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1、
第1課時 直線的傾斜角與斜率
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,了解直線的傾斜角的范圍.
2.理解直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系以及斜率公式,并能利用過兩點的直線斜率的計算公式求直線的傾斜角.
意大利比薩斜塔修建于1173年,由著名建筑師那諾皮薩諾主持修建.它是比薩城的標志.開始時,塔高設(shè)計為100 m左右,但動工五六年后,塔身從三層開始傾斜,直到1372年完工還在持續(xù)傾斜,經(jīng)過600年的風雨滄桑,塔身傾斜度達到了5.3,偏離中心達4.4 m,岌岌可危,但經(jīng)過1972年當?shù)氐牡卣?塔體還是傾而不倒,巍
2、然屹立,因此斜塔更加聞名遐邇.
問題1:根據(jù)材料和圖片,我們建立如圖所示的平面直角坐標系,比薩斜塔的傾斜角是 84.7 .
問題2:(1)直線的傾斜角的定義
當直線l與x軸相交時,我們?nèi)軸作為基準,x軸 正向 與直線 l向上方向 之間所成的 最小正角α 叫作直線l的傾斜角.當直線和x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角α為 0 ,因此,直線傾斜角α的取值范圍是 0≤α<180 .
(2)斜率的定義
傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的 正切值 叫作這條直線的斜率,常用k表示,即 k=tan α .當直線的傾斜角為90時,其斜率k不存在.
(3)斜率公式
當直線l經(jīng)過兩點P1
3、(x1,y1)、P2(x2,y2)時,l的斜率k= .
問題3:當傾斜角α=0時,k=0,此時直線l與x軸平行或重合;
當0<α<90時,k>0,并且隨著α的增大而 增大 ;
當α=90時,k 不存在 ,此時直線l與x軸垂直;
當90<α<180時,k<0,并且隨著α的增大而 增大 .
特別地,當α=45時,其斜率k= 1 .
總之,傾斜角與斜率k之間的關(guān)系可用下圖來表示:
問題4:用表格的形式直觀表述直線的傾斜角與斜率k之間的關(guān)系:
直線情況
平行于x軸
由左向右上升
垂直于x軸
由右向左上升
α的大小
α=0
0<α<90
α=90
4、90<α<180
k的范圍
k=0
k>0
不存在
k<0
k的增減性
不增不減
單調(diào)遞增
不存在
單調(diào)遞增
1.若經(jīng)過P(-2,m)和Q(m,4)的直線的斜率為1,則m等于( ).
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
2.若三點A(-2,3),B(3,-2),C(12,m)共線,則m等于( ).
A.1 B.2 C.12 D.2或12
3.已知直線斜率的絕對值等于1,則直線的傾斜角是 .
4.設(shè)直線的斜率是k,且-1
5、,2)、B(-4,1)、C(0,-1),求直線AB、BC、CA的斜率,并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角,并求直線CA的傾斜角.
直線的斜率的取值范圍
已知直線l過點P(-1,2),且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點的線段相交,求直線l的斜率的取值范圍.
求直線傾斜角的取值范圍
已知直線l的斜率k≤1,求傾斜角α的取值范圍.
(1)已知點A(-3,2)、C(0,-1),求直線AC的斜率.
(2)已知直線CA的傾斜角為135,C(0,-1),A(-3,n),求n的值.
已知線段PQ兩端點的
6、坐標分別為(-1,1)、(2,2),若直線l經(jīng)過定點A(0,-1)且與線段PQ有交點,求直線l的斜率k的取值范圍.
已知直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)(m∈R)兩點,求直線l的傾斜角的取值范圍.
1.下列說法中,正確的是( ).
A.直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tan α
B.有傾斜角的直線都有斜率
C.若直線的傾斜角為α,則sin α>0
D.任一直線都有傾斜角,但它不一定有斜率
2.如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則成立的是( ).
A.k1
7、k2
C.k1
8、
問題2:(1)正向 l向上方向 最小正角α 0
0≤α<180
(2)正切值 k=tan α (3)y2-y1x2-x1(其中x1≠x2)
問題3:增大 不存在 增大 1
問題4:k=0 不存在 k<0 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
基礎(chǔ)學習交流
1.A 由直線的斜率公式得m-4-2-m=1,所以m=1.
2.C ∵A、B、C三點共線,∴kAB=kAC,
即3+2-2-3=m-312+2,解得m=12.
3.45或135 設(shè)直線的斜率為k,由|k|=1,得k=1,
當k=1時,直線的傾斜角為45,
當k=-1時,直線的傾斜角為135.
所以所求直線的傾斜角為45或135.
9、4.解:當k∈[0,3)時,α∈[0,60);當k∈(-1,0)時,α∈(135,180).所以直線傾斜角α的取值范圍為[0,60)∪(135,180).
重點難點探究
探究一:【解析】 直線AB的斜率k1=17>0,所以它的傾斜角α1是銳角;
直線BC的斜率k2=-12<0,所以它的傾斜角α2是鈍角;
直線CA的斜率k3=1>0,所以它的傾斜角α3是銳角,且為45.
【小結(jié)】運用斜率公式時要注意下面三點:
(1)k的值與P1、P2的順序無關(guān);
(2)當x1=x2,即直線與x軸垂直時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角α=90;
(3)當 y1=y2時,直線與x軸平行或重
10、合,斜率k=0,直線的傾斜角α=0.
探究二:【解析】 如圖所示,直線PA的斜率kPA=2-(-3)-1-(-2)=5,
直線PB的斜率kPB=0-23-(-1)=-12.
當直線l繞著點P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC時,它的斜率變化范圍是[5,+∞);
當直線l繞著點P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時,它的斜率的變化范圍是(-∞,-12].
∴直線l的斜率的取值范圍是(-∞,-12]∪[5,+∞).
【小結(jié)】本題運用了數(shù)形結(jié)合思想.當直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時,需根據(jù)正切函數(shù)y=tan α的單調(diào)性求k的取值范圍,數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時,借助圖形及
11、圖形性質(zhì)直觀判斷,明確解題思路,可以達到快捷解題的目的.
探究三:【解析】∵tan 45=1,∴k≤1時,α≤45.
又∵傾斜角α須滿足0≤α<180,
∴ 0≤α≤45,即傾斜角α的取值范圍是0≤α≤45.
[問題]直線l的斜率k≤1,除了k≥0外,k<0滿足嗎?
[結(jié)論]本題做錯的根本原因是沒有搞清斜率k與傾斜角α的對應(yīng)關(guān)系,當k≥0時,對應(yīng)0≤α<90,當k<0時,對應(yīng)90<α<180,故解決本題要分k≥0和k<0兩類情況討論.
于是,正確解答如下:
當0≤k≤1時,∵tan 45=1,
∴0≤α≤45;
當k<0時,90<α<180,tan α<0成立.
∴傾斜
12、角α的取值范圍是[0,45]∪(90,180).
【小結(jié)】 (1)斜率k=tan α,α為直線傾斜角(α≠90),知其一的范圍可求另一個的范圍.
(2)當α=90時,斜率k不存在;當α=0時,k=0;當0<α<90時,k>0;當90<α<180時,k<0.
思維拓展應(yīng)用
應(yīng)用一:(1)直線AC的斜率kAC=-1-20-(-3)=-1.
(2)因為直線CA的傾斜角為135,所以直線CA的斜率kCA=n+1-3=-1,所以n=2.
應(yīng)用二:
如圖,由題知kAP=-1-10+1=-2,kAQ=-1-20-2=32,又由斜率與傾斜角之間的關(guān)系知k≤-2或k≥32.
應(yīng)用三:k=m2
13、-11-2=1-m2≤1,又k=tan α,0≤α<180,
所以l的傾斜角的取值范圍為[0,45]∪(90,180).
基礎(chǔ)智能檢測
1.D 對于A和B,當α=90時,直線的斜率不存在,∴A和B錯;對于C,當直線平行于x軸時,α=0,而sin 0=0,∴C錯;∴應(yīng)選D.
2.A ∵l3,l2的傾斜角α3,α2為銳角,且α3>α2.
∴k3>k2>0,l1的傾斜角α1為鈍角,∴k1<0.
故k1
《直線的傾斜角與斜率》導學案
