《高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算（34頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,*,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),二、梯度,一、問(wèn)題的提出,一塊長(zhǎng)方形的金屬板，受熱,產(chǎn)生如圖溫度分布場(chǎng).,設(shè)一個(gè)小蟲(chóng)在板中逃生至某,問(wèn)該蟲(chóng)應(yīng)沿什么方向爬行，,才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？,處，,問(wèn)題的,實(shí)質(zhì),：,應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的,方向爬行,需要計(jì)算場(chǎng)中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，,從而確定出溫度下降的最快方向,引入兩個(gè)概念：,方向?qū)?shù),和,梯度,方向?qū)?shù)問(wèn)題,梯度問(wèn)題,討論函數(shù) 在一點(diǎn),P沿某一方向的,變化率問(wèn)題,二、方向?qū)?shù),當(dāng) 沿著 趨于 時(shí),，,是否存在？,記為,的方向?qū)?shù)為,同理,
2、沿,y,軸正向,的方向?qū)?shù)分別為,在點(diǎn),沿著,軸正向,若偏導(dǎo) 存在,則,方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.,原因：,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式,那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向,l,的方向?qū)?shù)都存在，,定理 如果函數(shù),在點(diǎn),可微分，,且有,為,軸到方向,l,的轉(zhuǎn)角,其中,計(jì)算公式,故有方向?qū)?shù),兩邊同除以,得到,故,x,軸到方向,l,的轉(zhuǎn)角,解,方向,l,即為,所求方向?qū)?shù),解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？,例2,求函數(shù),在點(diǎn)(1,1)沿與,x,軸方向夾角為,的方向射線,的方向?qū)?shù).,并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有,故,方向
3、導(dǎo)數(shù)達(dá)到最大值,;,方向?qū)?shù)達(dá)到最小值,;,方向?qū)?shù)等于,0,.,推廣,:,三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,對(duì)于三元函數(shù),它在空間一點(diǎn),沿著方向,l,的方向?qū)?shù)，,可定義為,其中,）,方向?qū)?shù)的計(jì)算公式,解,令,故,方向余弦為,求函數(shù),在此處沿方向,的方向?qū)?shù).,是曲面,例3 設(shè),在點(diǎn),處的指向外側(cè)的法向量,故,三、梯度,設(shè),是方向,l,上的單位向量,，,當(dāng) 時(shí)，,有最大值.,其中,由方向?qū)?shù)公式知,結(jié)論,當(dāng),不為零時(shí)，,x,軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為,函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值,梯度的模為,在幾何上 表示一個(gè)曲面,曲面被平面 所截,
4、得曲線,它,在,xoy,面,上投影方程：,等高線,稱為,等值線,.,等值線,幾何上，稱為,等高線,.,例如,等值線,上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為,表明：梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同，,它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較高的等,梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的,方向?qū)?shù).,值線，,問(wèn)題,：,上山時(shí)，如何選擇最快的方向？,計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略：,“瞎子下山法”,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),解,由梯度計(jì)算公式得,故,則在,處梯度為,例4,求函數(shù),在點(diǎn),處的梯度，并問(wèn)在何處梯度為零？,一、,方向?qū)?shù),（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的,區(qū)別）,小 結(jié),1.定義,2.計(jì)算公式,二、梯度,（注意梯度是一個(gè),向量,）,定義,方向：,x,軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切,模,：,三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,方向,與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模,為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度：,其中,思考題,問(wèn)函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？,答：梯度方向,答：,作 業(yè),P.51,習(xí)題,8-7,1;4;7;8;10.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,
高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算
