（統(tǒng)考版）高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓12 統(tǒng)計與概率（含解析）（理）-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題限時集訓(十二)　統(tǒng)計與概率 1．(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； (2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．

2、 [解]　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故 a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 2．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經驗，每天需求量與

3、當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，

4、當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？ [解]　(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500. 當300≤n≤500時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 2

5、00－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 當200≤n<300時， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元． 3．(2020·全國卷Ⅲ)某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天

6、到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)： 鍛煉人次 空氣質量等級　　　 [0,200] (200,400] (400,600] 1(優(yōu)) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(輕度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率； (2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)； (3)若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，

7、并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？ 人次≤400 人次>400 空氣質量好 空氣質量不好 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . [解]　(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率的估計值如下表： 空氣質量等級 1 2 3 4 概率的估計值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為 (100×20＋300×35＋500×45)＝35

8、0. (3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表： 人次≤400 人次＞400 空氣質量好 33 37 空氣質量不好 22 8 根據(jù)列聯(lián)表得 K2＝≈5.820. 由于5.820＞3.841，故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關． 4．(2018·全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)

9、2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： (i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線

10、y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． (ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到

11、的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． (以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) 1．(2020·肥城市第一高級中學高三月考)2019年4月，甲、乙兩校的學生參加了某考試機構舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對這兩校參加考試的學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，考生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(110,144)，從甲、乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷，并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖： (1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學生數(shù)學成績的中位數(shù)； (2)若把數(shù)學成績不低于135分的記作數(shù)學成績優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中

12、的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關？ (3)從所有參加此次聯(lián)考的學生中(人數(shù)很多)任意抽取3人，記數(shù)學成績在134分以上的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學期望． 附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ

13、5 10.828 [解]　(1)由莖葉圖可知：甲校學生數(shù)學成績的中位數(shù)為＝131.5，乙校學生數(shù)學成績的中位數(shù)為＝128.5，所以這40份試卷的成績，甲校學生數(shù)學成績的中位數(shù)比乙校學生數(shù)學成績的中位數(shù)高. (2)由題意，作出2×2列聯(lián)表如下： 甲校 乙校 總計 數(shù)學成績優(yōu)秀 10 7 17 數(shù)學成績不優(yōu)秀 10 13 23 總計 20 20 40 計算得K2的觀測值 k＝≈0.9207<2.706， 所以沒有90%的把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關. (3)因為X～N(110,144)，所以μ＝110，σ

14、＝＝12， 所以P(86134)＝＝0.022 8， 由題意可知ξ～B(3,0.022 8)，所以E(ξ)＝3×0.022 8＝0.068 4. 2．(2020·長沙模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m(單位：平方米，60≤m≤130)進行了一次調查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調查了該市2018年1月至2019年1月期間當月在售二手房均價y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1至13分別對應2018年1月至20

15、19年1月)． 圖1 圖2 (1)試估計該市市民的平均購房面積； (2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望； (3)根據(jù)散點圖選擇＝＋和＝＋ln x兩個模型進行擬合，經過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4 ＋0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示： ＝0.936 9＋0.028 5 ＝0.955 4＋0．030 6ln x (yi－i)2 0.000 591 0.000 164

16、 (yi－)2 0.006 050 請利用相關指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預測2020年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)． 參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 10≈2.30，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈3.16，≈4.36. 參考公式：R2＝1－. [解]　(1)＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96. (2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20＋0.15＋0.05＝0.4， ∴X～B(3,0.4)，

17、 ∴P(X＝k)＝C×0.4k×0.63－k(k＝0,1,2,3)， P(X＝0)＝0.63＝0.216， P(X＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432， P(X＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288， P(X＝3)＝0.43＝0.064， ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 ∴E(X)＝3×0.4＝1.2. (3)設模型＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x的相關指數(shù)分別為R，R，則R＝1－，R＝1－， ∴R＜R， ∴模型＝0.955 4＋0.030 6ln

18、x的擬合效果更好， 2021年6月份對應的x＝42， ∴＝0.955 4＋0.030 6ln 42＝0.955 4＋0.030 6(ln 3＋ln 14)≈1.070萬元/平方米． 3．(2020·深圳模擬)2020年是中國改革開放的第42周年，為了充分認識新形勢下改革開放的時代性，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)現(xiàn)從年齡在，，內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進行座談，用X表示年齡在內的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望； (2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的

19、方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有k名市民的年齡在的概率為P. 當P最大時，求k的值． [解]　(1)按分層抽樣的方法抽取的8人中， 年齡在內的人數(shù)為×8＝1人， 年齡在內的人數(shù)為×8＝2人， 年齡在內的人數(shù)為×8＝5人． 所以X的可能取值為0,1,2， 所以P＝＝， P＝＝， P＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)設在抽取的20名市民中，年齡在內的人數(shù)為X，X服從二項分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內的頻率為×10＝0.35， 所以X～B， 所以P(X＝k)＝C(0.35)k(1－0.3

20、5)20－k(k＝0,1,2，…，20)． 設t＝＝ ＝， 若t>1，則k<7.35，P7.35，P>P. 所以當k＝7時，P最大，即當P最大時，k＝7. 4．(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農村改革的發(fā)源地——安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響． (1)經過1輪投球，記

21、甲的得分為X，求X的分布列； (2)若經過n輪投球，用pi表示經過第i輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求p1，p2，p3； ②規(guī)定p0＝0，經過計算機計算可估計得pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)，請根據(jù)①中p1，p2，p3的值分別寫出a，c關于b的表達式，并由此求出數(shù)列的通項公式． [解]　(1)記一輪投球，甲命中為事件A，乙命中為事件B，A，B相互獨立，由題意P(A)＝，P(B)＝，甲的得分X的取值為－1,0,1， P(X＝－1)＝P(B)＝P()P(B)＝×＝， P(X＝0)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝， P(

22、X＝1)＝P(A)＝P(A)P()＝×＝， ∴X的分布列為： X －1 0 1 P (2)由(1)知p1＝， p2＝P(X＝0)·P(X＝1)＋P(X＝1)(P(X＝0)＋P(X＝1))＝×＋×＝， 同理，經過2輪投球，甲的得分Y取值－2，－1,0,1,2： 記P(X＝－1)＝x，P(X＝0)＝y(tǒng)，P(X＝1)＝z，則 P(Y＝－2)＝x2，P(Y＝－1)＝xy＋yx，P(Y＝0)＝xz＋zx＋y2，P(Y＝1)＝y(tǒng)z＋zy，P(Y＝2)＝z2， 由此得甲的得分Y的分布列為： Y －2 －1 0 1 2 P ∴p3＝×＋×＋×＝， ∵pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)，p0＝0， ∴∴ ∴ 代入pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)得：pi＝pi＋1＋pi－1， ∴pi＋1－pi＝(pi－pi－1)， ∴數(shù)列{pn－pn－1}是等比數(shù)列，公比為q＝，首項為p1－p0＝， ∴pn－pn－1＝. ∴pn＝(pn－pn－1)＋(pn－1－pn－2)＋…＋(p1－p0)＝＋＋…＋＝.