聊城大學(xué)《固體物理》第一章1第五節(jié)

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1、第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院3） 微 觀 對 稱 類 型 本 節(jié) 重 點1） 基 本 的 對 稱 操 作 ；2） 宏 觀 對 稱 類 型 ； 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 1、 對 稱 的 概 念 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院鏡 像 (面 ) 旋 轉(zhuǎn)中 心 反 演 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 對 稱 就 是 物 體 相 同 部 分

2、有 規(guī) 律 的 重 復(fù) ， 即 物 體 中 相 同 部 分 ， 通 過 一定 對 稱 操 作 (如 旋 轉(zhuǎn) 、 中 心 反 演 、 鏡 面 )可 以 發(fā) 生 重 復(fù) ； 也 就 是 說 相同 部 分 通 過 一 定 操 作 彼 此 可 以 重 合 起 來 ， 使 圖 形 恢 復(fù) 原 來 的 形 象 。對 稱 操 作 是 指 憑 借 對 稱 要 素 能 夠 使 對 稱 物 體 中 的 各 個 相 同 部 分 ，作 有 規(guī) 律 重 復(fù) 的 變 換 動 作 。對 稱 要 素 則 是 指 在 進 行 對 稱 操 作 時 所 憑 借的 幾 何 要 素 點 、 線 、 面 等 。 即 點 、 線 、面 等

3、 對 稱 要 素 保 持 不 動 。對 稱 定 義點 ： 中 心 點 ； 線 ： 旋 轉(zhuǎn) 軸 線 ； 面 ： 鏡 面 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 2、 晶 體 對 稱 性 的 判 定由 于 晶 體 的 自 限 性 ， 使 得 晶 體 內(nèi) 部 的 原 子 的 規(guī) 則 排 列 反 映 在 晶 體的 宏 觀 形 態(tài) 上 ， 晶 體 表 現(xiàn) 出 宏 觀 對 稱 性 。對 于 外 表 面 具 有 很 多 晶 面 晶 體 ， 往 往 不 能 直 接 判 別 它 對 稱 特 征 ，必 須 經(jīng) 過 測 角 和 投 影 以 后 ， 才 可 對

4、晶 體 對 稱 規(guī) 律 進 行 分 析 研 究 。晶 體 的 極 射 赤 平 投 影 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 通 過 對 大 量 晶 體 進 行 測 角 和 投 影 ， 歸 納 成 32種 典 型 的 宏 觀 對 稱 類型 。 由 于 在 宏 觀 對 稱 類 型 ， 全 部 對 稱 要 素 相 交 于 一 點 (晶 體 中 心 )，在 進 行 對 稱 操 作 時 至 少 有 一 點 不 移 動 ， 因 此 稱 之 為 點 群 。該 點 群 中 的 對 稱 操 作 中 不 包 括 平 移 。 而 若 對 稱 操 作 中 包

5、括 平 移 ，共 構(gòu) 成 了 230中 微 觀 的 對 稱 類 型 。 所 有 以 上 的 對 稱 類 型 都 源 于 以下 基 本 對 稱 操 作 的 組 合 。3、 基 本 的 對 稱 操 作1） 對 稱 操 作 的 變 換 -線 性 變 換和 剛 體 一 樣 ， 晶 格 中 任 何 兩 點 間 的 距 離 ， 在 操 作 前 后 應(yīng) 保 持 不變 ， 在 數(shù) 學(xué) 上 表 示 ， 這 些 操 作 就 是 熟 知 的 線 性 交 換 。 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 ),( 321 xxxX 經(jīng) 過 某 一 對 稱 操 作 ，

6、 把 晶 體 中 任 一 點 變 為 可 以 用 線 性 變 換 來 表 示 。 ),( 321 xxxXx1 x3 x2 （ x1,x2,x3)（ x1,x2,x3)若 采 用 矩 陣 表 示 線 性 變 換 ：AXX 333231 232221 131211 aa aaa aaaA 321xxxX 321 xxxX 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 由 于 操 作 前 后 ， 兩 點 間 的 距 離 保 持 不 變 ， 即232221232221 xxxxxx XXAXAX 而 321321232221 xxxxxxxxx XX

7、xxx 232221 IAA 同 理 XXXXXX 又 AXX 其 中 I是 單 位 矩 陣 ， 所 以 得 出 A為 正 交 矩 陣 。 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 如 令 代 表 矩 陣 A的 行 列 式 ， 則A 1AAIAA 又 AA 12 A 1A2） 簡 單 對 稱 操 作 的 變 換 關(guān) 系 轉(zhuǎn) 動將 某 一 圖 形 繞 X1轉(zhuǎn) 過 角 ， 該 圖 形中 任 一 點 （ x 1,x2,x3)變 為 另 一 點（ x1,x2,x3)， 則 變 換 關(guān) 系 有 ： (x1,x2,x3)(x1,x2,x3)1X 3X

8、2X 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 (x1,x2,x3)(x1,x2,x3)1X 3X 2X11 xx )cos(cos22 xx cos )sinsincos(cos2 x sincos 22 tgxx sincos 32 xx )sin(cos23 xx cos )sincoscos(sin2 x cossin 22 tgxx cossin 32 xx 則 正 交 變 換 321xxx 321xxx cossin0 sincos0 001 333231 232221 131211 aa aaa aaaA 第 六 節(jié) 晶 體

9、的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 正 交 矩 陣 A為 cossin0 sincos0 001A 1A 中 心 反 演 取 中 心 為 原 點 ， 經(jīng) 過 中 心 反 演 后 ， 圖 形 中 任 一 點 （ x1,x2,x3) 變?yōu)?另 一 點 （ -x1,-x2,-x3)， 則 變 換 關(guān) 系 如 下 11 xx 22 xx 33 xx 321xxx 321xxx 100 010 001 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 正 交 矩 陣 A為 1A 100 010 001A 鏡 像 X 1

10、 X3 X2(x1 , x2 , x3)(x1,x2,x3)鏡 像 對 稱 操 作 是 將 圖 形 的 任 一 點(x1,x2,x3) 變 為 另 一 點 (x1 ,x2, x3)，變 換 關(guān) 系 如 下 ：即 以 x3=0面 作 為 鏡 面 。11 xx 22 xx 33 xx 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 則 正 交 變 換 321xxx 321xxx正 交 矩 陣 A為 1A 100 010 001 100 010 001A 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 3

11、） 基 本 的 對 稱 操 作 n度 旋 轉(zhuǎn) 對 稱 軸如 果 晶 體 繞 某 一 對 稱 軸 旋 轉(zhuǎn) =2/n以 后 自 身 能 重 合 ， 則 稱 該 軸 為n度 旋 轉(zhuǎn) 對 稱 軸 。由 于 晶 體 的 對 稱 操 作 并 不 涉 及 到 晶 格 的 平移 ， 在 操 作 時 應(yīng) 至 少 保 持 一 點 不 同 ， 所 以采 用 雙 轉(zhuǎn) 軸 來 推 導(dǎo) 晶 體 旋 轉(zhuǎn) 對 稱 軸 ， 存 在一 定 的 局 限 性 ， 應(yīng) 采 用 單 轉(zhuǎn) 軸 推 導(dǎo) 方 法 。 A 1A BB1 AB由 于 晶 格 周 期 性 的 限 制 ， 晶 體 可 能 的 轉(zhuǎn) 動 討 論 如 下 。 第 六 節(jié) 晶

12、 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院O BA A1 B1 如 圖 A、 O、 B 是 某 一 晶 列 上 相 鄰 的 三 個 格 點 ， 周 期 為 a。如 果 繞 過 O 點 垂 直 于 晶 列 的 轉(zhuǎn) 軸 順 時 針 轉(zhuǎn) 角 ， A轉(zhuǎn) 到 A1， 晶 體自 身 重 合 ， 則 A1點 必 為 一 格 點 。再 繞 過 O 點 的 轉(zhuǎn) 軸 逆 時 針 轉(zhuǎn) 角 ， 晶 體 恢 復(fù) 到 未 轉(zhuǎn) 動 時 的 狀 態(tài) ，但 此 時 B處 格 點 轉(zhuǎn) 到 B 1點 ， 則 B1處 必 為 一 格 點 。可 以 知 道 AB/A1B1， 平 行 晶 列 具 有

13、 相 同 的 周 期 ， 則 有 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 |cos|211 amaBA O BAA1 B1 12/|cos| m其 中 m為 正 整 數(shù) 或 零,2m ,1cos 2,1m ,21cos 35,34,32,3 ,0m ,0cos 23,2 因 為 順 時 (或 逆 時 )針 轉(zhuǎn) 動 分 別 等 價 于 逆 時 (或 順 時 )針轉(zhuǎn) 動 ， 所 以 晶 格 轉(zhuǎn) 動 的 獨 立 轉(zhuǎn) 角 為 ：35,23,34 3,2,32 3,2,32,2 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與

14、 信 息 工 程 學(xué) 院 3,2,32,2 n 26,4,3,2,1n晶 體 中 允 許 的 旋 轉(zhuǎn) 對 稱 軸 只 能 是 1， 2， 3， 4， 6度 軸 。對 稱 軸的 度 數(shù) n 2 3 4 6符 號 對 稱 軸 度 數(shù) 的 符 號 表晶 體 中 對 稱 軸 的 度 數(shù) 常 用 不 同 的 符 號 代 表 ， 如 下 表 所 示 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 晶 體 中 不 存 在 5度 或 6度 以 上 的 轉(zhuǎn) 軸 。上 述 結(jié) 果 也 可 以 直 觀 的 理 解 為 ：長 方 形 、 正 三 邊 形 、 正 方 形

15、、 正六 邊 形 可 以 在 平 面 內(nèi) 周 期 性 的 重復(fù) 排 列 ， 而 不 留 空 隙 ， 但 正 五 邊形 卻 不 能 相 互 緊 密 排 列 做 重 復(fù) 排列 而 不 留 空 隙 ， 因 此 晶 體 中 不 存在 5度 的 轉(zhuǎn) 軸 。 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 n度 旋 轉(zhuǎn) -反 演 軸若 繞 某 一 固 定 軸 u旋 轉(zhuǎn) 2/n角 度 以 后 ， 再 經(jīng) 中 心 反 演 (即 x -x，y -y， z -z)， 晶 體 能 夠 自 身 重 合 ， 則 稱 u為 n度 旋 轉(zhuǎn) -反 演 軸 。這 樣 的 對 稱

16、軸 只 有 1， 2， 3， 4， 6度 。 為 了 區(qū) 別 于 轉(zhuǎn) 軸 ， 在 軸 的 度次 上 加 “ -” 來 表 示 旋 轉(zhuǎn) -反 演 軸 。 即 。12 i1 12 m2 1 6,4,3,2,1 125 4 3 6i33 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 6=3+m12 345 66 123 45 1 2 3443 1 42 AB DCE F GH CA DG FH EB正 四 面 體 既 無 四 度 軸 也 無 對 稱 心 ， 是 基 本 的 對 稱 操 作 。4總 上 所 述 ， 晶 體 的 宏 觀 對 稱 性 中 有

17、 以 下 八 種 的 基 本 對 稱 操 作 ， 即 41， 2， 3， 4， 6， i， m， 。 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 所 有 點 對 稱 操 作 都 可 由 這 8種 操 作 或 它 們 的 組 合 來 完 成 。 一 個 晶體 的 全 部 對 稱 操 作 構(gòu) 成 一 個 群 ， 每 個 操 作 都 是 群 的 一 個 元 素 。 對稱 性 不 同 的 晶 體 屬 于 不 同 的 群 。 由 旋 轉(zhuǎn) 、 中 心 反 演 、 鏡 象 和 旋 轉(zhuǎn)-反 演 點 對 稱 操 作 構(gòu) 成 的 群 ， 全 部 對 稱 要 素

18、相 交 于 一 點 (晶 體 中心 )， 在 進 行 對 稱 操 作 時 至 少 有 一 點 不 移 動 ， 稱 之 為 點 群 。 理 論 證 明 ， 所 有 晶 體 只 有 32種 點 群 ， 即 只 有 32種 不 同 的 點 對稱 操 作 類 型 。 這 種 對 稱 性 在 宏 觀 上 表 現(xiàn) 為 晶 體 外 形 的 對 稱 及 物 理性 質(zhì) 在 不 同 方 向 上 的 對 稱 性 。 所 以 又 稱 宏 觀 對 稱 性 。 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 如 果 考 慮 晶 格 平 移 ， 多 出 以 下 兩 類 微 觀

19、 對 稱 操 作 類 型 ： n度 螺 旋軸 和 滑 移 反 映 面 。 n度 螺 旋 軸一 個 n度 螺 旋 軸 u表 示 繞 軸 每 轉(zhuǎn) 2/ n角度 后 ， 再 沿 該 軸 的 方 向 平 移 T/n 的 l倍 ，則 晶 體 中 的 原 子 和 相 同 的 原 子 重 合 。其 中 ， l為 小 于 n 的 整 數(shù) ， T為 沿 u軸 方向 上 的 周 期 矢 量 。 晶 體 也 只 有 1， 2， 3，4， 6度 螺 旋 軸 。 n=4， l=1。 如 圖 4度 螺旋 軸 ， 由 A A 4 。 1AA1 2A23A34 A4 Tu 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué)

20、物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 滑 移 反 映 面一 個 滑 移 反 映 面 表 示 經(jīng) 過 該 面 的 鏡 像 操 作 后 ， 再 沿 平 行 于 該 面 的某 個 方 向 平 移 T/n 的 距 離 ， 晶 體 中 的 原 子 和 相 同 的 原 子 重 合 。 其中 ， T是 該 方 向 上 的 周 期 矢 量 ， n為 2或 4。如 圖 表 示 一 滑 移 反 映 面 MM。 n=2 A A A1A1A2 A2MM 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 32種 點 群 對 應(yīng) 于 晶 體 32種 宏 觀 的 對 稱

21、性 ， 再 加 上 n度 螺 旋 軸 和 滑移 反 映 面 平 移 對 稱 操 作 ， 經(jīng) 過 不 同 組 合 就 可 以 導(dǎo) 出 230種 空 間 群 。每 種 空 間 群 對 應(yīng) 于 一 種 特 殊 的 晶 體 結(jié) 構(gòu) 。4、 空 間 群空 間 群 分 為 兩 類 ： 一 類 稱 為 簡 單 空 間 群 或 點 空 間 群 ； 一 類 稱 為復(fù) 雜 空 間 群 或 非 點 空 間 群 。 所 謂 點 空 間 群 是 由 一 個 點 群 和 一 個 平 移 群 對 稱 操 作 而 成 的 。 它 的一 般 操 作 可 以 寫 成 )|( 321 llltR 第 六 節(jié) 晶 體 的 對 稱 性

22、 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 其 中 表 示 點 群 對 稱 操 作 ， 代 表 平 移 對 稱 操 作 。 簡 單 晶 格所 具 有 的 空 間 群 屬 于 點 空 間 群 。 此 外 ， 一 些 復(fù) 式 晶 格 的 空 間 群也 屬 于 點 空 間 群 。 共 有 73種 點 空 間 群 。R 321 lllt復(fù) 雜 空 間 群 ： 復(fù) 雜 空 間 群 的 對 稱 操 作 可 以 有 更 一 般 的 形 式 ：)|( tR其 中 表 示 點 群 操 作 ， 但 代 表 不 是 整 數(shù) 晶 格 矢 量 平 移 對 稱 操 作 。R t 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié)

23、構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 baaccb 與與與 , cba , 分 別 為取 為 晶 胞 的 三 個 方 向 基 矢 ， 間 的 夾 角 。 , a bc 按 照 基 矢 和 基 矢 之 間 夾 角 的 特 點 ， 晶 體 可以 分 為 七 大 晶 系 ； 按 照 晶 胞 上 格 點 的 分 布特 點 ， 晶 體 結(jié) 構(gòu) 又 分 為 14種 布 喇 菲 格 子 。 簡 單 三 斜1、 三 斜 晶 系 ： ,cba 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié) 構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 090,cba2、 單 斜 晶

24、系 ：3、 三 角 晶 系 ： 00 12090 cba 簡 單 單 斜 底 心 單 斜三 角 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié) 構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 4、 正 交 晶 系 ： 090 ,cba5、 四 方 晶 系 090 cba簡 單 正 交 底 心 正 交 體 心 正 交 面 心 正 交簡 單 四 方 體 心 四 方 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié) 構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 6、 六 角 晶 系 ： 00 12090 cba7、 立 方 晶 系 ： 090 cba 簡 單 立 方 體 心 立 方 面 心

25、立 方六 角 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié) 構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院七 個 晶 系 分 別 屬 于 低 、 中 、 高 級 三 個 晶 族 。 低 級 晶 族 的 三 斜 晶 系(無 對 稱 軸 和 對 稱 面 )、 單 斜 晶 系 (二 次 軸 和 對 稱 面 各 不 多 于 一 個 )和正 交 晶 系 (二 次 軸 或 對 稱 面 多 于 一 個 )； 屬 于 中 級 晶 族 的 四 方 晶 系(有 一 個 四 次 軸 )、 三 角 晶 系 (有 一 個 三 次 軸 )和 六 角 晶 系 (有 一 個 六 次軸 )； 屬 于 高 級 晶 族 的

26、立 方 晶 系 (有 四 個 三 次 軸 )。 另 外 ， 根 據(jù) 是 否 有 高 次 軸 以 及 有 一 個 或 多 個 高 次 軸 ， 把 32個 宏 觀對 稱 型 歸 納 為 低 、 中 、 高 級 三 個 晶 族 。 依 照 低 、 中 、 高 級 三 個 晶族 ， 對 稱 性 提 高 。 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié) 構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 a立 方aa aaa 三 方三 斜 a bc正 交a bca bc 單 斜a aac 六 方 a a c四 方 第 七 節(jié) 晶 格 結(jié) 構(gòu) 的 分 類 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 A B C 解 答 ： 在 布 喇 菲 點 陣 中 每 一 個 陣 點具 有 完 全 相 同 的 周 圍 環(huán) 境 ， 而 密 排六 方 晶 胞 內(nèi) 的 原 子 與 晶 胞 角 上 的 原子 具 有 不 同 的 周 圍 環(huán) 境 （ 如 原 子 A和 B） 。 在 AB原 子 的 延 長 線 上 取BC=AB， 然 而 C點 卻 無 原 子 。問 題 ： 為 什 么 密 排 六 方 結(jié) 構(gòu) 不 能 稱 為 一 種 布 喇 菲 點 陣 ？