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1、課時知能訓練
一、選擇題
1．(2011·重慶高考)若函數f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
【解析】 ∵x＞2，∴x－2＞0，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，
當且僅當x－2＝(x＞2)，即x＝3時等號成立，
∴a＝3.
【答案】 C
2．若M＝(a∈R，a≠0)，則M的取值范圍為( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞) D．[－4,4]
【解析】 M＝＝a＋，
當a＞0時，M≥4，當且僅當a＝2時等號成立，
2、
當a＜0時，M≤－4，當且僅當a＝－2時等號成立，
故M的取值范圍是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
【答案】 A
3．(2011·上海高考)若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
【解析】 當a＝b時，a2＋b2＝2ab，排除A；當a＜b，b＜0時，a＋b＜0＜2，＋＜0＜，排除B、C，選D.
【答案】 D
4．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋，β＝b＋，則α＋β的最小值為( )
A．8 B．9 C．10 D．12
【解析】 α＋β＝(a＋b)＋＋＝(
3、a＋b)＋
＝5(a＋b)≥10＝10，
當且僅當a＝b＝1時等號成立．
【答案】 C
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
【解析】 ∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，
∴－1
4、
當且僅當4x2y2＝，即|xy|＝時等號成立．
【答案】 9
7．若正數a，b滿足＋＝2，則ab的最小值為________．
【解析】 ∵a>0，b>0，
∴＋≥2 ＝4 ，
∴4 ≤2，∴ab≥4，
當且僅當＝且＋＝2時等號成立．
【答案】 4
8．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(寫出所有正確命題的編號)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3.
【解析】 ab≤＝1，當且僅當a＝b時取等號，①對；
(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2 ≤4，
當且僅當a＝b時取等號，得＋≤2，故②錯誤．
由于
5、≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正確．
a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，
∵ab≤1，又a2＋b2≥2，
∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④錯誤．
【答案】?、佗?
三、解答題
9．已知a，b，c是正實數，求證：＋＋≥a＋b＋c.
【證明】 ∵a，b，c是正實數
∴＋≥2 ＝2c(當且僅當a＝b時取等號)
＋≥2 ＝2a(當且僅當b＝c時取等號)
＋≥2 ＝2b(當且僅當a＝c時取等號)
∴2·(＋＋)≥2a＋2b＋2c，
故＋＋≥a＋b＋c.
10．求函數y＝(x＞－1)的值域．
【解】 y＝＝
＝x＋1＋－1，
6、
由x>－1，知x＋1>0.
∴(x＋1)＋≥2＝2，
當且僅當x＋1＝，即x＝－1時等號成立，
∴y≥2－1，
故函數的值域為[2－1，＋∞)．
11．某國際化妝品生產企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產化妝品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件化妝品需再投入32萬元的生產費用，若將每件化妝品的售價定為其生產成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產的化妝品正好能銷完
7、．
(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數．
(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？
(注：利潤＝銷售收入－生產成本－促銷費，生產成本＝固定費用＋生產費用)
【解】 (1)由題意可設3－x＝，
將t＝0，x＝1代入，得k＝2.
∴x＝3－.
當年生產x萬件時，
∵年生產成本＝年生產費用＋固定費用，
∴年生產成本為32x＋3＝32(3－)＋3.
當銷售x(萬件)時，年銷售收入為
150%[32(3－)＋3]＋t.
由題意，生產x萬件化妝品正好銷完，得年利潤y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－(＋)
≤50－2＝50－2＝42(萬元)，
當且僅當＝，即t＝7時，ymax＝42，
∴當促銷費定在7萬元時，年利潤最大．
高考數學總復習第六章第四節(jié) 課時跟蹤訓練 理
