矢量分析與場(chǎng)論

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1、電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波鞠 秀 妍 課 程 體 系 電 磁 理 論電 磁 基 本 理 論 電 磁 工 程電 磁 場(chǎng) 源 與 場(chǎng)的 關(guān) 系 電 磁 波 在 空 間傳 播 的 基 本 規(guī) 律 產(chǎn) 生 、 輻 射 、傳 播 、 接 收電 磁 干 擾 電 磁 兼 容 各 方 面 的 應(yīng) 用 l 抽 象 看 不 見(jiàn) 、 摸 不 著l 復(fù) 雜 時(shí) 域 、 頻 域 、 空 域 、 極 化l 要 求 具 有 較 濃 厚 的 數(shù) 學(xué) 功 底 和 較 強(qiáng) 的 空 間 想 像力l 應(yīng) 用 廣 泛課 程 特 點(diǎn) 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 發(fā) 展 史l 1785年 法 國(guó) 庫(kù) 侖 (17361806)定 律l 1820

2、年 丹 麥 奧 斯 特 (17771851)發(fā) 現(xiàn) 電 流 的 磁 場(chǎng)l 1820年 法 國(guó) 安 培 (17751836)電 流 回 路 間 作 用 力l 1831年 英 國(guó) 法 拉 第 電 磁 感 應(yīng) 定 律 變 化 的 磁 場(chǎng) 產(chǎn) 生 電 場(chǎng)l 1873年 英 國(guó) 麥 克 斯 韋 (18311879) 位 移 電 流 時(shí) 變 電 場(chǎng) 產(chǎn) 生 磁 場(chǎng) 麥 氏 方 程 組l 1887年 德 國(guó) 赫 茲 (18571894) 實(shí) 驗(yàn) 證 實(shí) 麥 氏 方 程 組 電 磁 波 的 存 在 l 近 代 俄 國(guó) 的 波 波 夫 和 意 大 利 的 馬 可 尼 電 磁 波 傳 消 息l 無(wú) 線 電l 當(dāng)

3、今 電 信 時(shí) 代 “電 ” 、 “ 光 ” 通 信 電 磁 應(yīng) 用l 射 線l 醫(yī) 療 上 用 射 線 作 為 “ 手 術(shù) 刀 ” 來(lái) 切 除 腫 瘤 l x 射 線l 醫(yī) 療 、 飛 機(jī) 安 檢 ， X射 線 用 于 透 視 檢 查l 紫 外 線l 醫(yī) 學(xué) 殺 菌 、 防 偽 技 術(shù) 、 日 光 燈l 可 見(jiàn) 光 l 七 色 光 (紅 、 橙 、 黃 、 綠 、 青 、 藍(lán) 、 紫 ） l 紅 外 線l 在 特 定 的 紅 外 敏 感 膠 片 上 能 形 成 熱 成 像 （ 熱 感 應(yīng) ）l 微 波l 軍 事 雷 達(dá) 、 導(dǎo) 航 、 電 子 對(duì) 抗l 微 波 爐l 無(wú) 線 電 波l 通 信

4、 、 遙 感 技 術(shù) 本 章 主 要 內(nèi) 容l 1、 矢 量 及 其 代 數(shù) 運(yùn) 算l 2、 圓 柱 坐 標(biāo) 系 和 球 坐 標(biāo) 系l 3、 矢 量 場(chǎng)l 4、 標(biāo) 量 場(chǎng)l 5、 亥 姆 霍 茲 定 理 1.1矢 量 及 其 代 數(shù) 運(yùn) 算l 1.1.1標(biāo) 量 和 矢 量 電 磁 場(chǎng) 中 遇 到 的 絕 大 多 數(shù) 物 理 量 ， 能 夠 容 易 地 區(qū) 分為 標(biāo) 量 （ Scalar） 和 矢 量 (Vector)。 一 個(gè) 僅 用 大 小 就 能夠 完 整 描 述 的 物 理 量 稱 為 標(biāo) 量 ， 例 如 ， 電 壓 、 溫 度 、時(shí) 間 、 質(zhì) 量 、 電 荷 等 。 實(shí) 際 上 ，

5、 所 有 實(shí) 數(shù) 都 是 標(biāo) 量 。 一 個(gè) 有 大 小 和 方 向 的 物 理 量 稱 為 矢 量 ， 電 場(chǎng) 、 磁 場(chǎng) 、力 、 速 度 、 力 矩 等 都 是 矢 量 。 例 如 ， 矢 量 A可 以 表 示成 A=aA 其 中 ， A是 矢 量 A的 大 小 ; a代 表 矢 量 A的 方 向 ， a=A/A其 大 小 等 于 1。 一 個(gè) 大 小 為 零 的 矢 量 稱 為 空 矢 （ Null Vector） 或 零 矢（ Zero Vector） ， 一 個(gè) 大 小 為 1的 矢 量 稱 為 單 位 矢 量（ Unit Vector） 。 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 用 單

6、 位 矢 量 ax、ay、 az表 征 矢 量 分 別 沿 x、 y、 z軸 分 量 的 方 向 。 空 間 的 一 點(diǎn) P(X,Y,Z)能 夠 由 它 在 三 個(gè) 相 互 垂 直 的 軸 線上 的 投 影 唯 一 地 被 確 定 ， 如 圖 1-1所 示 。 從 原 點(diǎn) 指 向點(diǎn) P的 矢 量 r稱 為 位 置 矢 量 (Position Vector)， 它 在 直 角坐 標(biāo) 系 中 表 示 為 r=a xX+ayY+azZ P(X, Y, Z) z Z y x X Y O r az ax ay圖 1-1 直 角 坐 標(biāo) 系 中 一 點(diǎn) 的 投 影 X、 Y、 Z是 位 置 矢 量 r在

7、x、 y、 z軸 上 的 投 影 。任 一 矢 量 A在 三 維 正 交 坐 標(biāo) 系 中 都 可 以 給 出 其 三個(gè) 分 量 。 例 如 ， 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 矢 量 A的 三 個(gè)分 量 分 別 是 Ax、 Ay、 Az， 利 用 三 個(gè) 單 位 矢 量 ax、ay、 az 可 以 將 矢 量 A表 示 成 ： A=axAx+ayAy+azAz 矢 量 A的 大 小 為 A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.2矢 量 的 加 法 和 減 法 矢 量 相 加 的 平 行 四 邊 形 法 則 ， 矢 量 的 加 法 的 坐標(biāo) 分 量 是 兩 矢 量 對(duì) 應(yīng) 坐 標(biāo) 分

8、 量 之 和 ， 矢 量 加 法的 結(jié) 果 仍 是 矢 量 1.1.3矢 量 的 乘 積矢 量 的 乘 積 包 括 標(biāo) 量 積 和 矢 量積 。 1） 標(biāo) 量 積任 意 兩 個(gè) 矢 量 A與 B的 標(biāo) 量 積(Scalar Product)是 一 個(gè) 標(biāo) 量 ， 它 等 于 兩 個(gè) 矢 量 的 大 小 與 它們 夾 角 的 余 弦 之 乘 積 ， 如 圖1-2所 示 ， 記 為 AB=AB cos Bcos A B 圖 1-2 標(biāo) 量 積 例 如 ， 直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 單 位 矢 量 有 下 列 關(guān) 系式 ： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任

9、意 兩 矢 量 的 標(biāo) 量 積 ， 用 矢 量 的 三 個(gè) 分 量 表示 為 AB=AxBx+AyBy+AzBz 標(biāo) 量 積 服 從 交 換 律 和 分 配 律 ， 即 AB=BA A(B+C)=AB+AC 2） 矢 量 積 任 意 兩 個(gè) 矢 量 A與 B的 矢 量 積 （ Vector Product）是 一 個(gè) 矢 量 ， 矢 量 積 的 大 小 等 于 兩 個(gè) 矢 量 的 大小 與 它 們 夾 角 的 正 弦 之 乘 積 ， 其 方 向 垂 直 于 矢量 A與 B組 成 的 平 面 ， 如 圖 1-3所 示 ， 記 為 C=A B=anAB sin an=aA aB （ 右 手 螺 旋

10、 ） C B A a n a B a A O CAB B A (a) (b) 圖 1 - 3 矢 量 積 的 圖 示 及 右 手 螺 旋 (a) 矢 量 積 (b) 右 手 螺 旋 矢 量 積 又 稱 為 叉 積 (Cross Product)， 如 果 兩 個(gè) 不為 零 的 矢 量 的 叉 積 等 于 零 ， 則 這 兩 個(gè) 矢 量 必 然相 互 平 行 ， 或 者 說(shuō) ， 兩 個(gè) 相 互 平 行 矢 量 的 叉 積一 定 等 于 零 。 矢 量 的 叉 積 不 服 從 交 換 律 ， 但 服從 分 配 律 ， 即 A B= -B A A (B+C)=A B+A C 直 角 坐 標(biāo) 系 中

11、的 單 位 矢 量 有 下 列 關(guān) 系 式 ： ax ay=az, ay az=ax, az ax=ay ax ax=ay ay=az az= 0 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 矢 量 的 叉 積 還 可 以 表 示 為 zyx zyx BBB AAA zyx aaaBA =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)ya 結(jié) 論l 矢 量 的 加 減 運(yùn) 算 同 向 量 的 加 減 ， 符 合 平 行 四 邊形 法 則l 任 意 兩 個(gè) 矢 量 的 點(diǎn) 積 是 一 個(gè) 標(biāo) 量 ， 任 意 兩 個(gè) 矢量 的 叉 積 是 一 個(gè) 矢 量l 如 果 兩 個(gè)

12、不 為 零 的 矢 量 的 點(diǎn) 積 等 于 零 ， 則 這 兩個(gè) 矢 量 必 然 互 相 垂 直l 如 果 兩 個(gè) 不 為 零 的 矢 量 的 叉 積 等 于 零 ， 則 這 兩個(gè) 矢 量 必 然 互 相 平 行 1.2 圓 柱 坐 標(biāo) 系 和 球 坐 標(biāo) 系l 1.2.1 圓 柱 坐 標(biāo) 系l 空 間 任 一 點(diǎn) P的 位 置 可 以 用 圓 柱 坐 標(biāo) 系 中 的 三 個(gè) 變 量 來(lái) 表 示 。 l 圓 柱 坐 標(biāo) 系 中 也 有 三 個(gè) 相 互垂 直 的 坐 標(biāo) 面 。l 平 面 表 示 一 個(gè) 以 z軸 為 軸 線 的 半 徑為 的 圓 柱 面 。 平 面 表 示 一 個(gè) 以 z為 界

13、 的 半 平 面 。 平 面 z=常 數(shù) 表 示 一 個(gè) 平 行 于xy平 面 的 平 面 。2 2x y arctan( )yx 00 2z l 圓 柱 坐 標(biāo) 系 中 的 三 個(gè) 單 位 矢 量 為 ,分 別 指向 增 加 的 方 向 。 三 者 始 終 保 持 正 交 關(guān) 系 。（ 課 本 P4）l 圓 柱 坐 標(biāo) 系 的 位 置 矢 量l 圓 柱 坐 標(biāo) 系 中 的 單 位 矢 量 與 直 角 坐 標(biāo) 系 的 單 位 矢量 之 間 的 關(guān) 系 ： , , za a a z zr a acos sin x ya a a( sin ) cos x ya a a l 矩 陣 形 式 ： co

14、s sinsin cos0 0 xyzaaa zaaa l 三 個(gè) 坐 標(biāo) 面 的 面 元 矢 量 與 體 積 元 ：zzd dl dl d dzd dl dl d dzd dl dl d ddV d d dz z z zS a aS a aS a a 1.2.2球 坐 標(biāo) 系 ：l 球 坐 標(biāo) 系 中 ， 空 間 任 意 一 點(diǎn) P可 用 三 個(gè) 坐 標(biāo) 變 量 （ )來(lái) 表 示 。,r l 球 坐 標(biāo) 系 也 有 三 個(gè) 坐 標(biāo) 面 ： 表 示 一 個(gè) 半 徑 為 r的 球 面 。 坐 標(biāo) 面 =常 數(shù) ， 表 示 一 個(gè) 以 原 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 、 以 z軸為 軸 線 的 圓 錐 面 。

15、 坐 標(biāo) 面 表 示 一 個(gè) 以 z軸 為 界 的 半 平 面 。 2 2 2r x y z arctan( )yx 000 2r l 球 坐 標(biāo) 系 的 位 置 矢 量 可 表 示 為 ：l 球 坐 標(biāo) 系 中 的 三 個(gè) 單 位 矢 量 互 相 正 交 ， 遵 守 右 手螺 旋 法 則 。 （ 課 本 P6） r rr a l 球 坐 標(biāo) 系 與 直 角 坐 標(biāo) 系 的 單 位 矢 量 的 轉(zhuǎn) 換 ：sin cos cos cos sinsin sin cos sin coscos sin xyzaaa raaa l 面 元 矢 量 和 體 積 元 ： 2 2 sinsinsinrrrd

16、dl dl r d dd dl dl r drdd dl dl rdrddV dl dl dl r drd d r r rS a aS a aS a a 1.3 矢 量 場(chǎng)1.3.1矢 量 場(chǎng) 的 矢 量 線 矢 量 場(chǎng) 空 間 中 任 意 一 點(diǎn) P處 的 矢 量 可 用 一個(gè) 矢 性 函 數(shù) A=A（ P） 來(lái) 表 示 。 直 角 坐 標(biāo)中 ， 可 以 表 示 成 如 下 形 式 ： ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y zA x y z A x y z A x y z x y zA a a a l 矢 量 線 ： 在 曲 線 上 的 每一 點(diǎn) 處 ， 場(chǎng) 的 矢 量 都

17、 位于 該 點(diǎn) 處 的 切 線 上 。 如電 力 線 ， 磁 力 線 等 。l 矢 量 線 方 程 ：l 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 其 表 達(dá)式 為 ：l 0A dr x y zdx dy dzA A A 0d A r 例 1-2 求 矢 量 場(chǎng) A=xy2ax+x2yay+zy2az的 矢 量 線 方 程 。解 ： 矢 量 線 應(yīng) 滿 足 的 微 分 方 程 為 zydzyxdyxydx 222 zydzxydx yxdyxydx 22 22 222 1 cyx xcz從 而 有 解 之 即 得 矢 量 方 程 c1和 c2是 積 分 常 數(shù) 。 1.3.2矢 量 場(chǎng) 的 通 量 及 散

18、度將 曲 面 的 一 個(gè) 面 元 用 矢 量 dS來(lái) 表 示 ， 其 方 向 取 為 面 元 的 法 線 方向 ， 其 大 小 為 dS， 即 d dss nn是 面 元 法 線 方 向 的 單 位 矢 量 。A與 面 元 dS的 標(biāo) 量 積 稱 為 矢 量 場(chǎng) A穿 過(guò) dS的 通 量cosd A dS A S 將 曲 面 S各 面 元 上 的 AdS相 加 ， 它 表 示 矢 量 場(chǎng) A穿 過(guò) 整 個(gè) 曲面 S的 通 量 ， 也 稱 為 矢 量 A在 曲 面 S上 的 面 積 分 ： 如 果 曲 面 是 一 個(gè) 封 閉 曲 面 ， 則 coss sd A dS A S cos s sd A

19、 dS A S l 2、 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 zayaxa zyx 哈 米 爾 頓 （ H amilton） 算 子 為 了 方 便 ， 引 入 一 個(gè) 矢 性 微 分 算 子 ： 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 稱 之 為 哈 米 爾 頓 算 子 ， 是 一 個(gè) 微分 符 號(hào) ， 同 時(shí) 又 要 當(dāng) 作 矢 量 看 待 。 算 子 與 矢 性 函數(shù) A的 點(diǎn) 積 為 一 標(biāo) 量 函 數(shù) 。 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 散度 的 表 達(dá) 式 可 以 寫 為 結(jié) 論l divA是 一 標(biāo) 量 ， 表 示 場(chǎng) 中 一 點(diǎn) 處 的 通 量 對(duì) 體積 的 變 化 率 ， 即 在 該 點(diǎn) 處 對(duì) 一

20、 個(gè) 單 位 體 積 來(lái) 說(shuō)所 穿 出 的 通 量 ， 稱 為 該 點(diǎn) 處 源 的 強(qiáng) 度 。l 它 描 述 的 是 場(chǎng) 分 量 沿 各 自 方 向 上 的 變 化 規(guī) 律 。l 當(dāng) divA0， 表 示 矢 量 場(chǎng) A在 該 點(diǎn) 處 有 散 發(fā) 通 量的 正 源 ， 稱 為 源 點(diǎn) ； divA0,表 示 矢 量 場(chǎng) A在該 點(diǎn) 處 有 吸 收 通 量 的 負(fù) 源 ， 稱 為 匯 點(diǎn) ；divA=0， 矢 量 場(chǎng) A在 該 點(diǎn) 處 無(wú) 源 。l divA0的 場(chǎng) 是 連 續(xù) 的 或 無(wú) 散 的 矢 量 場(chǎng) 。 l 3、 高 斯 散 度 定 理l 矢 量 場(chǎng) 散 度 的 體 積 分 等 于 矢

21、 量 場(chǎng) 在 包 圍 該 體 積的 閉 合 面 上 的 法 向 分 量 沿 閉 合 面 的 面 積 分 .V SdV d A A S 例 :球 面 S上 任 意 點(diǎn) 的 位 置 矢 量 為 r=xax+yay+zaz， 求 解 ： 根 據(jù) 散 度 定 理 知 而 r的 散 度 為 3 zzyyxxr所 以 s vdS dV rs dSr 33s v vd dV dV R r S l 1.3.2矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 量 及 旋 度l 1、 環(huán) 量 的 定 義 設(shè) 有 矢 量 場(chǎng) A， l為 場(chǎng) 中 的 一 條 封 閉 的 有 向 曲 線 ，定 義 矢 量 場(chǎng) A環(huán) 繞 閉 合 路 徑 l的 線 積

22、 分 為 該 矢 量 的環(huán) 量 ， 記 作 矢 量 的 環(huán) 量 和 矢 量 穿 過(guò) 閉 合 面 的 通 量 一 樣 ， 都 是描 繪 矢 量 場(chǎng) A性 質(zhì) 的 重 要 物 理 量 ， 同 樣 都 是 積 分量 。 為 了 知 道 場(chǎng) 中 每 個(gè) 點(diǎn) 上 旋 渦 源 的 性 質(zhì) ， 引 入矢 量 場(chǎng) 旋 度 的 概 念 。若 環(huán) 量 不 等 于 0， 則 在 L內(nèi) 必 然 有 產(chǎn) 生 這 種 場(chǎng)的 旋 渦 源 ， 若 環(huán) 量 等 于 0， 則 在 L內(nèi) 沒(méi) 有 旋 渦源 。 cosl ld A dl A l 矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 量 zx yO ldl AP nPl S 閉 合 曲 線 方 向 與

23、 面 元 的 方 向 示 意 圖 2、 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度l 1） 旋 度 的 定 義 設(shè) P為 矢 量 場(chǎng) 中 的 任 一 點(diǎn) ， 作 一 個(gè) 包 含 P點(diǎn) 的 微小 面 元 S， 其 周 界 為 l， 它 的 正 向 與 面 元 S的法 向 矢 量 n成 右 手 螺 旋 關(guān) 系 。 當(dāng) 曲 面 S在 P點(diǎn)處 保 持 以 n為 法 矢 不 變 的 條 件 下 ， 以 任 意 方 式縮 向 P點(diǎn) ， 取 極 限lim lS P dS A l 若 極 限 存 在 ， 則 稱 矢 量 場(chǎng) A沿 L正 向 的 環(huán) 量 與面 積 S之 比 為 矢 量 場(chǎng) 在 P點(diǎn) 處 沿 n方 向 的 環(huán) 量面

24、密 度 ， 即 環(huán) 量 對(duì) 面 積 的 變 化 率 。 l 必 存 在 一 個(gè) 固 定 矢 量 R， 它 在 任 意 面 元 方 向 上 的 投 影就 給 出 該 方 向 上 的 環(huán) 量 面 密 度 ， R的 方 向 為 環(huán) 量 面 密度 最 大 的 方 向 ， 其 模 即 為 最 大 環(huán) 量 面 密 度 的 數(shù) 值 。 稱固 定 矢 量 R為 矢 量 A的 旋 度 。 旋 度 為 一 矢 量 。l rotA=Rl 旋 度 矢 量 在 n方 向 上 的 投 影 為 ： l 直 角 坐 標(biāo) 系 中 旋 度 的 表 達(dá) 式 為 ： l 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 表 示 該 矢 量 場(chǎng) 單 位

25、 面 積 上 的環(huán) 量 ， 描 述 的 是 場(chǎng) 分 量 沿 著 與 它 相 垂 直 的 方 向上 的 變 化 規(guī) 律 。l 若 旋 度 不 等 于 0， 則 稱 該 矢 量 場(chǎng) 是 有 旋 的 ， 若旋 度 等 于 0， 則 稱 此 矢 量 場(chǎng) 是 無(wú) 旋 的 或 保 守 的l 旋 度 的 一 個(gè) 重 要 性 質(zhì) ： 任 意 矢 量 旋 度 的 散 度 恒 等 于 零 ， 即 ( A)0 如 果 有 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) B的 散 度 等 于 零 ， 則該 矢 量 B就 可 以 用 另 一 個(gè) 矢 量 A的 旋 度 來(lái)表 示 ， 即 當(dāng) B=0 則 有 B= A l 3、 斯 托 克 斯 定 理

26、矢 量 分 析 中 另 一 個(gè) 重 要 定 理 是 dSrotAd Sl lA稱 之 為 斯 托 克 斯 定 理 ， 其 中 S是 閉 合 路 徑 l所 圍 成 的面 積 ， 它 的 方 向 與 l的 方 向 成 右 手 螺 旋 關(guān) 系 。 該 式 表明 ： 矢 量 場(chǎng) A的 旋 度 沿 曲 面 S法 向 分 量 的 面 積 分 等 于該 矢 量 沿 圍 繞 此 面 積 曲 線 邊 界 的 線 積 分 。 例 ： 已 知 一 矢 量 場(chǎng) F=axxy-ayzx, 試 求 ：（ 1） 該 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 ;（ 2） 該 矢 量 沿 半 徑 為 3的四 分 之 一 圓 盤 的 線 積 分

27、， 如 圖 所 示 ， 驗(yàn) 證 斯 托 克斯 定 理 。 y B O x r3 A四 分 之 一 圓 盤 例 ： 求 矢 量 A=-yax+xay+caz(c是 常 數(shù) )沿 曲 線 (x-2)2+y2=R2, z=0的 環(huán) 量 (見(jiàn) 圖 1-6)。 解 ： 由 于 在 曲 線 l上 z=0， 所 以 dz=0。 2 220 22220 202220 20202 )cos2( cos2)cos(sin cos)cos2(sin )sin()cos2()cos2(sin )(R dRR dRR dRRdR RdRRdR xdyydxdl lA 例 :求 矢 量 場(chǎng) A=x(z-y)ax+y(x-

28、z)ay+z(y-x)az在 點(diǎn) M(1， 0， 1)處的 旋 度 以 及 沿 n=2ax+6ay+3az方 向 的 環(huán) 量 面 密 度 。 解 ： 矢 量 場(chǎng) A的 旋 度 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )rotA x y zx z y y x z z y xz y x z y x x y z x y z a a aA a a a 在 點(diǎn) M(1， 0， 1)處 的 旋 度 2M x y zA a a an方 向 的 單 位 矢 量 2 2 21 2 6 3(2 6 3 ) 7 7 72 6 3 x y z x y zn a a a a a a在 點(diǎn) M(1， 0， 1)處 沿

29、n方 向 的 環(huán) 量 面 密 度 7177327672 nA M 1.4 標(biāo) 量 場(chǎng)l 一 個(gè) 僅 用 大 小 就 可 以 完 整 表 征 的 場(chǎng) 稱 為 標(biāo) 量 場(chǎng)l 等 值 面l 方 向 導(dǎo) 數(shù)l 梯 度l 梯 度 的 積 分 l 1、 等 值 面l 為 考 察 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 空 間 分 布 ， 引 入 等 值 面 的 概 念 。 一 個(gè) 標(biāo) 量 場(chǎng)可 以 用 一 個(gè) 標(biāo) 量 函 數(shù) 來(lái) 表 示 。 例 如 ， 標(biāo) 量 是 場(chǎng) 中 點(diǎn) 的 單 值 函 數(shù) ， 它 可 表 示 為l 而 是 坐 標(biāo) 變 量 的 連 續(xù) 可 微 函 數(shù) ， 令l 隨 著 C的 取 值 不 同 ， 得 到 一

30、組 曲 面 。 在 每 一 個(gè) 曲面 上 的 各 點(diǎn) ， 雖 然 坐 標(biāo) 值 不 同 ， 但 函 數(shù) 值 均 為 C。這 樣 的 曲 面 稱 為 標(biāo) 量 場(chǎng) u的 等 值 面 。= ( , , )u u x y z u ( , , )M x y z= ( , , )u u x y z( , , )=u x y z C 例 如 溫 度 場(chǎng) 中 的 等 值 面 ， 就 是 由 溫 度 相 同 的 點(diǎn)所 組 成 的 等 溫 面 ； 電 位 場(chǎng) 中 的 等 值 面 ， 就 是 由電 位 相 同 的 點(diǎn) 組 成 的 等 位 面 。l 如 果 某 一 標(biāo) 量 物 理 函 數(shù) u僅 是 兩 個(gè) 坐 標(biāo) 變

31、量 的函 數(shù) ， 這 種 場(chǎng) 稱 為 平 面 標(biāo) 量 場(chǎng) （ 即 二 維 場(chǎng) ） ，則 u(x, y)=C （ C為 任 意 常 數(shù) ） 稱 為 等 值 線 方 程 ， 它 在 幾 何 上 一 般 表 示 一 組 等值 曲 線 。 場(chǎng) 中 的 等 值 線 互 不 相 交 。 如 地 圖 上 的等 高 線 ， 地 面 氣 象 圖 上 的 等 溫 線 、 等 壓 線 等 等都 是 平 面 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 等 值 線 的 例 子 。 l 2、 方 向 導(dǎo) 數(shù)l 為 了 研 究 標(biāo) 量 函 數(shù) 在 場(chǎng) 中 各 點(diǎn) 的 鄰 域 內(nèi) 沿 每 一方 向 的 變 化 情 況 ， 引 入 方 向 導(dǎo) 數(shù) 。l

32、當(dāng) 上 式 極 限 存 在 ， 則 稱 它 為 函 數(shù) u(P)在 點(diǎn) P0處 沿 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 。 l l 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 計(jì) 算 公 式 ：l 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 設(shè) 在 點(diǎn) P0（ x0,y0,z0） 處可 微 ， 則 有l(wèi) 點(diǎn) P0至 P點(diǎn) 的 距 離 矢 量 為若 與 軸 的 夾 角 分 別 為 ,則同 理 有 ,l 也 稱 為 的 方 向 余 弦 。 = ( , , )u u x y z0( ) ( ) u u uu u P u P x y zx y z cos cos cosu u u ul x y z x y zl a x a y a z , ,x

33、 y z , , cosxx l a l cosy l cosz l lcos ,cos cos l l 例 ： 求 數(shù) 量 場(chǎng) =(x+y)2-z通 過(guò) 點(diǎn) M(1, 0, 1)的 等 值 面 方 程 。 解 ： 點(diǎn) M的 坐 標(biāo) 是 x0=1, y0=0, z0=1， 則 該 點(diǎn) 的 數(shù) 量 場(chǎng)值 為 =(x0+y0)2-z0=0。 其 等 值 面 方 程 為 22 )( 0)( yxz zyx 或 例 :求 數(shù) 量 場(chǎng) 在 點(diǎn) M(1, 1, 2)處 沿 l=ax+2ay+2az方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 。 解 ： l方 向 的 方 向 余 弦 為 z yxu 22 32221 2co

34、s 32221 2cos 31221 1cos 222 222 222 而 2 22 )(,2,2 z yxzuztyuzxxu 數(shù) 量 場(chǎng) 在 l方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 2 2232232231 coscoscos z yxzyzx zuyuxulu 在 點(diǎn) M處 沿 l方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 324232132131 Ml l 3、 梯 度l 方 向 導(dǎo) 數(shù) 解 決 了 函 數(shù) U(P)在 給 定 點(diǎn) 處 沿 某 個(gè) 方 向 的 變 化率 問(wèn) 題 。 但 是 從 標(biāo) 量 場(chǎng) 中 的 給 定 點(diǎn) 出 發(fā) ， 有 無(wú) 窮 多 個(gè) 方 向 ，函 數(shù) 沿 其 中 哪 個(gè) 方 向 其 變

35、 化 率 最 大 呢 ？ 最 大 的 變 化 率 又 是多 少 呢 ？ l 對(duì) 同 樣 的 U的 增 量 du， 存 在 著 最 大 的 空 間 增 長(zhǎng) 率 ， 即 最 大的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 。 很 明 顯 ， 沿 等 值 面 的 法 線 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 最大 ， 其 距 離 最 短 。l 因 此 可 定 義 用 來(lái) 表 示 一 個(gè) 標(biāo) 量 最 大 空 間 的 增 長(zhǎng) 率 的 大 小 和 方 向 的 矢 量 G， 就 是 標(biāo) 量 的 梯 度 。 圖 3-2 梯 度 ln l l 梯 度 公 式 ：l 梯 度 又 可 以 表 示 為 算 子 與 標(biāo) 量 函 數(shù) 相 乘 ：l 標(biāo) 量

36、拉 普 拉 斯 算 子 ：l 直 角 坐 標(biāo) 系 中 標(biāo) 量 函 數(shù) 的 拉 普 拉 斯 表 達(dá) 式 ： 2 l 4、 梯 度 的 性 質(zhì) ：l 方 向 導(dǎo) 數(shù) 等 于 梯 度 在 該 方 向 上 的 投 影 ：l 在 標(biāo) 量 場(chǎng) 中 任 意 一 點(diǎn) P處 的 梯 度 垂 直 于 過(guò) 該 點(diǎn) 的 等 值面 ， 或 說(shuō) 等 值 面 法 線 方 向 就 是 該 點(diǎn) 的 梯 度 方 向 由 此 ， 可 將 等 值 面 上 任 一 點(diǎn) 單 位 法 向 矢 量 表示 為 ： 0u u ll ( , , )u x y z 0 uu n l 梯 度 的 旋 度 恒 等 于 零 ： 0u uufuf vuuv

37、vvu uvvuuv vuvu uccu c )()( )(1)( ,)( )( ,)( ,0 2 l 5、 梯 度 的 積 分l 設(shè) 標(biāo) 量 場(chǎng) u,標(biāo) 量 場(chǎng) 梯 度 F是 一 個(gè) 無(wú) 旋 場(chǎng) ， 則 由 斯 托克 斯 定 理 可 知 ， 無(wú) 旋 場(chǎng) 沿 閉 合 路 徑 的 積 分 必 然 為 零 ：( )l su d u d l s 1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 2 0l PC P PC PPC P PC Pu d u d u du d u d l l ll l 2 21 12 1( ) ( )P PP Pu P u dl u P F dl C l 這 說(shuō) 明 積 分 與 路

38、 徑 無(wú) 關(guān) ， 僅 與 始 點(diǎn) P1和 終 點(diǎn) P2的位 置 有 關(guān) 。l 選 定 P1為 參 考 點(diǎn) ， P2為 任 意 動(dòng) 點(diǎn) ， 則 P2點(diǎn) 的 函 數(shù)值 可 以 表 示 成 ：l 如 果 已 知 一 個(gè) 無(wú) 旋 場(chǎng) ， 選 定 一 個(gè) 參 考 點(diǎn) ， 就 可 求得 其 標(biāo) 量 場(chǎng) u.2 21 1 2 1( ) ( )P PP Pu d du u P u P l l結(jié) 論 ： 1.5 亥 姆 霍 茲 定 理l 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 、 旋 度 和 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 都 是 場(chǎng) 性質(zhì) 的 重 要 度 量 。 換 言 之 ， 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) 所 具 有 的性 質(zhì) ， 可 完

39、全 由 它 的 散 度 和 旋 度 來(lái) 表 明 ； 一 個(gè)標(biāo) 量 場(chǎng) 的 性 質(zhì) 則 完 全 可 以 由 它 的 梯 度 來(lái) 表 明 。亥 姆 霍 茲 定 理 就 是 對(duì) 矢 量 場(chǎng) 性 質(zhì) 的 總 結(jié) 說(shuō) 明 。l 無(wú) 旋 場(chǎng) 的 散 度 不 能 處 處 為 零 ， 同 樣 ， 無(wú) 散 場(chǎng) 的旋 度 也 不 能 處 處 為 零 ， 否 則 矢 量 場(chǎng) 就 不 存 在 。l 任 何 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) 都 必 須 有 源 ， 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 對(duì)應(yīng) 發(fā) 散 源 ， 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 對(duì) 應(yīng) 旋 渦 源 。 l 當(dāng) 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) 的 兩 類 源 在 空 間 的 分 布 確 定

40、時(shí) ，該 矢 量 場(chǎng) 就 唯 一 地 確 定 了 ， 這 一 規(guī) 律 稱 為 亥 姆霍 茲 定 理 。l 因 為 場(chǎng) 是 由 它 的 源 引 起 的 ， 所 以 場(chǎng) 的 分 布 由 源的 分 布 決 定 。 現(xiàn) 在 矢 量 的 散 度 、 旋 度 為 已 知 ，即 源 分 布 已 確 定 ， 自 然 ， 矢 量 場(chǎng) 分 布 也 就 唯 一地 確 定 。 l 研 究 任 意 一 個(gè) 矢 量 場(chǎng) 都 應(yīng) 該 從 散 度 和 旋 度 兩 個(gè)方 面 去 進(jìn) 行 （ 或 通 量 和 環(huán) 量 ） 。 l 矢 量 場(chǎng) 基 本 方 程 的 微 分 形 式 ：l 矢 量 場(chǎng) 基 本 方 程 的 積 分 形 式 ：l 亥 姆 霍 茲 定 理 非 常 重 要 ， 它 總 結(jié) 了 矢 量 場(chǎng) 的 基 本性 質(zhì) ， 是 研 究 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 一 條 主 線 。 無(wú) 論 是 靜態(tài) 場(chǎng) ， 還 是 時(shí) 變 場(chǎng) ， 都 要 研 究 場(chǎng) 矢 量 的 散 度 、 旋度 以 及 邊 界 條 件 A A JS V l sd dVd d A SA l J S l 源 和 場(chǎng) 的 關(guān) 系 ：