八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 1 勾股定理課件 （新版）北師大版

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1、1 探 索 勾 股 定 理第 一 章 勾 股 定 理 1.經(jīng) 歷 探 索 勾 股 定 理 及 驗(yàn) 證 勾 股 定 理 的 過 程 ， 了 解 勾 股 定 理 的 探 究 方 法 及其 內(nèi) 在 聯(lián) 系 .2.掌 握 勾 股 定 理 ， 并 能 運(yùn) 用 勾 股 定 理 解 決 一 些 實(shí) 際 問 題 . 這 是 1955年 希 臘 為 紀(jì) 念 一 個(gè) 數(shù) 學(xué) 學(xué) 派 發(fā) 行 的 郵 票 . P RQ 正 方 形 P的 面 積 正 方 形 Q的 面 積 正 方 形 R的 面 積ABC 9 16 ？怎 么 求 SR的 大 小 ？有 幾 種 方 案 ？如 圖 ， 小 方 格 的 邊 長(zhǎng) 為 1. PQ

2、CR 用 “ 補(bǔ) ” 的 方 法 149 4 ( 4 3)225. SR PQ CR 用 “ 割 ” 的 方 法SR 14 4 3 12 25. A B C（ 圖 中 每 個(gè) 小 方 格 代 表 1 個(gè) 單 位 面 積 ） （ 1） 在 圖 中 ， 正 方 形 A中 含有 個(gè) 小 方 格 ， 即 A的 面 積是 個(gè) 單 位 面 積 . 正 方 形 B的 面 積 是 _個(gè)單 位 面 積 . 正 方 形 C的 面 積 是 _個(gè) 單 位 面 積 .99 918探 究 勾 股 定 理 A B C （ 圖 中 每 個(gè) 小 方 格 代 表 1個(gè) 單 位 面 積 ） 正 方 形 CS 14 3 32 把 正

3、 方 形 C分 割 成 若 干 個(gè) 直 角邊 為 整 數(shù) 的 三 角 形 來 求=1 8 個(gè) 單 位 面 積 A B C（ 圖 中 每 個(gè) 小 方 格 代 表 1個(gè) 單 位 面 積 ） 正 方 形 CS 21 62 =18個(gè) 單 位 面 積把 正 方 形 C看 成 邊 長(zhǎng) 為 6的 正 方 形 面 積 的 一 半 A B CA B C（ 圖 中 每 個(gè) 小 方 格 代 表 1 個(gè) 單 位 面 積 ）圖 1 圖 2 （ 2） 在 圖 2中 ， 正 方 形 A， B，C中 各 含 有 多 少 個(gè) 小 方 格 ？它 們 的 面 積 各 是 多 少 ？（ 3） 你 能 發(fā) 現(xiàn) 圖 1中 三 個(gè)正 方

4、形 A， B， C的 面 積 之 間有 什 么 關(guān) 系 嗎 ？ 圖 2呢 ？SA+SB=SC即 ： 兩 條 直 角 邊 上 的 正 方 形 面 積 之 和 等 于 斜 邊 上 的 正 方 形 的 面 積 . A B C圖 1 A B C圖 2（ 1） 觀 察 圖 1、 圖 2， 并 填 寫 下 表 ： A的 面 積（ 單 位 面 積 ） B的 面 積 （ 單位 面 積 ） C的 面 積 （ 單位 面 積 ）圖 1圖 2 16 9 254 9 13 做 一 做 A B C圖 1 A B C圖 2（ 2） 右 圖 中 正 方 形 A,B， C的面 積 之 間 有 什 么 關(guān) 系 ？SA+SB=SC

5、即 ： 兩 條 直 角 邊 上 的 正 方 形面 積 之 和 等 于 斜 邊 上 的 正 方形 的 面 積 . 中 國(guó) 古 代 把 直 角 三 角 形 中 較 短 的 直 角邊 叫 做 勾 ,較 長(zhǎng) 的 直 角 邊 叫 做 股 ， 斜 邊 叫做 弦 . 據(jù) 周 髀 算 經(jīng) 記 載 ， 西 周 戰(zhàn) 國(guó) 時(shí) 期（ 約 公 元 前 1千 多 年 ） 有 個(gè) 叫 商 高 的 人 對(duì)周 公 說 ， 把 一 根 直 尺 折 成 直 角 ， 兩 端 連 接得 一 個(gè) 直 角 三 角 形 ， 如 果 勾 是 3， 股 是 4，那 么 弦 等 于 5. 34 5 勾股 弦 人 們 還 發(fā) 現(xiàn) ， 在 直 角 三

6、 角 形 中 ，勾 是 6， 股 是 8，勾 是 5， 股 是 12， 弦 一 定 是 13， 是 不 是 所 有 的 直 角 三 角 形 都 有 這 個(gè) 性 質(zhì) 呢 ？ 世 界 上 許 多 數(shù) 學(xué) 家 ， 先 后 用不 同 方 法 證 明 了 這 個(gè) 結(jié) 論 . 我 國(guó) 把 它 稱 為 勾 股 定 理 .62=36, 82=64, 62+82=102102=100 等 等 . 52=25, 122=144, 52+122=132132=169弦 一 定 是 10； 勾 股 定 理如 果 直 角 三 角 形 兩 直 角 邊 分 別 為 a， b,斜 邊 為 c， 那 么2 2 2a b c 直

7、 角 三 角 形 兩 直 角 邊 的 平 方 和 等 于斜 邊 的 平 方 . a bc勾 股 弦 a b cab c b ac a bc用 兩 種 方 法 表 示 大 正 方 形 的 面 積 :2)( ba 2)21(4 cba a bc bc bc bca a a對(duì) 比 兩 種 表 示 方 法 ,你 得 到 勾 股 定 理 了 嗎 ?我 們 用 另 外 一 種 方 法 來 說 明 勾 股 定 理 是 正 確 的 【 例 】 如 圖 ,一 根 旗 桿 在 離 地 面 9 m處 折 斷 ,旗 桿 頂 部 落 在 離 旗 桿 底 部 12 m處 .旗桿 原 來 有 多 高 ? 12 m9 m【

8、例 題 】 【 解 析 】 設(shè) 旗 桿 頂 部 到 折 斷 處 的 距 離 為 x m， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得222 129 xx=15, 15+9=24(m).答 ： 旗 桿 原 來 高 24 m. ABC如 圖 ,太 陽(yáng) 能 熱 水 器 的 支 架 AB長(zhǎng) 為90 cm,與 AB垂 直 的 BC長(zhǎng) 為 120 cm.太 陽(yáng) 能 真 空 管 AC有 多 長(zhǎng) ?【 解 析 】 在 Rt ABC中 ,由 勾 股 定 理 ,得 AC= = =150(cm).答 :太 陽(yáng) 能 真 空 管 AC長(zhǎng) 150 cm. 22 BCAB 22 12090 【 跟 蹤 訓(xùn) 練 】 1.（ 義 烏 中 考

9、） 在 直 角 三 角 形 中 ， 滿 足 條 件 的 三 邊 長(zhǎng) 可 以是 (寫 出 一 組 即 可 )【 解 析 】 答 案 不 唯 一 ， 只 要 滿 足 式 子 a2+b2=c2即 可 .答 案 ： 3， 4， 5（ 滿 足 題 意 的 均 可 ） 2.飛 機(jī) 在 空 中 水 平 飛 行 ， 某 一 時(shí) 刻 剛 好 飛 到 一 個(gè) 男 孩 頭 頂 上 方 3 km處 ， 過 了20 s， 飛 機(jī) 距 離 這 個(gè) 男 孩 頭 頂 5 km.這 一 過 程 中 飛 機(jī) 飛 過 的 距 離 是 多 少 千 米 ？2 2 2BC 5 3 16.BC 0,BC 4( ). km【 解 析 】 在

10、 Rt ABC中 ， 答 ： 飛 機(jī) 飛 過 的 距 離 是 4 km. BCA3 5？ 3.求 斜 邊 長(zhǎng) 17 cm、 一 條 直 角 邊 長(zhǎng) 15 cm的 直 角 三 角 形 的 面 積 .【 解 析 】 設(shè) 另 一 條 直 角 邊 長(zhǎng) 是 x cm.由 勾 股 定 理 得 :152+ x2 =172， x2=172-152=289 225=64，所 以 x= 8（ 負(fù) 值 舍 去 ） ，所 以 另 一 直 角 邊 長(zhǎng) 為 8 cm，直 角 三 角 形 的 面 積 是 : 6015821 (cm 2). 通 過 本 課 時(shí) 的 學(xué) 習(xí) ， 需 要 我 們 掌 握 ：勾 股 定 理 ：直

11、角 三 角 形 兩 直 角 邊 的 平 方 和 等 于 斜 邊 的 平 方 ， 即2 2 2a b c 沒 有 智 慧 的 頭 腦 ， 就 像 沒 有 蠟 燭 的 燈 籠 . 2 一 定 是 直 角 三 角 形 嗎 1.經(jīng) 歷 直 角 三 角 形 的 判 別 條 件 （ 即 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ） 的 探 究過 程 ， 發(fā) 展 推 理 論 證 能 力 .2.掌 握 勾 股 定 理 的 逆 定 理 及 勾 股 數(shù) 的 定 義 ， 并 能 進(jìn) 行 簡(jiǎn) 單 的 應(yīng)用 . 古 埃 及 人 曾 用 下 面 的 方 法 得 到 直 角 : 用 13個(gè) 等 距 的 結(jié) 把 一 根 繩 子 分 成

12、 等 長(zhǎng) 的 12段 ,一 個(gè) 工 匠同 時(shí) 握 住 繩 子 的 第 1個(gè) 結(jié) 和 第 13個(gè) 結(jié) ,兩 個(gè) 助 手 分 別 握 住 第 4個(gè) 結(jié) 和 第 8個(gè) 結(jié) ,拉 緊 繩 子 就 得 到 一 個(gè) 直 角 三 角 形 , 其 直 角在 第 4個(gè) 結(jié) 處 . 下 面 的 三 組 數(shù) 分 別 是 一 個(gè) 三 角 形 的 三 邊 長(zhǎng) a ,b, c: 5, 12, 13; 7, 24, 25; 8, 15, 17.(1)這 三 組 數(shù) 都 滿 足 a2+b2=c2嗎 ?(2)分 別 以 每 組 數(shù) 為 三 邊 作 出 三 角 形 , 用 量 角 器 量 一 量 . 它 們 都 是 直 角 三

13、角 形 嗎 ? 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 的 三 邊 長(zhǎng) a， b， c滿 足 a2+b2=c2， 那 么 這 個(gè) 三 角 形 是 直 角 三 角 形 . 滿 足 a 2+b2=c2 的 三 個(gè) 正 整 數(shù) ,稱 為 勾 股 數(shù) .都 滿 足 .都 是 直 角 三 角 形 . 古 埃 及 人 曾 用 下 面 的 方 法 得 到 直 角 ：現(xiàn) 在 明 白 古 埃 及 人的 這 種 做 法 有 道 理了 吧 ！ 【 例 】 一 個(gè) 零 件 的 形 狀 如 圖 1所 示 ,按 規(guī) 定 這 個(gè) 零 件 中 A和 DBC都 應(yīng) 為 直 角 ,工 人 師 傅 量 得 這 個(gè)

14、零 件 各 邊 的 尺 寸 如圖 2所 示 ,你 說 這 個(gè) 零 件 符 合 要 求 嗎 ?DA B C4 3 5 13 12【 例 題 】DA B C圖 1 圖 2 在 BCD中 ， 所 以 BCD 是 直 角 三 角 形 ， DBC是 直 角 .因 此 ， 這 個(gè) 零 件 符 合 要 求 .2 2 2 2 2 2AB AD 3 4 25 5 BD , 【 解 析 】 在 ABD中 ， 所 以 ABD 是 直 角 三 角 形 ， A是 直 角 .2 2 2 2 2 2BD BC 5 12 169 13 CD , 1.如 果 線 段 a,b,c能 組 成 直 角 三 角 形 ,則 它 們 的

15、比 可 以是 ( )A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:52. 將 直 角 三 角 形 的 三 邊 長(zhǎng) 擴(kuò) 大 同 樣 的 倍 數(shù) ,則 得 到 的三 角 形 ( )A.是 直 角 三 角 形 B.可 能 是 銳 角 三 角 形C.可 能 是 鈍 角 三 角 形 D.不 可 能 是 直 角 三 角 形B A【 跟 蹤 訓(xùn) 練 】 4.如 果 三 條 線 段 a， b， c滿 足 a2=c2-b2,這 三 條 線 段 組 成 的三 角 形 是 直 角 三 角 形 嗎 ?為 什 么 ?【 解 析 】 是 直 角 三 角 形 ， 因 為 a2+b2=c2,滿 足 勾 股

16、定 理 的 逆 定 理 .3.以 ABC的 三 條 邊 為 邊 長(zhǎng) 向 外 作 正 方 形 , 依 次 得 到 的 面積 是 25, 144 , 169, 則 這 個(gè) 三 角 形 是 _三 角 形 .直 角 4 7 6 F D E 9 15 12 C B A 1.下 列 三 角 形 是 直 角 三 角 形 嗎 ？ 不 是 是 2.（ 眉 山 中 考 ） 如 圖 ， 每 個(gè) 小 正 方 形 的 邊 長(zhǎng) 為 1， A，B， C是 小 正 方 形 的 頂 點(diǎn) ， 則 ABC的 度 數(shù) 為 （ ）A 90 B 60 C 45 D 30【 解 析 】 選 C.根 據(jù) 勾 股 定 理 可 知 AC2=5,

17、 BC2=5,AB2=10,因 為 AC=BC, 而 且 AC2 BC2 5+5 10 AB2 ， 所 以 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 且 ACB 90 ，所 以 ABC= BAC=45 . 3.如 圖 ， 在 四 邊 形 ABCD中 ， AC DC， ADC的 面 積 為 30 cm2，DC 12 cm， AB 3 cm， BC 4 cm， 求 ABC的 面 積 . 【 解 析 】 因 為 ADC的 面 積 為 30 cm2， DC 12 cm.所 以 AC=5 cm,又 因 為所 以 ABC是 直 角 三 角 形 , B是 直 角 . 所 以 ACD 1 1S CD AC 12

18、AC 30,2 2 2 2 2 2 2 2AB BC 3 4 5 AC , 2ABC 1 1S AB BC 3 4 6(cm ).2 2 D C BA 通 過 本 課 時(shí) 的 學(xué) 習(xí) ， 需 要 我 們 掌 握 ：1.勾 股 定 理 的 逆 定 理 ：如 果 三 角 形 兩 邊 的 平 方 和 等 于 第 三 邊 的 平 方 ，那 么 這 個(gè) 三 角 形 是 直 角 三 角 形 .2.勾 股 數(shù) ：滿 足 a2+b2=c2的 三 個(gè) 正 整 數(shù) ， 稱 為 勾 股 數(shù) . 努 力 不 一 定 成 功 ； 但 是 放 棄 必 定 會(huì) 失 敗 . 3 勾 股 定 理 的 應(yīng) 用 1.能 運(yùn) 用 勾

19、 股 定 理 及 直 角 三 角 形 的 判 別 條 件 （ 即 勾 股 定理 的 逆 定 理 ） 解 決 簡(jiǎn) 單 的 實(shí) 際 問 題 .2.數(shù) 學(xué) 思 考 、 解 決 問 題 ： 在 將 實(shí) 際 問 題 抽 象 為 數(shù) 學(xué) 問 題的 過 程 中 ， 學(xué) 會(huì) 觀 察 圖 形 ， 提 高 分 析 問 題 、 解 決 問 題 的能 力 及 滲 透 數(shù) 學(xué) 建 模 的 思 想 . 1.你 知 道 勾 股 定 理 的 內(nèi) 容 嗎 ？2.一 個(gè) 三 角 形 的 三 條 邊 長(zhǎng) 分 別 為 a,b,c(ca,cb） ，能 否 判 斷 這 個(gè) 三 角 形 是 否 是 直 角 三 角 形 ？ A BC 5m1

20、2m 欲 登 上 12 m的 建 筑 物 ,為 了 安 全 ,需 使 梯 子底 端 離 建 筑 物 底 部 5 m,至 少 需 要 多 長(zhǎng) 的 梯 子 ? AB 一 個(gè) 圓 柱 形 易 拉 罐 ， 下 底 面 A點(diǎn)處 有 一 只 螞 蟻 ， 上 底 面 上 與 A點(diǎn) 相 對(duì)的 點(diǎn) B處 有 粒 糖 ， 螞 蟻 想 吃 到 點(diǎn) B處的 糖 .（ 1） 螞 蟻 從 A點(diǎn) 爬 到 B點(diǎn) 可 能 有 哪 些 路 線 ？同 桌 討 論 后 ， 在 自 己 的 圓 柱 上 畫 出 來 . BB（ 1） 螞 蟻 從 A點(diǎn) 爬 到 B點(diǎn) 可 能 有 哪 些 路 線 ？ AA AA B （ 2） 路 線 ， ，

21、 中 最 短 路 線 是 哪 條 ？議 一 議 AAB A B B（ 3） 若 圓 柱 的 高 為 12， 底 面 半 徑 為 3時(shí) ,3條 路 線 分 別 多長(zhǎng) ？ （ 取 3）12 3 A AAB A B Bh r 路 線 路 線 路 線 最 短h=12， r=3h=3.75， r=3h=2.625， r=3 18 21 15 9.75 12.75 9.75 8.625 11.625 9.375 做 一 做 A 我 想 檢 測(cè) 雕 塑 底 座 正 面 的 AD邊 和 BC邊是 否 分 別 垂 直 于 底 邊 AB， 隨 身 只 帶 了一 把 卷 尺 .（ 1） 量 得 AD長(zhǎng) 是 30 c

22、m， AB長(zhǎng) 是40 cm， BD長(zhǎng) 是 50 cm.AD邊 垂 直 于AB邊 嗎 ？ A CD B【 解 析 】 如 圖 AD 2+AB2=302+402=502=BD2，得 DAB=90 ， AD邊 垂 直 于 AB邊 . （ 2） 若 隨 身 只 有 一 個(gè) 長(zhǎng) 度 為 20 cm的刻 度 尺 ， 能 有 辦 法 檢 驗(yàn) AD邊 是 否 垂 直于 AB邊 嗎 ？A CD B 【 解 析 】 在 AD上 取 點(diǎn) M,使 AM=9,在 AB上 取 點(diǎn) N使 AN=12,測(cè) 量 MN是 否 是 15，是 ， 就 是 垂 直 ； 不 是 ， 就 是 不 垂 直 . 【 例 】 “ 今 有 池 方

23、 一 丈 ， 葭 生 其 中 央 ， 出 水 一 尺 .引 葭 赴 岸 ，適 與 岸 齊 .問 水 深 、 葭 長(zhǎng) 各 幾 何 ？ ”注 ： 方 :正 方 形 丈 ： 長(zhǎng) 度 單 位 .1丈 =10尺 葭 ： 蘆 葦 九 章 算 術(shù) 中 的 趣 題【 例 題 】 51 【 解 析 】 設(shè) 水 池 的 深 度 為 x尺 ， 則 蘆 葦 的 長(zhǎng) 度 為 （ x+1） 尺x x+1由 勾 股 定 理 得 x2+52=(x+1)2，x 12.x2+25=x2+2x+1，24=2x，答 ： 水 池 的 深 度 為 12尺 ， 蘆 葦 的 長(zhǎng) 度 為 13尺 .51 1 甲 、 乙 兩 位 探 險(xiǎn) 者 到

24、 沙 漠 進(jìn) 行 探 險(xiǎn) ， 已 知 兩 人 從 同 地出 發(fā) .某 日 早 晨 8： 00甲 先 出 發(fā) ， 他 以 6 km/h的 速 度 向 正東 行 走 ， 1小 時(shí) 后 乙 出 發(fā) ， 他 以 5 km/h的 速 度 向 正 北 行 走 .上 午 10： 00， 甲 、 乙 兩 人 相 距 多 遠(yuǎn) ？【 跟 蹤 訓(xùn) 練 】 【 解 析 】 如 圖 :已 知 A是 甲 、 乙 的 出 發(fā) 點(diǎn) ，10:00甲 到 達(dá) B點(diǎn) ,乙 到 達(dá) C點(diǎn) .則 :AB=2 6=12(km)，AC=1 5=5(km).在 Rt ABC中 ， 2 2 22 2 2BC AC AB5 12 169 13

25、, BC=13(km)，即 甲 乙 兩 人 相 距 13 km. 2 如 圖 ， 臺(tái) 階 A處 的 螞 蟻 要 爬 到 B處 搬 運(yùn) 食 物 ， 它 怎 么 走最 近 ？ 并 求 出 最 近 距 離 . 3 2 20 B A2 2 2 2AB 15 20 625 25 , 所 以【 解 析 】 將 其 展 開 得 如 圖 示 意 圖 .所 以 最 近 的 距 離 為 25. 1 （ 欽 州 中 考 ） 如 圖 是 一 張 直 角 三 角 形 的 紙 片 ， 兩 直角 邊 AC 6 cm， BC 8 cm， 將 ABC折 疊 ， 使 點(diǎn) B與 點(diǎn) A重合 ， 折 痕 為 DE， 則 BE的 長(zhǎng)

26、為 （ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cmA BC D EB 2 有 一 個(gè) 高 為 1.5 m， 半 徑 是 1 m的 圓 柱 形 油 桶 ， 在 靠 近 邊的 地 方 有 一 小 孔 ， 從 孔 中 插 入 一 鐵 棒 ， 已 知 鐵 棒 在 油 桶 外的 部 分 為 0.5 m， 問 這 根 鐵 棒 有 多 長(zhǎng) ？ 【 解 析 】 設(shè) 伸 入 油 桶 中 的 長(zhǎng) 度 為 x m,則 最 長(zhǎng) 時(shí) :2 2 2x 1.5 2 ,x 2.5 . 最 短 時(shí) :所 以 最 長(zhǎng) 是 2.5+0.5=3(m).x 1.5,答 :這 根 鐵 棒 的 長(zhǎng) 應(yīng) 在 2 3 m之 間

27、 .所 以 最 短 是 1.5+0.5=2(m). 3 如 圖 ， 在 棱 長(zhǎng) 為 10 cm的 正 方 體 的 一 個(gè) 頂 點(diǎn) A處 有 一只 螞 蟻 ， 現(xiàn) 要 向 頂 點(diǎn) B處 爬 行 ， 已 知 螞 蟻 爬 行 的 速 度 是1 cm/s， 且 速 度 保 持 不 變 ， 問 螞 蟻 能 否 在 20 s內(nèi) 從 A爬到 B？ B A BA B【 解 析 】 因 為 從 A到 B最 短 路 徑 AB滿 足 AB 2=202+102=500400， 所 以 不 能 在 20 s內(nèi) 從 A爬 到 B. 【 規(guī) 律 方 法 】 將 立 體 圖 形 展 開 成 平 面 圖 形 ,找 出 兩 點(diǎn) 間 的 最短 路 徑 ,構(gòu) 造 直 角 三 角 形 ， 利 用 勾 股 定 理 求 解 . 運(yùn) 用 勾 股 定 理 解 決 實(shí) 際 問 題 時(shí) ， 應(yīng) 注 意 ：1.沒 有 圖 的 要 按 題 意 畫 好 圖 并 標(biāo) 上 字 母 .2.有 時(shí) 需 要 設(shè) 未 知 數(shù) ， 并 根 據(jù) 勾 股 定 理 列 出 相 應(yīng) 的 方 程來 解 . 數(shù) 學(xué) 是 無 窮 的 科 學(xué) . 赫 爾 曼 外 爾