 析 】 選 C.在 (x2+x+y)5的 5個 因 式 中 ， 2個 取 因 式 中x2， 剩 余 的

7、3個 因 式 中 1個 取 x， 其 余 因 式 取 y， 故 x5y2的 系 數(shù) 為 =30.2 1 25 3 2C C C 4.(2016 全 國 卷 )(2x+ )5的 展 開 式 中 ， x3的系 數(shù) 是 _.(用 數(shù) 字 填 寫 答 案 )x 【 解 析 】 設(shè) 展 開 式 的 第 k+1項(xiàng) 為 Tk+1， k 0， 1， 2， 3，4， 5，所 以 當(dāng) 5- =3時 ， k=4， 即 答 案 ： 10 kk 55 kk k 5 k 2k 1 5 5T C 2x x C 2 x . k2 454 5 4 325 5T C 2 x 10 x . 熱 點(diǎn) 考 向 一 排 列 、 組 合

8、的 應(yīng) 用命 題 解 讀 ： 主 要 考 查 兩 個 計(jì) 數(shù) 原 理 、 排 列 、 組 合 的 簡單 綜 合 運(yùn) 用 ， 有 時 與 概 率 相 結(jié) 合 ， 以 選 擇 題 、 填 空 題為 主 . 【 典 例 1】 (1)(2016 四 川 高 考 )用 數(shù) 字 1， 2， 3， 4， 5組 成 沒 有 重 復(fù) 數(shù) 字 的 五 位 數(shù) ， 其 中 奇 數(shù) 的 個 數(shù) 為 ( )A.24 B.48 C.60 D.72 (2)(2016 安 慶 一 模 )從 正 方 體 六 個 面 的 對 角 線 中 任 取兩 條 作 為 一 對 ， 其 中 所 成 的 角 為 60 的 共 有 ( )A.2

9、4對 B.30對 C.48對 D.60對 (3)(2016 洛 陽 一 模 )要 從 3名 骨 科 和 5名 內(nèi) 科 醫(yī) 生 中 選派 3人 組 成 一 個 抗 震 救 災(zāi) 醫(yī) 療 小 組 ， 則 骨 科 和 內(nèi) 科 醫(yī) 生都 至 少 有 1人 的 選 派 方 法 種 數(shù) 是 _(用 數(shù) 字 作答 ). 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1)根 據(jù) 排 列 組 合 公 式 及 分 步 乘 法 計(jì) 數(shù) 原理 求 解 .(2)找 出 與 一 個 面 上 的 兩 條 對 角 線 成 60 的 角 的 直 線 對數(shù) ， 再 乘 以 6進(jìn) 行 分 析 即 可 求 解 ， 或 用 間 接 法 求 解 .(3)可

10、考 慮 用 間 接 法 求 解 ， 即 從 總 體 中 減 去 “ 全 是 骨 科 ”和 “ 全 是 內(nèi) 科 醫(yī) 生 ” 的 情 況 ， 即 可 得 出 答 案 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)選 D.由 題 意 ， 要 組 成 沒 有 重 復(fù) 數(shù) 字的 五 位 奇 數(shù) ， 則 個 位 數(shù) 應(yīng) 該 為 1， 3， 5， 其 他 位 置 共有 種 ， 所 以 其 中 奇 數(shù) 的 個 數(shù) 為 3 =72.44A 44A (2)選 C.方 法 一 ： 直 接 法 ： 如 圖 ， 在 上 底 面 中 選 B1D1，四 個 側(cè) 面 中 的 對 角 線 都 與 它 成 60 ， 共 8對 ， 同 樣 A

11、1C1對 應(yīng) 的 也 有 8對 ， 因 此 一 個 面 上 的 2條 面 對 角 線 與 其 相鄰 的 4個 面 上 的 8條 對 角 線 共 組 成 16對 ， 又 正 方 體 共 有 6個 面 ， 所 以 共 有 16 6=96(對 )， 又 因 為 每 對 被 計(jì) 算 了 2次 ， 因 此 成 60 的 面 對 角 線 有 96=48(對 ).12 方 法 二 ： 間 接 法 ： 正 方 體 的 12條 面 對 角 線 中 ， 任 意 兩條 垂 直 、 平 行 或 成 角 為 60 ， 所 以 成 角 為 60 的 共 有 -12-6=48(對 ).212C (3)共 8名 醫(yī) 生 ，

12、2個 科 類 ， 要 求 每 個 科 類 至 少 1名 醫(yī)生 ， “ 骨 科 和 內(nèi) 科 醫(yī) 生 都 至 少 有 1人 ” 的 對 立 事 件 是“ 全 是 骨 科 或 全 是 內(nèi) 科 醫(yī) 生 ” .若 從 這 8名 醫(yī) 生 中 任 選 3名 ， 不 同 的 選 法 有 種 ；38C 其 中 全 為 骨 科 醫(yī) 生 的 選 法 只 有 1種 ， 全 為 內(nèi) 科 醫(yī) 生 的選 法 有 種 .所 以 所 求 選 派 方 法 有 =56-1-10=45(種 ).答 案 ： 4535C 3 38 5C 1 C 【 易 錯 警 示 】 解 題 (3)時 易 出 現(xiàn) 從 骨 科 和 內(nèi) 科 醫(yī) 生 中 各

13、選 一 人 ， 再 從 剩 余 的 人 中 選 出 一 人 ， 共 有 90種 選 法 的錯 誤 ， 此 種 錯 誤 的 原 因 是 出 現(xiàn) 了 重 復(fù) 的 情 況 . 【 母 題 變 式 】 若 題 (2)變 為 ： 若 兩 條 異 面 直 線 所 成 的 角為 60 ， 則 稱 這 對 異 面 直 線 為 “ 黃 金 異 面 直 線 對 ” ，在 連 接 正 方 體 各 頂 點(diǎn) 的 所 有 直 線 中 ， “ 黃 金 異 面 直 線對 ” 共 有 _對 . 【 解 析 】 依 題 意 ， 注 意 到 在 正 方 體 ABCD -A1B1C1D1中 ，與 直 線 AC構(gòu) 成 異 面 直 線

14、且 所 成 的 角 為 60 的 直 線 有BC1， BA1， A1D， DC1， 注 意 到 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1中 共有 12條 面 對 角 線 ， 可 知 所 求 的 “ 黃 金 異 面 直 線 對 ” 共有 =24對 .答 案 ： 244 122 【 規(guī) 律 方 法 】1.求 解 排 列 、 組 合 問 題 的 關(guān) 注 點(diǎn)排 組 分 清 ， 加 乘 明 確 ； 有 序 排 列 ， 無 序 組 合 ； 分 類 相加 ， 分 步 相 乘 . 2.排 列 、 組 合 應(yīng) 用 問 題 的 常 見 解 法(1)特 殊 元 素 (特 殊 位 置 )優(yōu) 先 安 排 法 .(2)合

15、理 分 類 與 準(zhǔn) 確 分 步 法 .(3)排 列 與 組 合 混 合 問 題 先 選 后 排 法 .(4)相 鄰 問 題 捆 綁 法 .(5)不 相 鄰 問 題 插 空 法 . (6)定 序 問 題 縮 倍 法 .(7)多 排 問 題 一 排 法 .(8)“ 小 集 團(tuán) ” 問 題 先 整 體 后 局 部 法 .(9)構(gòu) 造 模 型 法 .(10)正 難 則 反 ， 等 價 轉(zhuǎn) 化 法 . 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 九 江 一 模 )8名 學(xué) 生 和 2位 老 師 站 成 一 排 合影 ， 2位 老 師 不 相 鄰 的 排 法 種 數(shù) 為 ( )8 2 8 2 8 2 8 28

16、9 8 9 8 7 8 7A.A A B A C C A A D A C 【 解 析 】 選 A.不 相 鄰 問 題 用 插 空 法 ， 8名 學(xué) 生 先 排 有 種 排 法 ， 產(chǎn) 生 9個 空 ， 2位 老 師 插 空 有 種 排 法 ，所 以 共 有 種 排 法 .88A 29A8 28 9A A 2.(2016 太 原 一 模 )有 5名 優(yōu) 秀 畢 業(yè) 生 到 母 校 的 3個 班去 做 學(xué) 習(xí) 經(jīng) 驗(yàn) 交 流 ， 則 每 個 班 至 少 去 一 名 的 不 同 分 派方 法 種 數(shù) 為 ( )A.150 B.180 C.200 D.280 【 解 析 】 選 A.分 兩 類 ： 一

17、 類 ， 3個 班 分 派 的 畢 業(yè) 生 人 數(shù)分 別 為 2， 2， 1， 則 有 =90種 分 派 方 法 ； 另 一類 ， 3個 班 分 派 的 畢 業(yè) 生 人 數(shù) 分 別 為 1， 1， 3， 則 有 =60種 分 派 方 法 .所 以 不 同 分 派 方 法 種 數(shù) 為 90+60=150. 2 2 35 3 322C C AA3 35 3C A 【 加 固 訓(xùn) 練 】 1.有 6名 男 醫(yī) 生 、 5名 女 醫(yī) 生 ， 從 中 選 出 2名 男 醫(yī) 生 、 1名 女 醫(yī) 生 組 成 一 個 醫(yī) 療 小 組 ， 則 不 同 的 選法 共 有 ( )A.60種 B.70種 C.75種

18、 D.150種 【 解 析 】 選 C.從 中 選 出 2名 男 醫(yī) 生 的 選 法 有 =15種 ，從 中 選 出 1名 女 醫(yī) 生 的 選 法 有 =5種 ， 所 以 不 同 的 選法 共 有 15 5=75種 . 26C15C 2.(2016 溫 州 二 模 )將 9個 相 同 的 小 球 放 入 3個 不 同 的盒 子 ， 要 求 每 個 盒 子 中 至 少 有 1個 小 球 ， 且 每 個 盒 子 中的 小 球 個 數(shù) 都 不 同 ， 則 不 同 的 放 法 數(shù) 為 ( )A.15 B.18 C.19 D.21 【 解 析 】 選 B.依 題 意 ， 對 這 3個 盒 子 中 所 放

19、 的 小 球 的 個數(shù) 情 況 進(jìn) 行 分 類 計(jì) 數(shù) ： 第 一 類 ， 這 3個 盒 子 中 所 放 的 小球 的 個 數(shù) 是 1， 2， 6， 此 類 放 法 有 =6種 ； 第 二 類 ，這 3個 盒 子 中 所 放 的 小 球 的 個 數(shù) 是 1， 3， 5， 此 類 放 法有 =6種 ； 第 三 類 ， 這 3個 盒 子 中 所 放 的 小 球 的 個 數(shù) 是 2，3， 4， 此 類 放 法 有 =6種 .因 此 滿 足 題 意 的 放 法共 有 6+6+6=18種 . 33A33A 33A 3.(2016 深 圳 一 模 )某 班 準(zhǔn) 備 從 含 甲 、 乙 的 7名 男 生 中

20、選 取 4人 參 加 4 100米 接 力 賽 ， 要 求 甲 、 乙 兩 人 至 少 有一 人 參 加 ， 且 若 甲 、 乙 同 時 參 加 ， 則 他 們 在 賽 道 上 的順 序 不 能 相 鄰 ， 那 么 不 同 的 排 法 種 數(shù) 為 ( )A.720 B.520 C.600 D.360 【 解 析 】 選 C.根 據(jù) 題 意 ， 分 2種 情 況 討 論 . 只 有 甲 、乙 其 中 一 人 參 加 ， 有 =480種 情 況 ； 若 甲 、 乙兩 人 都 參 加 ， 有 =240種 情 況 ， 其 中 甲 、 乙 相 鄰的 有 =120種 情 況 ， 不 同 的 排 法 種 數(shù)

21、 為 480+240-120=600種 . 1 3 42 5 4C C A2 2 42 5 4C C A2 2 3 22 5 3 2C C A A 4.(2016 長 沙 一 模 )5名 乒 乓 球 隊(duì) 員 中 ， 有 2名 老 隊(duì) 員和 3名 新 隊(duì) 員 ， 現(xiàn) 從 中 選 出 3名 隊(duì) 員 排 成 1， 2， 3號 參 加團(tuán) 體 比 賽 ， 則 入 選 的 3名 隊(duì) 員 中 至 少 有 1名 老 隊(duì) 員 ， 且 1，2號 中 至 少 有 1名 新 隊(duì) 員 的 排 法 有 _種 . 【 解 析 】 分 兩 類 ： 第 一 類 僅 有 1名 老 隊(duì) 員 ， 此 時 有 2名新 隊(duì) 員 ， 一

22、定 可 以 保 證 1， 2號 中 至 少 有 1名 新 隊(duì) 員 ， 此時 有 =36種 排 法 ；第 二 類 有 2名 老 隊(duì) 員 ， 此 時 ， 要 注 意 將 新 隊(duì) 員 安 排 在1， 2號 中 ， 有 =12種 排 法 .于 是 ， 不 同 的 排 法 數(shù) 為 36+12=48.答 案 ： 481 2 32 3 3C C A 1 1 23 2 2C C A 熱 點(diǎn) 考 向 二 二 項(xiàng) 式 定 理 的 應(yīng) 用 命 題 解 讀 ： 主 要 考 查 二 項(xiàng) 式 定 理 的 通 項(xiàng) 公 式 、 二 項(xiàng) 式系 數(shù) 、 二 項(xiàng) 式 特 定 項(xiàng) (指 定 項(xiàng) )， 以 選 擇 題 、 填 空 題

23、為主 . 命 題 角 度 一 與 特 定 項(xiàng) 有 關(guān) 的 問 題【 典 例 2】 (2016 邯 鄲 一 模 ) 展 開 式 中 的常 數(shù) 項(xiàng) 為 ( )A.-8 B.-12 C.-20 D.20【 解 題 導(dǎo) 引 】 先 將 式 子 x2+ -2變 形 為 完 全 平 方 式 ，再 利 用 通 項(xiàng) 公 式 求 特 定 項(xiàng) . 2 321(x 2)x 21x 【 規(guī) 范 解 答 】 選 C.因 為 所 以 Tk+1= 令 6-2k=0得 k=3， 所 以 常 數(shù)項(xiàng) 為 (-1)3=-20. 2 3 621 1(x 2) (x )x x ，k 6 k k k k 6 2k6 61C x ( )

24、C ( 1) xx ，36C 命 題 角 度 二 求 展 開 式 中 系 數(shù) 的 和【 典 例 3】 (2015 全 國 卷 )(a+x)(1+x)4的 展 開 式 中 x的 奇 數(shù) 次 冪 的 項(xiàng) 的 系 數(shù) 之 和 為 32， 則 a=_.【 解 題 導(dǎo) 引 】 先 設(shè) 出 展 開 式 ， 再 用 賦 值 法 ， 分 別 令 x=1，x=-1， 將 兩 式 相 減 ， 再 利 用 奇 數(shù) 次 冪 項(xiàng) 的 系 數(shù) 之 和 求 a. 【 規(guī) 范 解 答 】 設(shè) (a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令 x=1， 得 16(a+1)=a0+a1+a2+a3

25、+a4+a5， 令 x=-1， 得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5. - ， 得 16(a+1)=2(a1+a3+a5)， 即 展 開 式 中 x的 奇 數(shù)次 冪 的 項(xiàng) 的 系 數(shù) 之 和 為 a1+a3+a5=8(a+1)，所 以 8(a+1)=32， 解 得 a=3.答 案 ： 3 命 題 角 度 三 求 展 開 式 中 某 項(xiàng) 的 系 數(shù)【 典 例 4】 (2014 全 國 卷 )(x-y)(x+y)8的 展 開 式 中x2y7的 系 數(shù) 為 _.(用 數(shù) 字 填 寫 答 案 )【 解 題 導(dǎo) 引 】 利 用 通 項(xiàng) 公 式 求 解 . 【 規(guī) 范 解 答 】 因 為 (x+y

26、)8的 展 開 式 的 通 項(xiàng) 為 Tk+1= x8-kyk(0 k 8， k N)，當(dāng) k=7時 ， T8= xy7=8xy7， 當(dāng) k=6時 ， T7= x2y6=28x2y6， k8C78C 68C 所 以 (x-y)(x+y)8的 展 開 式 中 x2y7的 項(xiàng) 為 x 8xy7+(-y) 28x2y6=-20 x2y7， 故 系 數(shù) 為 -20.答 案 ： -20 【 規(guī) 律 方 法 】 與 二 項(xiàng) 式 定 理 有 關(guān) 的 題 型 及 解 法類 型 解 法求 特 定 項(xiàng) 或 其 系 數(shù) 常 采 用 通 項(xiàng) 公 式 分 析 求 解系 數(shù) 的 和 或 差 常 用 賦 值 法近 似 值 問

27、 題 利 用 展 開 式 截 取 部 分 項(xiàng) 求 解整 除 (或 余 數(shù) )問 題 利 用 展 開 式 求 解 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 四 川 高 考 )設(shè) i為 虛 數(shù) 單 位 ， 則 (x+i)6的 展 開式 中 含 x4的 項(xiàng) 為 ( )A.-15x4 B.15x4C.-20ix4 D.20ix4 【 解 析 】 選 A.二 項(xiàng) 式 (x+i)6展 開 的 通 項(xiàng) Tr+1= x6-rir，則 其 展 開 式 中 含 x4的 項(xiàng) 是 當(dāng) 6-r=4， 即 r=2， 則 展 開 式 中含 x4的 項(xiàng) 為 x4i2=-15x4. r6C26C 2.(2016 山 東 高 考 )

28、若 的 展 開 式 中 x5的系 數(shù) 是 -80， 則 實(shí) 數(shù) a=_.【 解 析 】 因 為 令 10- =5得 k=2， 所 以 =-80，解 得 a=-2.答 案 ： -2 2 51(ax )x 510 k5 kk 2 k k 5 k 2k 1 5 51T C ax ( ) C a xx 5k2 2 35C a 3.(2016 大 同 二 模 )二 項(xiàng) 式 的 展 開 式 中 只有 第 六 項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 最 大 ， 則 展 開 式 中 常 數(shù) 項(xiàng) 為_. n22( x )x 【 解 析 】 因 為 的 展 開 式 中 只 有 第 六 項(xiàng) 的 二項(xiàng) 式 系 數(shù) 最 大 ， 所

29、 以 n=10，令 5- =0， 則 k=2， T3= =180.答 案 ： 180 n22( x )x 510 k 5 kk k k k 2k 1 10 1022T C x ( ) 2 C xx ，5k2 2104C 【 加 固 訓(xùn) 練 】 (2014 浙 江 高 考 )在 (1+x)6(1+y)4的 展開 式 中 ， 記 xmyn項(xiàng) 的 系 數(shù) 為 f(m， n)， 則 f(3， 0)+ f(2，1)+f(1， 2)+f(0， 3)=( )A.45 B.60 C.120 D.210 【 解 析 】 選 C.由 二 項(xiàng) 展 開 式 的 通 項(xiàng) 性 質(zhì) 可 知 xmyn項(xiàng)的 系 數(shù) 為 f(m， n)= 所 以 f(3， 0)+f(2， 1)+f(1， 2)+f(0， 3)=m n6 4C C ，3 2 1 1 2 36 6 4 6 4 4C C C C C C 120.