電磁波復(fù)習(xí)資料矢量分析

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1、會計(jì)學(xué)1電磁波復(fù)習(xí)資料電磁波復(fù)習(xí)資料 矢量分析矢量分析2本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流與旋度1.6 無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理第1頁/共51頁31.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1 1.1 .1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。矢量的幾何表示常矢量：大小和

2、方向均不變的矢量。第2頁/共51頁4（1）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的減法結(jié)合律交換律第3頁/共51頁5q矢量 與 的夾角（2）標(biāo)量乘矢量大小為，若則與同方向，若則與反方向。（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積符合交換律第4頁/共51頁6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積若 ，則若 ，則方向遵循右手螺旋法則！第5頁/共51頁7（5）矢量的三重積 標(biāo)量三重積ABCBCV=A(BC)標(biāo)量三重積的結(jié)果表示以為棱的平行六面體的體積。矢量三重積Baccab法則第6頁/

3、共51頁8 空間任意一點(diǎn)的位置可通過三個相互正交曲面的交點(diǎn)來確定。1 1.2.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系。在正交坐標(biāo)系中，描述正交曲面的量稱為坐標(biāo)變量。第7頁/共51頁91.1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量 點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐標(biāo)系 x yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydx第8頁/共51頁102.2.

4、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）第9頁/共51頁113.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）線元矢量第10頁/共51頁124.4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系(相同)直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系ofxy單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq圓柱坐

5、標(biāo)與球坐標(biāo)系（相同）第11頁/共51頁13矢量在直角坐標(biāo)系中的表示：寫成行列式形式為第12頁/共51頁14矢量在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的表示：注意：1.坐標(biāo)變量的順序是固定的。2.位置矢量與一般矢量的區(qū)別。第13頁/共51頁151.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度q如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。q如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。q如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：如果一個空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學(xué)上看，場

6、是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第14頁/共51頁161.標(biāo)量場的等值面等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。標(biāo)量場的等值線(面)第15頁/共51頁172.方向?qū)?shù)意義：表示場沿某方向的空間變化率。概念：u(M)沿方向增加；u(M)沿方向減??；u(M)沿方向無變化。M0M方向?qū)?shù)的概念 特點(diǎn):方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，與 方向有關(guān)。問題：在什么方向

7、上變化率最大、其最大的變化率為多少？的方向余弦。式中：第16頁/共51頁183.標(biāo)量場的梯度（或 ）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中 取得最大值的方向是哈密頓算符，讀作“Nabla”或“del”最大值？取到最大值時的方向？第17頁/共51頁19梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3.標(biāo)量場的梯度（或 ）第18頁/共51頁20標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第19

8、頁/共51頁21 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為 例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試求：(1)該函數(shù) 在點(diǎn) P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù) 沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第20頁/共51頁22表征其方向的單位矢量 (2)由 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 之 間 的 關(guān) 系 式 可 知，沿 el 方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第21頁/共51頁23而該點(diǎn)的梯度值為 顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率

9、，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第22頁/共51頁241.4 1.4 1.4 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1.矢量線 意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是有向曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場的方向。矢量線OM 第23頁/共51頁252.矢量場的通量 問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。通量的概念其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元 的通量。如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量第24頁/共51頁26通過閉合曲面有

10、凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義第25頁/共51頁273.矢量場的散度 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第26頁/共51頁28圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：第27頁/共51頁29直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前

11、、后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzxyP第28頁/共51頁30根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為第29頁/共51頁314.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第30頁/共51頁321.5 1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度矢

12、量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度1.矢量場的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場都由通量源通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第31頁/共51頁33 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。磁感應(yīng)線要么不穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線第32頁/共51頁34q如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即q如果矢量

13、場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。第33頁/共51頁35 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。2.矢量場的旋度（）（1）環(huán)流面密度稱為矢量場在點(diǎn)M 處沿方向 的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向 有關(guān)。過點(diǎn)M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0 時（法線方向不變），極限第34頁/共51頁36而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。oyz yCMzx1234計(jì)算 的示意圖 直角坐標(biāo)系中 、的表達(dá)式

14、第35頁/共51頁37于是 同理可得故得概念：矢量場在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán)流 面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積元 的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度第36頁/共51頁38旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系第37頁/共51頁39旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零第38頁/共51頁403.斯托克斯定理 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋

15、度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第39頁/共51頁414.散度和旋度的區(qū)別 第40頁/共51頁421.矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有旋渦旋渦性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度旋度。1.6 1.6 1.6 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場無旋場與無散場無旋場與無散場第41頁/共51頁432

16、.矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場第42頁/共51頁44（2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場第43頁/共51頁45（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分第44頁/共51頁461.7 1.7 1.7 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：拉普拉斯

17、算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第45頁/共51頁47 矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：第46頁/共51頁482.格林定理 設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場 及 滿足下列等式：根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。SV,式中S 為包圍V 的閉合曲面，為標(biāo)量場 在 S 表面的外法線 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。第47頁/共51頁49基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問

18、題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。第48頁/共51頁50亥姆霍茲定理:若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為式中：亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定矢量場可由其散度及旋度確定。1.8 1.8 1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第49頁/共51頁51有界區(qū)域 在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。第50頁/共51頁