《高等代數(shù)》PPT課件

《《高等代數(shù)》PPT課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等代數(shù)》PPT課件（115頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、高 等 代 數(shù) 課 件 第 五 章第 五 章第 五 章 向 量 空 間向 量 空 間向 量 空 間*5.1 向 量 空 間 的 定 義*5.2 向 量 的 線 性 相 關(guān) 性*5.3 基 維 數(shù) 和 坐 標(biāo)*5.4 子 空 間*5.5 向 量 空 間 的 同 構(gòu) 5.1 向 量 空 間 的 定 義一 、 向 量 空 間 概 念 的 引 入二 、 向 量 空 間 的 定 義三 、 向 量 空 間 的 例 子四 、 向 量 空 間 的 基 本 性 質(zhì) 一 、 向 量 空 間 概 念 的 引 入 例 1 設(shè) C是 復(fù) 數(shù) 集 合 ， R是 實(shí) 數(shù) 域 ， 對(duì) C中 任 意 兩 個(gè) 數(shù) a和b， 有

2、a+bC, 對(duì) 任 意 的 kR ， kaC. 并 且 復(fù) 數(shù) 集 合 C對(duì) 數(shù) 的 加法 和 乘 法 運(yùn) 算 , 滿 足 下 面 的 運(yùn) 算 律 ： 1) a+b b+a； 2) (a+b)+c a+(b+c)； 3) 0+a a； 4) 對(duì) 任 意 aC ， 存 在 bC ， 使 a+b 0； 5) k(a+b) ka+kb； 6) (k+l)a ka+la； 7) (kl)a k(la)； 8) 1a a.這 里 a， b， c是 任 意 復(fù) 數(shù) ， k， l是 任 意 實(shí) 數(shù) 。 例 2 在 平 面 上 建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 后 ， 把 從 原 點(diǎn) 出 發(fā) 的 一 切 向量 組

3、成 的 集 合 記 為 V2. 對(duì) V2中 任 意 向 量 X和 Y, 用 平 行 四 邊 形 法 則 ， 有 X+YV2. 對(duì)任 意 實(shí) 數(shù) k以 及 V2中 任 一 向 量 X， 有 kXV2. 并 且 對(duì) 任 意 的 X, Y, ZV2， a, bR， 有 1) X+Y Y+X； 2) (X+Y)+Z X+(Y+Z)； 3) 0+X X， 其 中 0是 V2中 的 零 向 量 ； 4) 對(duì) 任 意 XV2， 存 在 Y， 使 X+Y 0， 其 中 Y是 X的 負(fù) 向 量 ； 5) a(X+Y) aX+aY； 6) (a+b)X aX+bX； 7) (ab)X a(bX)； 8) 1X X

4、. 例 3 設(shè) Fn x是 次 數(shù) 不 超 過 n的 系 數(shù) 在 F中 的 多 項(xiàng) 式 連 同零 多 項(xiàng) 式 組 成 的 集 合 . 對(duì) 任 意 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 f(x), g(x)Fn x ，f(x)+g(x)Fn x. 又 對(duì) F中 的 任 意 數(shù) k, kf(x)Fn x. 并 且 ， 對(duì)Fn x中 任 意 多 項(xiàng) 式 f (x), g(x), h (x)及 F中 任 意 數(shù) a, b， 有 1) f (x)+g(x) g(x)+f (x)；2) f (x)+g(x)+h(x) f (x)+g(x)+h(x)；3) 0+f (x) f (x), 0是 Fn x中 的 零 多 項(xiàng) 式

5、；4) 對(duì) 任 意 f (x) Fn x， 存 在 g(x),使 f (x)+g(x) 0；5) a (f (x)+g(x) a f (x) +ag(x)；6) (a+b) f (x) af (x)+bf(x)；7) (ab) f (x) a (bf(x)；8) 1f (x) f (x). 例 4 設(shè) Mmn(F)是 數(shù) 域 F上 全 體 mn矩 陣 的 集 合 ， 對(duì) 任 意 的A,BMmn(F) ， A+B Mmn(F), 對(duì) 任 意 的 k F， kA Mmn(F).并 且 對(duì) 任 意 的 mXn矩 陣 A,B,C及 任 意 的 F中 的 數(shù) a， b， 有1) A+B=B+A ；2)(

6、A+B)+C=A+(B+C) ；3) 0+A=A ；4) 對(duì) 任 意 的 A Mmn(F)， 存 在 B， 使 得 A+B=0 ；5) a(A+B)=aA+aB ；6) (a+b)A=aA+bA ；7) (ab)A=a(bA) ；8) 1A=A . 上 面 例 子 中 涉 及 的 數(shù) 學(xué) 對(duì) 象 不 同 ， 但 它 們 有 共 同 點(diǎn) ，即 都 有 一 個(gè) 非 空 集 合 ， 一 個(gè) 數(shù) 域 ， 有 兩 種 運(yùn) 算 ， 并 且 這 兩種 運(yùn) 算 滿 足 8條 運(yùn) 算 律 。 例 1： C, R a+b， ka 例 2 ： V2 ， R X+Y ， kX 例 3： F nx ， F f(x)+g

7、(x) , kf(x) 例 4： Mmn(F), F A+B， kA - 1) += + ； 2) ( +)+ + (+ ) 3) 0+ = 4) 對(duì) 任 意 ， 存 在 ， 使 得 + = 0， 稱 為 的 負(fù) 元 素 ； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ； 8) 1 = . 二 、 向 量 空 間 的 定 義 定 義 1 設(shè) V是 一 個(gè) 非 空 集 合 ， F是 一 個(gè) 數(shù) 域 . 我們把 V中 的 元 素 用 小 寫 希 臘 字 母 , ， ， 來(lái) 表 示 ，把 F中 的 元 素 用 a， b， c， 來(lái) 表 示 . 如

8、 果 下 列 條 件被 滿 足 ， 就 稱 V是 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 ： 1 V有 一 種 加 法 運(yùn) 算 . 即 對(duì) V中 任 意 兩 個(gè) 元 素 和， 在 V中 有 一 個(gè) 唯 一 確 定 的 元 素 與 之 對(duì) 應(yīng) ， 稱 為 與 的 和 ， 記 為 . 2 有 一 個(gè) F中 元 素 與 V中 元 素 的 乘 法 運(yùn) 算 . 即 對(duì) 于F中 的 任 意 數(shù) a和 V中 的 任 意 元 素 ， 在 V中 有 一 個(gè) 唯一 確 定 的 元 素 與 之 對(duì) 應(yīng) ， 稱 為 a和 的 數(shù) 量 積 ， 記 為a . 3 上 述 加 法 和 數(shù) 量 乘 法 滿 足 下 列 運(yùn) 算 規(guī)

9、律 ： 1) = ； 2) ( ) ( ) ； 3) 在 V中 存 在 一 個(gè) 元 素 0， 使 得 對(duì) 于 任 意 V， 都 有 0 = ,（ 具 有 這 個(gè) 性 質(zhì) 的 元 素 0稱 為 V的 零 元 素 ） ; 4) 對(duì) 于 V中 的 每 一 個(gè) 元 素 ， 存 在 V中 的 元 素 ， 使 得 0,（ 具 有 這 個(gè) 性 質(zhì) 的 元 素 叫 做 的 負(fù) 元 素 ） ; 5) a ( ) = a a ； 6) (a+b) =a b ； 7) (ab) =a (b ) ； 8) 1 = .這 里 ， ， 是 V中 的 任 意 元 素 ， a， b是 F中 的 任 意 數(shù) . 例 5 令 C

10、 a, b為 閉 區(qū) 間 a, b上 所 有 實(shí) 連續(xù) 函 數(shù) 的 集 合 ， R為 實(shí) 數(shù) 域 。 則 C a, b對(duì) 函數(shù) 的 加 法 和 實(shí) 數(shù) 與 函 數(shù) 的 乘 法 運(yùn) 算 作 成 實(shí) 數(shù)域 R上 的 向 量 空 間 .三 、 向 量 空 間 的 例 子 由 例 1、 例 2、 例 3、 例 4及 向 量 空 間 的 定義 知 ， 復(fù) 數(shù) 域 C作 成 實(shí) 數(shù) 域 R上 的 向 量 空 間 ；V2作 成 實(shí) 數(shù) 域 R上 的 向 量 空 間 ； Fnx 作 成 數(shù)域 F上 的 向 量 空 間 ； Mmn (F)作 成 數(shù) 域 F上 的向 量 空 間 。 例 6 設(shè) V為 正 實(shí) 數(shù)

11、集 ， R為 實(shí) 數(shù) 域 ， 在 V中規(guī) 定 加 法 和 數(shù) 量 乘 法 運(yùn) 算 如 下 ： = （ 即 與 的 積 ） k = k （ 即 的 k次 冪 ）其 中 , V, kR. 對(duì) 任 意 的 ， V , kR， 有 = V, = k V. 并 且 ， 對(duì) 任 意 的 , , V， k,m R， 有5) k ( )=k ()=()k= k k=k k ； 4) 對(duì) 任 意 的 V， 存 在 -1 V， 使 得 -1 = -1 =1， -1是 的 負(fù) 向 量 . 1) = = = 2) ( ) =() =() =( )= ( )= ( ) 3) I =1 = ， 1是 V中 的 零 向 量

12、 ； 6) (k+m) = k+m =km=k m 7) (km) =km=(m)k =k m=k (m ) 8) 1 = 1 = . 所 以 ， v對(duì) 我 們 定 義 的 加 法 和 數(shù) 乘 運(yùn) 算 作 成 數(shù) 域 R上 的 向 量 空 間 . 例 7 令 V是 次 數(shù) 等 于 n的 全 體 實(shí) 系 數(shù) 多 項(xiàng)式 組 成 的 集 合 . 因 為 兩 個(gè) n次 多 項(xiàng) 式 的 和 未 必 是 n次 多 項(xiàng) 式 . 例 如 ， f (x) xn 1, g(x) xn+x， 則 f (x)g(x) =x-1， 不 再 是 n次 多 項(xiàng) 式 . 所 以 在 多 項(xiàng) 式 的 加 法 及 數(shù) 與 多 項(xiàng)

13、 式 的 乘 法運(yùn) 算 下 ， V不 是 實(shí) 數(shù) 域 R上 的 向 量 空 間 . 例 8 任 意 數(shù) 域 F總 可 以 看 成 它 自 身 上 的 向 量 空 間 . 例 9 實(shí) 數(shù) 域 中 所 有 收 斂 于 0的 無(wú) 窮 序 列 構(gòu) 成 實(shí) 數(shù) 域 上的 一 個(gè) 向 量 空 間 . 命 題 5.1.1 在 一 個(gè) 向 量 空 間 V中 , 零 向 量 是 唯 一 的 ; 對(duì)于 V中 的 每 一 向 量 , 的 負(fù) 向 量 是 由 唯 一 確 定 的 . 的 負(fù)向 量 記 作 . 命 題 5.1.2 對(duì) 于 任 意 向 量 和 任 意 數(shù) a都 有 :0=0, a0=0.a()=(a) =

14、 a.a=0a=0 或 =0. 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 . 如 果 a是 F中 的 一 個(gè) 數(shù) , 是 V中 的 一 個(gè) 向 量 , 我 們 約 定 a=a. 設(shè) 1, 2, n,是 V中 的 n個(gè) 向 量 , 以 它 們 為 元 素 寫 成 一 個(gè) 1n矩 陣(1, 2, n). 再 設(shè) A是 F上 的 一 個(gè) nm階 矩 陣 . 則 我 們 可 以 像 普 通 矩陣 的 乘 法 一 樣 , 將 (1, 2, n)和 A相 乘 , 但 是 (1, 2, n)A的 結(jié) 果是 一 個(gè) 以 向 量 為 元 素 的 矩 陣 , 即 :(1, 2, n)A=(1, 2, m

15、)其 中 :可 以 證 明 : ( 1, 2, n)(AB)=(1, 2, n)A)B. .1,221111 mjaaaaa nnjjjni jijni ijjj 定 義 1 設(shè) 1, 2, r是 向 量 空 間 V中 的 r個(gè) 向 量 , 對(duì) 于 數(shù) 域 F中 的任 意 r個(gè) 數(shù) a1, a2, ar, 我 們 把 a11+a22+ arr稱 為 1, 2, r的一 個(gè) 線 性 組 合 . 如 果 向 量 等 于 向 量 1, 2, r的 某 個(gè) 線 性 組 合 , 則稱 可 以 由 1, 2, r線 性 表 示 . 定 義 2 設(shè) 1, 2, r是 向 量 空 間 V中 的 r個(gè) 向 量

16、, 如 果 存 在 數(shù) 域 F中 的 r個(gè) 不 全 為 零 的 數(shù) a1, a2, ar, 使 得 a11+a22+ arr=0, 則 稱1, 2, r線 性 相 關(guān) . 否 則 稱 1, 2, r線 性 無(wú) 關(guān) . 例 1 F3中 的 向 量 1=(1,2,3), 2=(2,4,6), 3=(3,5,4)線 性 相 關(guān) . 例 2 判 斷 F3中 的 向 量 1=(1,2,3), 2=(2,1,0), 3=(1,7,9)是 否 線性 相 關(guān) . 例 3 在 向 量 空 間 Fx中 , 對(duì) 任 意 非 負(fù) 整 數(shù) n, 向 量 1, x, , x n都 線性 無(wú) 關(guān) . 命 題 5.2.1 向

17、 量 組 1, 2, r中 每 一 向 量 i都 可 由 這 一 組 向 量線 性 表 示 . 命 題 5.2.2 向 如 果 向 量 可 由 1, 2, r線 性 表 示 , 而 每 一 i又 可由 1, 2, s線 性 表 示 , 那 么 可 由 1, 2, s線 性 表 示 . 命 題 5.2.3 如 果 向 量 組 1, 2, r線 性 無(wú) 關(guān) , 則 它 的 任 意 一部 分 也 線 性 無(wú) 關(guān) . 等 價(jià) 地 ,如 果 向 量 組 1, 2, r有 一 部 分 線 性相 關(guān) , 則 整 個(gè) 向 量 組 1, 2, r線 性 相 關(guān) . 命 題 5.2.4 如 果 向 量 組 1,

18、2, r線 性 無(wú) 關(guān) ,而 向 量 組 1, 2, r,線 性 相 關(guān) , 則 一 定 可 以 由 1, 2, r線 性 表 示 . 定 理 5.2.5 向 量 1, 2, r(r1)線 性 相 關(guān) 的 充 要 條 件 是 其 中 存在 一 個(gè) 向 量 是 其 余 向 量 的 線 性 組 合 . 定 義 3 設(shè) 1, 2, r和 1, 2, s是 兩 個(gè) 向 量 組 . 如 果 每一 個(gè) i都 可 1, 2, s由 線 性 表 示 , 每 一 個(gè) i也 都 可 由 1, 2, r線性 表 示 , 則 稱 這 兩 個(gè) 向 量 組 等 價(jià) . 向 量 組 的 等 價(jià) 具 有 自 反 性 , 對(duì)

19、稱 性和 傳 遞 性 . 例 4 向 量 組 1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2)與 1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1)等 價(jià) . 定 理 5.2.6(替 換 定 理 ) 設(shè) 向 量 組 1, 2, r線 性 無(wú) 關(guān) , 并 且 每一 i都 可 由 向 量 組 1, 2, s線 性 表 示 . 那 么 必 有 rs, 并 且 必 要 時(shí)對(duì) 1, 2, s重 新 編 號(hào) , 使 得 用 1, 2, r替 換 1, 2, r后 所 得向 量 組 1, 2, r, r+1, , s與 1, 2, s等 價(jià) . 推 論 5.2.7 兩 個(gè) 等 價(jià) 的

20、 線 性 無(wú) 關(guān) 的 向 量 組 含 有 相 同 個(gè) 數(shù) 的 向 量 . 定 義 4 向 量 組 1, 2, n一 個(gè) 部 分 向 量 組 稱為 一 個(gè) 極 大 線 性 無(wú) 關(guān) 部 分 組 (簡(jiǎn) 稱 極 大 無(wú) 關(guān) 組 ), 如 果 (i) 線 性 無(wú) 關(guān) ; (ii) 每 一 都 可 以 由 線 性 表 示 . 推 論 5.2.8 兩 個(gè) 等 價(jià) 的 向 量 組 極 大 無(wú) 關(guān) 組 含 有 相 同 個(gè) 數(shù) 的 向 量 . 特 別 地 , 一 個(gè) 向 量 組 的 任 意 兩 個(gè) 極 大 無(wú) 關(guān) 組 含 有 相 同 個(gè) 數(shù) 的 向 量 .riii , 21 riii , 21 riii , 21

21、 定 義 1 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 , V中 滿 足 下 列 條 件 的 向量 組 1, 2, n叫 做 V的 一 個(gè) 基 . (i) 1, 2, n線 性 無(wú) 關(guān) ; (ii) V的 每 一 個(gè) 向 量 都 可 以 由 1, 2, n線 性 表 示 . 例 3 由 例 1已 知 1, 2, n是 Fn的 一 組 生 成 元 . 它 也 是 線 性 無(wú)關(guān) 的 . 因 此 1, 2, n是 Fn的 一 個(gè) 基 . 稱 其 為 Fn的 標(biāo) 準(zhǔn) 基 . 例 4 在 空 間 V2中 , 任 意 兩 個(gè) 不 共 線 的 向 量 1, 2都 構(gòu) 成 它 的 一 個(gè)基 . 在

22、空 間 V3中 , 任 意 三 個(gè) 不 共 面 的 向 量 1,2 ,3都 構(gòu) 成 它 的 一 個(gè) 基 . 例 5 令 M是 數(shù) 域 F上 的 一 切 mn矩 陣 所 成 的 向 量 空 間 . E ij表 示 一 個(gè) mn矩 陣 , 除 第 i行 第 j列 的 的 元 素 是 1外 它 的 其 余 元 素 都 是 0. 則 所有 這 些 Eij(i=1,2,m, j=1,2,.n, 共 mn 個(gè) )是 M的 一 個(gè) 基 . 如 果 一 個(gè) 向 量 空 間 由 有 限 個(gè) 向 量 生 成 , 它 的 基 可 能 不 只 一 個(gè) . 但 是 由 于 所 有 的 基 都 是 等 價(jià) 的 , 且 每

23、 一 基 都 是 線 性 無(wú) 關(guān) 的 . 因 此 由推 論 6.3.7可 知 一 個(gè) 向 量 空 間 的 任 意 兩 個(gè) 基 所 含 的 向 量 的 個(gè) 數(shù) 都 相 等 . 因 此 我 們 可 以 有 如 下 定 義 定 義 2 設(shè) V是 一 個(gè) 由 有 限 個(gè) 向 量 生 成 的 非 零 向 量 空 間 ,它 的 基 所含 向 量 的 個(gè) 數(shù) 叫 做 V的 維 數(shù) . 零 空 間 的 維 數(shù) 定 義 為 0. 如 果 一 個(gè) 向 量空 間 不 能 由 有 限 個(gè) 向 量 生 成 , 則 稱 這 個(gè) 向 量 空 間 是 無(wú) 限 維 的 . 向 量 空間 V的 基 記 作 dimV. 例 6 F

24、x作 為 F上 的 向 量 空 間 不 是 有 限 生 成 的 , 因 而 是 無(wú) 限 維 的 . 定 理 5.3.2 如 果 1, 2, n是 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 基 , 那 么 V的每 一 個(gè) 向 量 都 可 以 唯 一 地 表 示 成 1, 2, n的 線 性 組 合 . 定 理 5.3.3 設(shè) V是 一 個(gè) n維 向 量 空 間 且 rn, 則 V中 任 意 r個(gè) 向 量 都是 線 性 相 關(guān) 的 . 定 理 5.3.4 設(shè) 1, 2, r是 n維 向 量 空 間 V中 的 一 組 線 性 無(wú) 關(guān) 的向 量 , 那 么 總 可 以 添 加 nr個(gè) 向 量 r+1, n使 得

25、1, 2, r, r+1, , n 構(gòu) 成 V的 一 個(gè) 基 . 特 別 地 , n維 向 量 空 間 V中 任 意 n個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 向量 都 構(gòu) 成 V的 一 個(gè) 基 . 定 理 5.3.5 如 果 W 1和 W2是 向 量 空 間 V的 兩 個(gè) 有 限 維 子 空 間 , 那 么 W1+W2也 是 有 限 維 的 , 且dim(W1+W2)=dimW1+dimW2dim(W1W2). 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 n(n 0)維 向 量 空 間 , 1, 2, n是 V的 一 個(gè)基 , 則 V中 的 任 一 向 量 都 可 以 唯 一 地 表 示 成=x11+x22+xnn.因 此

26、 取 定 V的 一 個(gè) 基 1, 2, n后 , V中 每 一 向 量 都 有 唯 一 的 n元數(shù) 列 (x1, x2, , xn)與 它 對(duì) 應(yīng) . 數(shù) xi叫 做 向 量 關(guān) 于 基 1, 2, n的 第i個(gè) 坐 標(biāo) . (x1, x2, , xn)叫 做 向 量 關(guān) 于 基 1, 2, n的 坐 標(biāo) . 例 1 取 定 V3中 三 個(gè) 不 共 面 的 向 量 , 那 么 V3中 的 任 一 向 量 都 可以 唯 一 地 表 示 成 =x11+x22+x33. 關(guān) 于 基 1, 2,3的 坐 標(biāo) 就 是 (x1, x2, x3). 例 2 Fn的 向 量 =(a1, a2, , an)關(guān)

27、于 標(biāo) 準(zhǔn) 基 1, 2, n的 坐 標(biāo) 就是 (a 1, a2, , an). 定 理 5.3.8 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 n(n 0)維 向 量 空 間 , 1, 2, n是V的 一 個(gè) 基 , , V, 它 們 關(guān) 于 基 1, 2, n的 坐 標(biāo) 分 別 是 (x1, x2, , xn)和 (y1, y2, , yn). 那 么 +關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 坐 標(biāo) 就 是 (x1+y1, x2+y2, , xn+yn). 再 設(shè) aF, 則 a關(guān) 于 這 的 基 的 坐 標(biāo) 是 (ax1, ax2, , axn). 設(shè) 1, 2, n和 1, 2, n是 n(n 0)維 向 量 空

28、間 V的 兩 個(gè)基 . 那 么 j可 以 由 1, 2, n線 性 表 示 :其 中 (a1j, a2j, anj )就 是 關(guān) 于 基 1, 2, n的 坐 標(biāo) . 以 這 n個(gè) 坐 標(biāo) 為列 作 一 個(gè) 矩 陣矩 陣 T叫 做 由 基 1, 2, n到 基 1, 2, n的 過 渡 矩 陣 . 利 用 第一 節(jié) 中 的 約 定 , 我 們 知 道 這 兩 個(gè) 基 之 間 的 關(guān) 系 是 :(1, 2, n)=(1, 2, n)T.nnnnnn nn nnaaa aaa aaa 2211 22221122 12211111 nnnn nnaaa aaa aaaT 21 22221 11211

29、 設(shè) V, 它 關(guān) 于 基 1, 2, n和 1, 2, n的 坐 標(biāo) 分 別 是 (x1, x2, , xn)和 (y1, y2, , yn). 則 有比 較 上 面 兩 個(gè) 等 式 可 得 定 理 5.3.9 設(shè) V, 它 關(guān) 于 基 1, 2, n和 基 1, 2, n的坐 標(biāo) 分 別 是 (x1, x2, , xn)和 (y1, y2, , yn). 從 基 1, 2, n到 基1, 2, n的 過 渡 矩 陣 是 T, 則 有 nnnn nnni iinnni ii yyyTyyyT yy yyxxxx 21212121 2121121211 ),(),( ),(,),( .2121

30、 nn yyyTxxx 例 3 設(shè) 1, 2是 V2的 兩 個(gè) 正 交 單 位 向 量 , 則 它 構(gòu) 成 V2的 一 個(gè) 基 . 1, 2分 別 是 由 1, 2旋 轉(zhuǎn) 角 得 到 的 兩 個(gè) 向 量 , 則 它 們 也 構(gòu) 成 V2的 一 個(gè) 基 .我 們 有因 此 從 1, 2到 1, 2的 過 渡 矩 陣 是設(shè) 的 一 個(gè) 向 量 關(guān) 于 1, 2和 1, 2的坐 標(biāo) 分 別 是 x1, x2到 x1, x2, 則 由 定理 5.5.2得 :即 這 就 是 解 析 幾 何 中 旋 轉(zhuǎn) 坐 標(biāo) 軸 的 坐 標(biāo) 變 換 公 式 . cossin sincos 212 211 cossin

31、sincos 2121 cossin sincos xxxx cossin sincos 212 211 xxx xxx 1122 O 設(shè) 從 基 1, 2, n到 基 1, 2, n的 過 渡 矩 陣 是 A,從 基 1, 2, n到 基 1, 2, n的 過 渡 矩 陣 是 B, 則 從 基 1, 2, n到基 1, 2, n的 過 渡 矩 陣 是 AB. 定 理 5.3.10 設(shè) 在 n(n 0)維 向 量 空 間 V中 從 基 1, 2, n到 基1, 2, n的 過 渡 矩 陣 是 A, 則 A是 一 個(gè) 可 逆 矩 陣 , 并 且 從 基 1, 2, n 到 基 1, 2, n的

32、過 渡 矩 陣 是 A1. 任 何 一 個(gè) 可 逆 矩 陣都 可 以 作 為 n(n 0)維 向 量 空 間 中 從 一 個(gè) 基 到 另 一 個(gè) 基 的 過 渡 矩 陣 . 例 4 已 知 R3中 的 向 量 1=(2,1,3), 2=(1,0,1), 3=(2,5,1),證明 1, 2, 3構(gòu) 成 R3的 一 個(gè) 基 , 并 求 向 量 =(4,12,6)關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 坐標(biāo) . 例 5 已 知 R 3的 兩 個(gè) 基1=(3,1,2), 2=(1, 1,1), 3=(2,3,1),1=(1,1,1), 2=(1,2,3), 3=(2,0,1).求 從 1, 2, 3到 1, 2, 3

33、的 過 渡 矩 陣 . 封 閉 性 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 , W是 V的 一 個(gè) 非 空 子 集 . 如 果 W中 任 意 兩 個(gè) 向 量 的 和 仍 是 W中 的 向 量 , 則 稱 W對(duì) 于 V的 加 法 是封 閉 的 ; 如 果 F中 的 任 意 一 個(gè) 數(shù) 與 W中 的 任 意 一 個(gè) 向 量 的 積 仍 是 W 中的 一 個(gè) 向 量 , 則 稱 W對(duì) 于 V的 純 量 乘 法 是 封 閉 的 . 定 理 5.4.1 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 , W是 V的 一 個(gè) 非 空 子集 . 如 果 W對(duì) 于 V的 加 法 及 純 量 乘

34、 法 是 封 閉 的 , 那 么 W本 身 也 是 F上 的一 個(gè) 向 量 空 間 . 定 義 1 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 , W是 V的 一 個(gè) 非 空 子 集 . 如 果 W對(duì) 于 V的 加 法 及 純 量 乘 法 是 封 閉 的 , 則 稱 W是 V的 一 個(gè) 子 空 間 . 例 1 向 量 空 間 V是 其 自 身 的 一 個(gè) 子 空 間 . 僅 由 零 向 量 構(gòu) 成 的 集 合0也 V的 一 個(gè) 子 空 間 , 稱 其 為 零 空 間 . 一 個(gè) 向 量 空 間 本 身 和 零 空 間 叫 做 V的 平 凡 子 空 間 . V的 非 平 凡 子空 間 叫

35、 做 V的 真 子 空 間 . 例 2 在 空 間 V2中 平 行 于 一 條 固 定 直 線 的 向 量 構(gòu) 成 V2的 一 個(gè) 子 空間 . 在 空 間 V3中 平 行 于 一 條 固 定 直 線 或 一 個(gè) 固 定 平 面 的 向 量 分 別 構(gòu)成 V3的 子 空 間 . 例 3 在 Fn中 一 切 形 如 (a1, a2, , an1, 0)的 向 量 構(gòu) 成 Fn的 一 個(gè) 子 空間 . 例 4 Fx中 一 切 次 數(shù) 不 大 于 給 定 整 數(shù) n的 多 項(xiàng) 式 連 同 零 多 項(xiàng) 式 一起 構(gòu) 成 Fx的 一 個(gè) 子 空 間 . 例 5 閉 區(qū) 間 a, b上 的 所 有 可 微

36、 函 數(shù) 的 集 合 構(gòu) 成 Ca, b的 一 個(gè) 子空 間 . 定 理 5.4.2 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 非 空 子 集 W是 V的 一 個(gè) 子 空 間 , 當(dāng) 且僅 當(dāng) 對(duì) 于 a,bF, , W, 都 有 a+bW. 子 空 間 的 交 與 和 設(shè) W 1, W2是 向 量 空 間 V的 兩 個(gè) 子 空 間 , 則 W1 W2及 W1+W2=1+2 | 1W1, 2W2也 V的 子 空 間 , 分 別 稱 為 子 空 間 W1 與 W2的 交 與 和 . 有 限 個(gè) 子 空 間 的 交 仍 是 子 空 間 ,有 限 個(gè) 子 空 間 的 和 仍 是 子 空 間 . 設(shè) V是 數(shù) 域

37、 F上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 , 1, 2, nV. 容 易 證 明 , 1,2, n 的 一 切 線 性 組 合 所 成 的 集 合 是 V的 一 個(gè) 子 空 間 . 我 們 把 這個(gè) 子 空 間 稱 為 由 1, 2, n生 成 的 子 空 間 , 記 作 L(1, 2, n). 把1, 2, n稱 為 這 個(gè) 子 空 間 的 一 組 生 成 元 . 例 1 考 慮 Fn中 如 下 n個(gè) 向 量 : i=(0,0,1,0,0), i=1,2,n, i中除 第 i個(gè) 元 素 是 1外 其 余 位 置 的 元 素 都 是 0. 這 n個(gè) 向 量 是 Fn的 一 組 生 成元 . 例 2

38、考 慮 Fx中 , 由 多 項(xiàng) 式 1, x, , xn生 成 的 子 空 間 是 :L(1, x, , xn)=a0+ a1x+ + anxn|aF這 就 是 Fx的 一 切 次 數(shù) 不 大 于 n的 多 項(xiàng) 式 連 同 零 多 項(xiàng) 式 構(gòu) 成 的 子 空 間 . 定 理 5.5.1 1, 2,n是 一 組 不 全 為 零 的 向 量 , 是 他 的 一 個(gè) 極 大 線 性 無(wú) 關(guān) 組 , 則L(1, 2,n)=L( ). riii , 21 riii , 21 定 義 2 設(shè) W1和 W2是 向 量 空 間 V的 兩 個(gè) 子 空 間 , 如 果 (i) W1+W2 =V; (ii) W1W

39、2 =0;則 稱 W2是 W1的 余 子 空 間 , W1是 W2的 余 子 空 間 . 此 時(shí) 也 稱 V是 W1與 W2的 直 和 , 并 記 作 V=W1W2. 定 理 5.3.6 設(shè) 向 量 空 間 V是 W1與 W2的 直 和 , 那 么 V中 每 一 向 量 都可 以 唯 一 地 表 示 成 =1+ 2, 其 中 1 W1, 2 W2. 定 理 5.3.7 n維 向 量 空 間 V的 每 一 子 空 間 W都 有 余 子 空 間 . 如 果 W是 W的 余 子 空 間 , 那 么 n=dimV=dimW+dimW. 定 義 1 設(shè) V和 W是 數(shù) 域 F上 的 兩 個(gè) 向 量 空

40、間 . V到 W的 一個(gè) 映 射 f叫 做 一 個(gè) 同 構(gòu) 映 射 , 如 果 (1) f是 V到 W是 的 雙 射 ; (2) 對(duì) 于 任 意 , V, f(+)=f()+f(); (3) 對(duì) 于 任 意 aF, V, f(a)=af(). 如 果 數(shù) 域 F上 的 兩 個(gè) 向 量 空 間 V和 W之 間 可 以 建 立 一個(gè) 同 構(gòu) 映 射 , 則 稱 W與 V同 構(gòu) , 數(shù) 記 作 . 定 理 5.5.1 數(shù) 域 F上 的 任 一 n維 向 量 空 間 都 與 F n同 構(gòu) .WV 定 理 5.5.2 設(shè) V和 W是 數(shù) 域 F上 的 兩 個(gè) 向 量 空 間 , f是 V到 W的 一 個(gè)

41、 同 構(gòu) 映 射 . 那 么 : (i) f(0)=0. (ii) 對(duì) 任 意 V, f()=f(). (iii) 對(duì) 任 意 iV,aiV, i=1,2,n,都 有 :f(a11+a22+ann)=a1f(1)+a2f(2)+anf(n). (iv) 1,2,n V線 性 相 關(guān) f(1),f(2),f(n)W線性 相 關(guān) . (v) f的 逆 映 射 f 1是 W到 V的 同 構(gòu) 映 射 . 定 理 5.5.3 數(shù) 域 F上 的 兩 個(gè) 有 限 維 向 量 空 間 同 構(gòu) 的 充 要條 件 是 它 們 有 相 同 的 維 數(shù) . 第 六 章 線 性 方 程 組*6.1 消 元 解 法*6.

42、3 齊 次 線 性 方 程 組 解 的 結(jié) 構(gòu)*6.4 一 般 線 性 方 程 組 解 結(jié) 構(gòu)*6.5 秩 與 線 性 相 關(guān) 性*6.6 特 征 向 量 與 矩 陣 的 對(duì) 角 化 例 1.用 消 元 法 解 線 性 方 程 組 : 2875 342 622 321 321 321 xxx xxx xxx 線 性 方 程 組 的 初 等 變 換 是 指 線 性 方 程 組 的 下 述 三 種 變 換 : 1) 交 換 兩 個(gè) 方 程 的 位 置 2) 用 一 個(gè) 非 零 數(shù) 乘 某 一 個(gè) 方 程 3) 用 一 個(gè) 數(shù) 乘 一 個(gè) 方 程 后 加 到 另 一 個(gè) 方 程 定 理 6.1.1

43、初 等 變 換 把 一 方 程 組 變 一 個(gè) 與 它 同 解 的 方 程 組 . 1.矩 陣 由 st個(gè) 數(shù) cij排 成 的 一 個(gè) s行 t列 的 表 stss ttccc ccc ccc 21 22221 11211叫 做 一 個(gè) s行 t列 (或 st)矩 陣 . cij叫 做 這 個(gè) 矩 陣 的 元 素 . 2. 矩 陣 的 初 等 變 換 矩 陣 的 行 (列 )初 等 變 換 是 指 對(duì) 矩 陣 施 行 的下 列 變 換 之 一 : 1) 交 換 矩 陣 的 兩 行 (列 ); 2) 用 一 個(gè) 非 零 數(shù) 乘 矩 陣 的 某 一 行 (列 ), 即 用 一 個(gè) 非 零 數(shù) 乘

44、 矩 陣的 某 一 行 (列 )的 每 一 元 素 ; 3) 用 某 一 數(shù) 乘 矩 陣 的 某 一 行 (列 )后 加 到 另 一 行 (列 ), 即 用 某 一 數(shù)乘 矩 陣 的 某 一 行 (列 )的 每 一 元 素 后 加 到 另 一 行 (列 )的 對(duì) 應(yīng) 元 素 上 . 定 理 4.1.2 設(shè) A是 一 個(gè) m行 n列的 .21 22221 11211 mnmm nnaaa aaa aaa 和 第 一 種 列 初 等 變 換 可 以 把 A化 為 以下 形 式 : 00 00 *1000 *0 *1 00 00 1000 0010 0001 1, 21,2 11,1 rnrr nr

45、 nr cc cc ccr行矩 陣 : 用 行 初 等 變 換 可 進(jìn) 一 步 化 為 : 1.線 性 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 與 增 廣 矩 陣稱 矩 陣 mnmm nnaaa aaa aaa 21 22221 11211 和 mmnmm nn baaa baaa baaa 21 222221 111211 分 別 為 方 程 組 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111的 系 數(shù) 矩 陣 和 增 廣 矩 陣 . 2.線 性 方 程 組 的 解由 定 理 4.2.1知 , 對(duì) 方 程 組 )1(2211 2

46、2222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的 增 廣 矩 陣 施 行 行 變 換 和 不 涉 及 最 后 一 列 的 列 變 換 , 可 把 該 增 廣 矩 陣化 為 如 下 形 式 : )2(.00 00 1000 0010 0001 11, 221,2 111,1 mrrrnrr nr nr dddcc dcc dcc 而 對(duì) 增 廣 矩 陣 的 行 的 初 等 變 換 就 是 對(duì) 其 對(duì) 應(yīng) 的 方 程 組 的 初 等 變 換 , 而 不 涉 及 最 后 一 列 的 第 一 種 列 變 換 無(wú) 非 是 交 換 兩 個(gè) 未

47、知 數(shù) 的 位 置 . 因 此 矩 陣 (2)就 是 一 個(gè) 與 方 程 組 (1)同 解 的 方 程 組 )3(00 11, 221,2 111,1 112 11 mrrirnirri iniri iniri dddxcxcx dxcxcx dxcxcx nrr nr nr 的 增 廣 矩 陣 . 因 此 要 方 程 組 (1)解 只 需 解 方 程 組 (3). 方 程 組 (3)的 解 有以 下 兩 種 情 形 : 情 形 1. 當(dāng) rm, 且 d r+1, dr+2, , dm不 全 為 零 時(shí) , 方 程 組 (3)無(wú) 解 , 即 方 程 組 (1)無(wú) 解 . 情 形 2. 當(dāng) r=

48、m或 rm而 dr+1, dr+2, , dm全 為 零 時(shí) , 方 程 組 (3)與 )4(112 11 1, 221,2 111,1 rirnirri iniri iniri dxcxcx dxcxcx dxcxcx nrr nr nr 同 解 . 當(dāng) r=n時(shí) , 方 程 組 (4)有 唯 一 解 當(dāng) rn時(shí) , 方 程 組 (4)可 以 寫 為 : .,2,1, ntdx tit )5( 112 11 1, 21,22 11,11 - nrr nr nr irnirrri iniri iniri xcxcdx xcxcdx xcxcdx 此 時(shí) , 給 未 知 量 nrr iii xx

49、x , 21 任 意 指 定 取 值 , 它 們 連 同 它 們 代 入 (5)后 所 決 定 的 riii xxx , 21 將 是 方 程 組 (4), 即 方 程 組 (1)的 解 . 因 此 , 這時(shí) , 方 程 組 (1)有 無(wú) 窮 多 個(gè) 解 . 稱 (5)為 方 程 組 (1)的 一 般 解 . mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 考 慮 線 性 方 程 組 :分 別 用 A和 表 示 它 的 系 數(shù) 矩 陣 和 增 廣 矩 陣 , 用 1, 2, n以 及 表示 增 廣 矩 陣 的 列 向 量

50、. 如 果 方 程 組 有 解 , 則 存 在 數(shù) x1, x2, xn使x11+ x22+ xnn=.所 以 系 數(shù) 矩 陣 的 列 空 間 (的 維 數(shù) )與 增 廣 矩 陣 的 列 空 間 (的 維 數(shù) )相 同 . 即 秩 A=秩 . 反 之 , 如 果 A=秩 ,則 1, 2, n的 一 個(gè) 極 大 無(wú) 關(guān) 組 也是 1, 2, n, 的 一 個(gè) 極 大 無(wú) 關(guān) 組 . 即 可 用 1, 2, n線 性 表 示 . 這 說 明 線 性 方 程 組 有 解 . 我 們 又 一 次 得 到 : 線 性 方 程 組 有 解 的 充 要 條 件 是 它 的 系 數(shù) 矩 陣與 增 廣 矩 陣

51、的 秩 相 同 .A AA 定 理 4.2.2 線 性 方 程 組 有 解 的 充 要 條 件 是 它 的 系數(shù) 矩 陣 和 增 廣 矩 陣 有 相 同 的 秩 . 定 理 4.2.2 如 果 一 個(gè) 線 性 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 和 增廣 矩 陣 有 相 同 的 秩 r, 那 么 當(dāng) r與 這 個(gè) 方 程 組 的 未 知 量 個(gè)數(shù) n相 等 時(shí) , 這 個(gè) 方 程 組 有 唯 一 解 , 當(dāng) rn時(shí) , 方 程 組 有 無(wú)窮 多 解 . 例 2.解 方 程 組 .0563 1242 725 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 例 2.解 方 程 組 .215

52、92 8232 342 532 4321 4321 421 4321 xxxx xxxx xxx xxxx 定 理 4.3.1 設(shè) 線 性 方 程 組 )1(2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 有 解 , 它 的 系 數(shù) 矩 陣 和 增 廣 矩 陣 的 秩 都 是 r0. 那 么 可 以 在 這 個(gè) 方 程組 的 m個(gè) 方 程 中 選 出 r個(gè) 方 程 , 使 得 剩 下 的 mr 個(gè) 方 程 中 的 每 一 個(gè) 都是 這 r個(gè) 方 程 的 結(jié) 果 , 因 而 解 方 程 組 (1)可 以 歸 結(jié) 為 解 由

53、這 r個(gè) 方 程 構(gòu)成 的 方 程 組 . 說 明 : 1) 如 果 方 程 組 (1)的 系 數(shù) 矩 陣 的 秩 是 r, 則 它 有 一 個(gè) r階 子式 D0, 設(shè) D的 元 素 分 別 來(lái) 自 系 數(shù) 矩 陣 的 第 i1, i2, , ir行 , 則 方 程 組 (1)中 的 第 i1, i2, , ir 個(gè) 方 程 就 是 定 理 中 要 找 的 r個(gè) 方 程 . 2) 當(dāng) r=n時(shí) , 線 性 方 程 組 (1)的 公 式 解 由 克 萊 姆 法 則 給 出 3) 當(dāng) r0)維 向 量 空 間 V的 一 個(gè)線 性 變 換 . 如 果 存 在 V的 一 個(gè) 基 使 關(guān) 于 這 個(gè) 基

54、 的矩 陣 具 有 右 面 的 形 式 , 則 稱 可 以 對(duì) 角 化 . 類 似 地如 果 對(duì) 于 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 矩 陣 A, 存 在 數(shù) 域 F上 的一 個(gè) 矩 陣 T, 使 得 T1AT具 有 右 面 的 矩 陣 形 式 , 則 稱 矩 陣 A可 對(duì) 角 化 . 定 理 7.6.1 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 的 維 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 . 如 果1, 2, n是 的 屬 于 不 同 特 征 根 的 特 征 向 量 , 那 么 1, 2, n線 性無(wú) 關(guān) . 推 論 7.6.2 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 的 n(n 0)維 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線 性

55、 變 換 . 如 果 的 特 征 多 項(xiàng) 式 f (x)在 F內(nèi) 有 n個(gè) 單 根 , 那 么 存 在 V的 一 個(gè) 基 , 使 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩 陣 是 對(duì) 角 形 式 . n 00 00 0021 推 論 7.6.3 設(shè) A是 數(shù) 域 F上 的 n 階 矩 陣 . 如 果 A的 特 征 多 項(xiàng) 式 fA (x)在 F內(nèi) 有 n個(gè) 單 根 , 那 么 存 在 一 個(gè) 可 逆 矩 陣 T, 使 設(shè) 是 的 一 個(gè) 特 征 根 , 則 V=| ()=Ker()是 V的 一 個(gè)子 空 間 , 稱 之 為 的 屬 于 特 征 根 的 特 征 子 空 間 . ,特 征 子 空 間 是 的 不

56、 變 子 空 間 . ,特 征 子 空 間 V 的 維 數(shù) 不 大 于 特 征 根 的 重 數(shù) . 推 論 7.6.4 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 的 n(n 0)維 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線 性 變換 . 如 果 1, 2, tF是 的 互 不 相 同 的 特 征 根 , Vi是 的 屬 于 特 征 根i的 特 征 子 空 間 , 那 么 這 些 子 空 間 的 和 W= V1+V2+V t是 直 和 , 且 W在 之 下 不 變 . .00 00 00211 nATT 定 理 7.6.4 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 的 n(n 0)維 向 量 空 間 V的 一個(gè) 線 性 變 換 . 可 對(duì) 角

57、 化 的 充 要 條 件 是 : (i) 的 特 征 多 項(xiàng) 式 的 每 一 根 都 在 F內(nèi) ; (ii) 對(duì) 的 特 征 多 項(xiàng) 式 的 每 一 根 , 特 征 子 空 間 V的 維數(shù) 都 等 于 的 重 數(shù) . 推 論 7.6.4 設(shè) A是 數(shù) 域 F上 的 n(n 0)階 矩 陣 . A可 對(duì) 角 化的 充 要 條 件 是 : (i) A的 特 征 根 都 在 F內(nèi) ; (ii) 對(duì) A的 每 一 特 征 根 , 秩 (IA)=ns, 其 中 s是 的 重?cái)?shù) . 例 1 矩 陣 A= 不 能 對(duì) 角 化 . 10 11 ,將 矩 陣 A對(duì) 角 化 的 步 驟 (參 考 下 一 頁(yè) 圖

58、示 ):(求 出 矩 陣 A的 所 有 特 征 根(如 果 A的 特 征 根 都 在 F內(nèi) , 則 對(duì) 每 一 特 征 根 , 求 出 方 程 組的 一 個(gè) 基 礎(chǔ) 解 系 .(如 果 每 一 個(gè) 特 征 根 對(duì) 應(yīng) 的 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 中 解 的 個(gè) 數(shù) 都 等 于這 個(gè) 特 征 根 的 重 數(shù) , 則 矩 陣 A可 對(duì) 角 化 . 以 這 些 解 向 量 為 列 做 一 個(gè) n階矩 陣 T, 則 TAT就 是 一 個(gè) 對(duì) 角 矩 陣 . 例 2 將 下 面 的 矩 陣 A對(duì) 角 化 . 000)( 21 nxxxAI 163 222 123A tt 2211 1 2 t求

59、特 征 根求 基 礎(chǔ) 解 系求 矩 陣 T, 以 基 礎(chǔ) 解 系 為列 , 同 一 根 的 解必 須 是 相 鄰 的 列T1AT對(duì) 角 線 上 根 的次 序 與 T中 列向 量 對(duì) 應(yīng) 的 根的 次 序 相 同 t的 重 數(shù)2的 重 數(shù)1的 重 數(shù) 第 八 章 歐 氏 空 間*8.1 歐 氏 空 間 的 定 義 及 基 本 性質(zhì)*8.2 度 量 矩 陣 與 正 交 基*8.3 正 交 變 換 與 對(duì) 稱 變 換*8.4 子 空 間 與 正 交 性*8.5 對(duì) 稱 矩 陣 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 8.1 歐 氏 空 間 的 定 義 及 性 質(zhì)歐 氏 空 間 的 定 義 及 性 質(zhì)歐 氏 空 間 的 定

60、義 及 性 質(zhì)+一 . 解 析 幾 何 內(nèi) 容 回 顧+二 . 歐 氏 空 間 的 定 義 空 間 +三 . 內(nèi) 積 的 性 質(zhì)+四 . 向 量 的 長(zhǎng) 度+五 . 向 量 的 夾 角+六 . 向 量 的 距 離 在 空 間 解 析 幾 何 里 , 我 們 在 曾 在 空 間 V3中 定 義 了 兩 個(gè) 向 量 的 內(nèi)積 的 概 念 . V3中 的 兩 個(gè) 向 量 ,的 內(nèi) 積 是 =|cos, 其 中 |和 |分別 表 示 和 的 長(zhǎng) 度 , 表 示 和 的 夾 角 . 內(nèi) 積 是 用 長(zhǎng) 度 和 夾 角 定 義 的 .反 之 , 向 量 長(zhǎng) 度 和 夾 角 也 可 用 內(nèi) 積 來(lái) 刻 劃

61、: 向 量 空 間 是 平 面 空 間 和 立 體 空 間 的 推 廣 . 本 章 的 目 的 是 把 平 面空 間 和 立 體 空 間 中 的 類 似 于 長(zhǎng) 度 ,夾 角 等 的 度 量 性 質(zhì) 推 廣 到 一 般 的 向量 空 間 中 . 我 們 的 思 路 是 先 把 內(nèi) 積 的 概 念 推 廣 到 一 般 的 向 量 空 間 , 再用 內(nèi) 積 定 義 向 量 的 長(zhǎng) 度 ,夾 角 ,距 離 等 概 念 . 為 此 先 回 顧 V3中 內(nèi) 積 的 性質(zhì) : 對(duì) 中 的 任 意 向 量 , , 和 任 意 實(shí) 數(shù) a都 有 : = ; (+)= +; (a)= a(); 若 0則 0.

62、|cos,| 定 義 1 設(shè) V是 實(shí) 數(shù) 域 R上 的 一 個(gè) 向 量 空 間 . 如 果 對(duì) V中 任 一 對(duì) 向量 , 都 有 一 個(gè) 確 定 的 記 作 的 實(shí) 數(shù) 與 它 們 對(duì) 應(yīng) , 并 滿 足 條 件 : 1) =; 2) =+; 3) =a 4) 當(dāng) 0時(shí) , 0.此 處 , , 是 V中 的 任 意 向 量 , a是 任 意 實(shí) 數(shù) , 那 么 稱 為 向 量 與 的 內(nèi) 積 , 稱 V為 關(guān) 于 這 個(gè) 內(nèi) 積 的 一 個(gè) 歐 幾 里 得 空 間 (簡(jiǎn) 稱 歐 氏 空 間 ). 例 1 在 Rn中 , 對(duì) 任 意 向 量 =(x1, x2, , xn), =(y1, y2

63、, , yn)規(guī) 定=x1 y1+x2 y2 +xn yn. 則 Rn關(guān) 于 這 個(gè) 內(nèi) 積 是 歐 氏 空 間 . 例 2 在 R n中 , 對(duì) 任 意 向 量 =(x1, x2, , xn), =(y1, y2, , yn)規(guī) 定=x1 y1+2x2 y2 +nxn yn. 則 Rn關(guān) 于 這 個(gè) 內(nèi) 積 也 是 歐 氏 空 間 . 例 3 對(duì) Ca, b 中 任 意 函 數(shù) f(x), g(x), 規(guī) 定 =則 Ca, b對(duì) 如 此 規(guī) 定 的 內(nèi) 積 來(lái) 說 作 成 歐 氏 空 間 . ba dxxgxf )()( 設(shè) V是 一 個(gè) 歐 氏 空 間 ., V, 都 有 = = 0, 如

64、 果 對(duì) V 都 有 =0, 則 =0. 由 定 義 中 1), 2), 3)得=+;=a;因 此 對(duì) 1, 2, r , 1, 2, sV, a1, a2, ar , b1, b2, bsR,有, ri sj jijisj jjri ii baba 1 111 , 定 義 2 設(shè) 是 歐 氏 空 間 的 一 個(gè) 向 量 , 叫 做 的 長(zhǎng) 度 ， 記作 |. ,對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) a和 向 量 ,有 |a|=|a|, |+|+|. 例 5 令 Rn是 例 1中 的 歐 氏 空 間 , 向 量 =(x1, x2, , xn)的 長(zhǎng) 度 是 : 定 理 8.1.1 在 歐 氏 空 間 中 , 對(duì)

65、 任 意 向 量 ,都 有 :2.當(dāng) 且 僅 當(dāng) 與 線 性 相 關(guān) 時(shí) 等 號(hào) 成 立 . 例 6 (Cauchy不 等 式 )考 慮 例 1的 歐 氏 空 間 Rn, 由 定 理 8.1.1可 知 : 對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) a1, a2, an, b1, b2, bn都 有 : 例 7 (Schwartz不 等 式 ) 考 慮 例 3的 歐 氏 空 間 Ca, b, 對(duì) 區(qū) 間 a,b上 的 任 意 連 續(xù) 函 數(shù) f(x), g(x)都 有 : ,22221,| nxxx )()( 222212222122211 nnnn bbbaaabababa bababa dxxgdxxfdxxgx

66、f )()()()( 22 定 義 3 設(shè) 與 是 歐 氏 空 間 的 兩 個(gè) 非 零 向 量 . 與 的 夾 角 由 以下 公 式 定 義 : 定 義 4 設(shè) 與 是 歐 氏 空 間 的 兩 個(gè) 向 量 , 如 果 =0則 稱 是 與 是 正 交 的 . 定 理 8.1.2 在 歐 氏 空 間 中 , 如 果 向 量 與 向 量 1, 1, r中 的 每一 個(gè) 都 正 交 , 那 么 與 向 量 1, 1, r的 任 意 線 性 組 合 都 正 交 .| ,cos 在 一 個(gè) 歐 氏 空 間 中 , 兩 個(gè) 向 量 與 的 距 離 是 指 向 量 的 長(zhǎng) 度 |, 記 作 d(,). 向 量 的 距 離 具 有 如 下 性 質(zhì) :,當(dāng) 時(shí) , d(,)0;,d(,)=d(,);,d(,)d(,)+d(,). 8.2 度 量 矩 陣 與 正度 量 矩 陣 與 正度 量 矩 陣 與 正 交 基交 基交 基+一 . 正 交 基 的 基 本 概 念+二 . 向 量 在 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 下 的 坐 標(biāo) 和 距 離+三 . 正 交 化 方 法+四 . 正 交 補(bǔ) 與 向 量 的 正 射 影+