2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

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1、2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3i-2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一個(gè)田徑隊(duì)，有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人，比賽后，立即用分層抽樣的方法，從全體隊(duì)員中抽出一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行尿樣興奮劑檢查，其中男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽的人數(shù)為（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 3．如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)的一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形O'A'B'C'，則原平面圖形的

2、周長(zhǎng)為（　?。? A．10a B．8a C．6a D．4a 4．在△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，E為AD的中點(diǎn)．則（　　） A． B． C． D． 5．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度BC等于（　　） A．m B．m C．m D．m 6．卡拉夫金字塔（如圖1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神廟和獅身人面像，是世界上最緊密的建筑之一。從外側(cè)看，金字塔的形狀可以抽象成一個(gè)正四棱錐（如圖2），其中，點(diǎn)E為SB的中點(diǎn)，則SA，CE所成角的余弦值為（　?。? A． B． C． D． 7．

3、已知三棱錐S﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，SB＝AC＝，SC＝AB＝，則球O的體積是（　?。? A． B． C． D． 8．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c＝5，點(diǎn)O為其外接圓的圓心，已知，則邊a＝（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分． 9．下列四個(gè)命題中正確的是（　?。? A．若兩條直線(xiàn)互相平行，則這兩條直線(xiàn)確定一個(gè)平面 B．若兩條直線(xiàn)相交，則這兩條直線(xiàn)確定一個(gè)平面 C．若

4、四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線(xiàn) D．若兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn) 10．為豐富老年人的業(yè)余生活，某小區(qū)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)興趣社團(tuán)，該小區(qū)共有2000名老年人，每位老人依據(jù)自己興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社的老人有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（　?。? A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100 B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20% C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該小區(qū)老年人數(shù)的4% D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為40% 11．在△ABC中，角A，

5、B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，有如下命題，其中正確的是（　?。? A．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形 B．若sinA＞sinB，則A＞B C．若，則△ABC是鈍角三角形 D．若a3+b3＝c3，則△ABC為銳角三角形 12．已知圓錐的底面半徑為1，高為，S為頂點(diǎn)，A，B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（　?。? A．圓錐的體積為π B．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為 C．圓錐截面SAB的面積的最大值為 D．從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)A的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|＝1，則|

6、z﹣3i|的最大值為 　 　． 14．已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則　 ?。? 15．如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖1中容器內(nèi)水面的高度是 　 　． 16．已知三棱錐P﹣ABC的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐P﹣ABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1，然后再放入一個(gè)球O2，使得球O2與球O1及三棱錐P﹣ABC的三個(gè)側(cè)面都相切，則球O2的表面積為 　 ?。? 四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)

7、程或演算步驟． 17．已知復(fù)數(shù)z＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，m∈R． （1）當(dāng)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)； （2）當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求m的取值范圍． 18．在斜三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，且BC上的中線(xiàn)AD長(zhǎng)為，求斜三角形ABC的面積． 19．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，對(duì)角線(xiàn)AC交B

8、D于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB上，且滿(mǎn)足OM⊥BD． （1）求的值； （2）若N為線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)，求的最小值． 20．如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀(guān)景臺(tái)P，已知射線(xiàn)AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)2千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀(guān)景臺(tái)P到M，N建造兩條觀(guān)光線(xiàn)路PM，PN，測(cè)得AM＝2千米，AN＝2千米． （1）求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度； （2）若∠MPN＝60°，求兩條觀(guān)光線(xiàn)路PM與PN之和的最大值． 21．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體

9、ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)． （1）求三棱錐B﹣AB1E的體積； （2）若E是DD1的中點(diǎn)，求證：BF∥平面AB1E． 22．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB＝2． （1）求證：AC⊥平面BDEF； （2）求BC與平面AEF所成角的正弦值． 參考答案與試題解析 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．【解答】選：B． 2．【解答】選：A． 3．【解答

10、】【解答】解：由直觀(guān)圖還原得到原圖形，如圖， ∴OA＝BC＝a，OB＝2a，∠BOA＝90°， ∴AB＝OC＝3a，原圖形的周長(zhǎng)為8a， 故選：B． 4．【解答】解：因?yàn)椤鰽BC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，E為AD的中點(diǎn)， 所以＝＝＝＝， 故選：A． 5．【解答】解：由題可得∠ACB＝30°，所以，則AC＝120， 在△ABC中，∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∠ABC＝105°， 由正弦定理可得，即， 解得． 故選：D． 6．【解答】選：C． 7．【解答】解：將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，如圖所示： 則，故a2

11、+b2+c2＝8，球O的半徑R＝＝， 故體積為πR3＝．故選：D． 8．【解答】解：如圖，∵c＝5，O為△ABC的外接圓圓心， ∴＝＝＝， ∴a2＝49，a＝7． 故選：C． 二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分） 9．【解答】解：公理2的推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面，選項(xiàng)A正確； 公理2的推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面，選項(xiàng)B正確； 空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線(xiàn)，否則由公理2的推論1：直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這空間

12、四點(diǎn)共面，所以選項(xiàng)C正確； 若兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，可以互相平行，不一定是異面直線(xiàn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 故選：ABC． 10．【解答】解：由于參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，該社團(tuán)人數(shù)占比為10%， ∴社團(tuán)總?cè)藬?shù)為80人，故A錯(cuò)誤； 合唱團(tuán)人數(shù)為80×30%＝24，舞蹈社團(tuán)人數(shù)為80×25%＝20人， ∴脫口秀社團(tuán)的人數(shù)為80﹣24﹣12﹣20﹣8＝16， ∴脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占有五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的＝20%，故B正確； 五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的＝4%，故C正確； 脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%， 舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%， ∴這兩個(gè)社團(tuán)人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)

13、的45%， ∴從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%，故D錯(cuò)誤． 故選：BC． 11．【解答】解：由sin2A＝sin2B可得2A＝2B或2A+2B＝π， 所以A＝B或A+B＝，A錯(cuò)誤； 若sinA＞sinB，則a＞b，所以A＞B，B正確； 若，則C為鈍角，△ABC是鈍角三角形，C正確； D項(xiàng)：a3+b3＝c3，則c最大， 1＝（）3+（）3＜（）2+（）2， ∴a2+b2＞c2，∴C為銳角，又知C為最大角， ∴△ABC為銳角三角形，D正確． 故選：BCD． 12．【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，高為，所以體積，故A正確；

14、 對(duì)于B：設(shè)圓錐的母線(xiàn)為l，則， 設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ，由弧長(zhǎng)公式得：lθ＝2πr，即2θ＝2π，解得：θ＝π，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C：顯然當(dāng)圓錐截面SAB為軸截面時(shí)，其面積最大，此時(shí)，故C正確； 對(duì)于D：由B可得該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓， 所以從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)A的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為4，故D錯(cuò)誤； 故選：AC． 三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．） 13．【解答】解：滿(mǎn)足|z|＝1的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上， |z﹣3i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（0，3）的距離， 如圖： 則|z﹣3i|的最

15、大值為4． 故答案為：4． 14．【解答】答案為：-18． 15．【解答】解：在圖2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面積為S＝﹣＝，高為2， ∴四棱柱的體積為V＝2a×＝， 設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為h， 則V＝＝，解得h＝． ∴圖1中容器內(nèi)水面的高度是． 故答案為：． 16．【解答】解：如圖所示： 依題意得， 底面ABC的外接圓半徑為， 點(diǎn)P到平面ABC的距離為， 所以， 所以， 設(shè)球O1的半徑為R，所以， 則，得， 設(shè)球O2的半徑為r，則，又，得， 所以球O2的表面積為． 故答案為：． 四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)

16、寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17．【解答】解：（1）∵z是純虛數(shù)， ∴2m2﹣m﹣1＝0且m2+2m﹣3≠0， 解得； （2）∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限， ∴，解得﹣3＜m＜﹣． 故m的取值范圍為（﹣3，﹣）． 18．【解答】解：（1）∵asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC， ∴由正弦定理可得，a2+4bc?cos2A＝b2+c2， ∴cos2A＝＝cosA， ∵三角形ABC為斜三角形， ∴∠A不為直角，即cosA≠0，∴cosA＝，又∵A∈（0，π）， ∴A＝； （2）∵A＝，a＝2，∴由余弦定理可得4＝b2+c2﹣bc

17、，① ∵BC上的中線(xiàn)AD長(zhǎng)為，可得BD＝CD＝1， ∴在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝， 在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC＝， 又∵cos∠ADB＝cos（π﹣∠ADC）＝﹣cos∠ADC， ∴＝﹣，整理可得b2+c2＝8，② ∴由①②解得b＝c＝2， ∴S△ABC＝bcsinA＝＝． 19．【解答】解：方法一 （1）在梯形ABCD中，因?yàn)锳B∥CD，AB＝2CD， 所以AO＝2OC， ∴ ＝ ＝ ＝； （2）令，＝ 則，即， ＝ 令，則，， 所以當(dāng)時(shí)，有最小值． 方法二 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，AD所在

18、直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系； 則A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2）；則， 由相似三角形易得．設(shè)M（λ，0），則， ． 得．則，． （2）設(shè)N（a，a），顯然0≤a≤2，， 所以當(dāng)時(shí)，有最小值． 20．【解答】解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN2＝AM2+AN2﹣2AM?ANcos120°…（2分） ＝， 所以千米． …（4分） （2）設(shè)∠PMN＝α，因?yàn)椤螹PN＝60°，所以∠PNM＝120°﹣α 在△PMN中，由正弦定理得，．…（6分） 因?yàn)椋剑? 所以PM＝4sin（1200

19、﹣α），PN＝4sinα…（8分） 因此PM+PN＝4sin（1200﹣α）+4sinα…（10分） ＝ ＝＝…（13分） 因?yàn)?°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°． 所以當(dāng)α+300＝900，即α＝600時(shí)，PM+PN取到最大值．…（15分） 答：兩條觀(guān)光線(xiàn)路距離之和的最大值為千米．…（16分） 21．【解答】解：（1）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1 所以點(diǎn)E在DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面ABB1A1的距離為4，； 證明：（2）連接A1B交AB1于點(diǎn)M，連接EM，EF，D1C， 因?yàn)镋F∥D1C，且，MB∥D1C，且，所以

20、， 所以四邊形MEFB是平行四邊形， 所以BF∥ME， 又因?yàn)锽F?平面AB1E，ME?平面AB1E， 所以BF∥平面AB1E． 22．【解答】證明：（1）連接BD交AC于O， ∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD， 又∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC． 又∵FB∥ED，∴B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面， ∵ED?BD＝D，且ED，BD?平面BDEF， ∴AC⊥平面BDEF； 解：（2）∵BC∥AD，∴BC與平面AEF所成角就是AD與平面AEF所成角， 在△AEF中，可以求得，，， 根據(jù)余弦定理得， ∵∠AEF∈（0，π），∴， ∴， 設(shè)點(diǎn)D到平面AEF的距離為d， 由DE⊥平面ABCD知DE⊥AB，而AD⊥AB，AD∩DE＝D， ∴AB⊥平面ADE， ∵FB∥ED，F(xiàn)B?平面ADE，ED?平面ADE， ∴FB∥平面ADE，則點(diǎn)F到平面ADE的距離為AB長(zhǎng)2， 又∵， 由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，得， 即，解得， 故BC與平面AEF所成角的正弦值為．