大學物理 矢量分析

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1、會計學1大學物理大學物理 矢量分析矢量分析2本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理第1頁/共60頁31.標量和矢量矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。1 1.1 .1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。第2頁/共60頁4矢量用

2、坐標分量表示zxy第3頁/共60頁5（1）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2.矢量的代數(shù)運算 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：第4頁/共60頁6（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）兩矢量的標量積也稱為點積(本書稱為標積)。定義一個矢量在另一矢量上的投影與另一矢量模的乘積，結果為標量。AB第5頁/共60頁7（4）矢量的矢積（叉積）寫成行列式形式為 亦稱叉積，結果仍為一個矢量，用矢量C表示，C的大小為A和B組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量A和B構成的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法則。第6頁/共60頁8（

3、5）矢量的混合運算第7頁/共60頁9 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1 1.2.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。第8頁/共60頁10第9頁/共60頁11n n 直角坐標系直角坐標系xyzdxdydxezdzeydxdydzdydzexdLo第10頁/共60頁12第11頁/共60頁13n n圓柱坐標系

4、圓柱坐標系xyzpddrezdzerdydzdzdzdzedrpdpdpdodL第12頁/共60頁14第13頁/共60頁15n n 球坐標系球坐標系球坐標系球坐標系xyzrderedreddrrsindrsindrsindrdrrddrrsindodL第14頁/共60頁16n4.坐標單位矢量之間的關系坐標單位矢量之間的關系 第15頁/共60頁171.3 1.3 標量場的梯度標量場的梯度標量場的梯度標量場的梯度q如果物理量是標量，稱該場為標量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。q如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。q如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。確

5、定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場第16頁/共60頁181.標量場的等值面等值面:標量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。等值面的特點：意義:形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。第17頁/共60頁19n方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。第18頁/共60頁20第19頁/共60頁212.方向導數(shù)意義：方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。問題

6、：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？第20頁/共60頁22梯度的表達式：意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向第21頁/共60頁23標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數(shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第22頁/共60頁24 解 (1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為 例 1.3.1 設 一 標 量 函 數(shù)(x,y,z)=x2 y2 z 描述了空間標量場。試求：(1)該函數(shù) 在點 P(1,1,

7、1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù) 沿單位矢量方向的方向導數(shù)，并以點 P(1,1,1)處的方向導數(shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。第23頁/共60頁25表征其方向的單位矢量 (2)由 方 向 導 數(shù) 與 梯 度 之 間 的 關 系 式 可 知，沿 el方向的方向導數(shù)為對于給定的P點，上述方向導數(shù)在該點取值為第24頁/共60頁26而該點的梯度值為 第25頁/共60頁271.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1.矢量線 意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點

8、的切線方向代表了該點矢量場 的方向。第26頁/共60頁282.矢量場的通量 問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。通量的概念 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是第27頁/共60頁29通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關系。通量的物理意義第28頁/共60頁30 為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到

9、這一關系：稱為矢量場的散度。散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第29頁/共60頁31第30頁/共60頁32直角坐標系下散度表達式的推導 由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為 不失一般性，令包圍P點的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則第31頁/共60頁33根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度 表達式為 同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為第32頁/共60頁34圓柱坐標系球坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關公式：第33頁/共60頁354.散度定理 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉

10、合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。第34頁/共60頁361.5 1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 1.矢量場的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第35頁/共60頁37環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即 例如：流速場。第36頁/共60頁38 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過

11、閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關系。特點：其值與點M 處的方向 有關。磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線第37頁/共60頁39（2）環(huán)流面密度稱為矢量場在點M 處沿方向 的環(huán)流面密度。過點M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限第38頁/共60頁40 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)面密度的最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向即：第39頁

12、/共60頁41任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點最大環(huán)流面密度的投影：計算矢量場的旋度第40頁/共60頁42而 推導 的示意圖如圖所示。oyz yCMzx1234計算 的示意圖 直角坐標系中 、的表達式第41頁/共60頁43于是 同理可得故得物理意義：旋渦源密度矢量。性質：第42頁/共60頁44旋度的計算公式:直角坐標系 圓柱坐標系 球坐標系第43頁/共60頁45q如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。q如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。第44頁/共60頁46旋度的有關公式：矢量

13、場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零第45頁/共60頁473.斯托克斯定理 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第46頁/共60頁484.散度和旋度的區(qū)別 第47頁/共60頁491.矢量場的源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面

14、的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場無旋場與無散場無旋場與無散場第48頁/共60頁502.矢量場按源的分類（1）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場，梯度的性質:梯度的旋度恒為零證明：第49頁/共60頁51性質：，線積分與路徑無關，是保守場。無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場第50頁/共60頁52（2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場，即旋度的性質旋度的性質旋度的性質旋度的性質:任意矢量的旋度的散度恒為零任意矢量的旋度的散度恒為零任意矢量的旋度的散度恒為

15、零任意矢量的旋度的散度恒為零 由此可知：對于任何一個散度為零的矢量場B，必然可以表示為某個矢量場的旋度。即：磁場的散度為零，則磁場強度可表為某一矢量的旋度.性質：第51頁/共60頁53（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分第52頁/共60頁541.7 1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1.拉普拉斯運算直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系第53頁/共60頁55概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標系中：如：第54頁/共60頁562.格林定理 設任意兩個標量場 及，

16、若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該兩個標量場 及 滿足下列等式：根據(jù)方向導數(shù)與梯度的關系，上式又可寫成以上兩式稱為標量第一格林定理。第55頁/共60頁57基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標量第二格林定理。格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。第56頁/共60頁58亥姆霍茲定理:若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 式中：亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度、旋度及邊界條件唯一確定。1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第57頁/共60頁59 在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關。第58頁/共60頁60n n 前面討論的均為矢量分析中前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，概括起來的基本概念及方法，概括起來包括：包括：第59頁/共60頁