《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)案例剖析

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1、 《函數(shù)單調(diào)性》教學(xué)案例 1. 【案例背景】 “函數(shù)的單調(diào)性 ”是新課標(biāo)人教版《數(shù)學(xué) 1》第一章第三節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。 “課標(biāo) ” 規(guī)定兩個(gè)課時(shí)，所選案例為第一課時(shí)。 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條基本性質(zhì)，從知識(shí)結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比 例函數(shù)等，函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生研究函數(shù)整體性質(zhì)的開始， 之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內(nèi)容承前啟后，不僅要用到以前學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，還要由這些知識(shí)出發(fā)獲 得函數(shù)自身的更深人的認(rèn)識(shí)

2、，并由這些認(rèn)識(shí)解決有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，這一節(jié)學(xué)好了，學(xué)生獲得的知識(shí)就會(huì)對(duì)后面幾節(jié)的知識(shí)產(chǎn)生正遷移作用。 2. 【教學(xué)內(nèi)容分析】 首先，從單調(diào)性知識(shí)本身來(lái)講 .學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個(gè)階段， 第一階段是在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對(duì)增減性有 一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)；第二階段是在高一進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個(gè)方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的 單調(diào)性 .高一單調(diào)性的學(xué)習(xí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化， 又為高三的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．其次，從函數(shù)角度來(lái)講 . 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)

3、性質(zhì)，也是第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫的概念 .函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律；學(xué)生對(duì)于這些概念的認(rèn)識(shí)，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三個(gè)階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號(hào)語(yǔ)言刻畫圖形語(yǔ)言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過(guò)程因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù) .  . 最后，從學(xué)科角度來(lái)講 .函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、極限、 導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)

4、形結(jié)合思想的重要素材 . 3. 【學(xué)情分析】 高一的學(xué)生正處于經(jīng)驗(yàn)邏輯思維發(fā)展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學(xué)生“以一系列的行動(dòng)隊(duì)一系列的條件作出反應(yīng)”卻需要很大的努力的。函數(shù)單 調(diào)性的本質(zhì)是利用定量的方法來(lái)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，如何將圖形特征用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù) 學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫是本節(jié)課的難點(diǎn)之一．另一難點(diǎn)是學(xué)生在高中階段第一次接觸代數(shù)證 明，如何進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達(dá)． 因此首先要重視學(xué)生的親身體驗(yàn)：將新知識(shí)與學(xué)生的已有知識(shí)建立了聯(lián) 系．如：學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)。運(yùn)用新知識(shí)嘗試解決新 問(wèn)題

5、．其次重視學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過(guò)程．充分展現(xiàn)學(xué)生將函數(shù)圖象（形）的特征轉(zhuǎn)化為函 數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過(guò)程。充分展現(xiàn)在正、反兩個(gè)方面探討活動(dòng)中，學(xué)生認(rèn)知 結(jié)構(gòu)升華、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程． 最后重視學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐過(guò)程．通過(guò)對(duì)定義的解讀、鞏 固，讓學(xué)生動(dòng)手去實(shí)踐運(yùn)用定義． 4. 【教學(xué)過(guò)程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)： (1) 由于某種原因，  2008 年北京奧運(yùn)會(huì)開幕式時(shí)間由原定的  7 月  25 日推遲到 8 月 8 日，請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因  . (2) 通過(guò)查閱歷史

6、資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天氣溫變化情況 . 課上通過(guò)交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到 8 月 中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國(guó)際體 育賽事 . 下圖是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖 . 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問(wèn)題 1：請(qǐng)同學(xué)們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學(xué)生獨(dú)立思考）【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)生活實(shí)例，讓學(xué)生對(duì)圖象的上升和下降有一個(gè)初步的感性認(rèn) 識(shí)，讓

7、學(xué)生感受到函數(shù)的單調(diào)性和我們的生活密切相關(guān)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的好奇心。 生 1（主動(dòng)回答）： 0～4 時(shí)，溫度下降， 4～14 時(shí)溫度上升， 14～ 24 時(shí)溫度 下降。 問(wèn)題 2：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等． 歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計(jì)意圖〗 由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二．借助圖象，直觀感知 問(wèn)題 3：觀畫出 y=x 和 y x2 的函數(shù)圖象，回答下面兩個(gè)問(wèn)題： ⑴分別指出上面兩個(gè)函數(shù)的圖象在哪個(gè)區(qū)間是上升

8、的，在哪個(gè)區(qū)間是下降的？ 【設(shè)計(jì)意圖】順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 （小組合作探求） 生 1：一次函數(shù) y=x 其定義域上是上升的，二次函數(shù) y x2 是先下降后上 升。 師：這樣回答準(zhǔn)確嗎？ 生 2：一次函數(shù) y=x 在區(qū)間（-∞，+∞） 上是 “上升 ”的；二次函數(shù) y=x2 在區(qū)間（ -∞， 0）上是 “下降 ”的，（ 0，-∞）上是 “上升”的。 ⑵同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把這兩個(gè)函數(shù)圖象 “上升 ”或 “下降 ”的特征描述出來(lái)嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】 有感性上升到理性。（給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r(shí)間） 這時(shí)學(xué)生們思維較為混亂，無(wú)從下手。教師及時(shí)通過(guò) "

9、幾何畫板 "展示 y=x 圖象 上 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，讓學(xué)生觀察 x， y 值的變化。 師（及時(shí)提問(wèn)）：同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把 y=x 圖象 "上升 "的特征描述出來(lái)嗎？ 生 3：該函數(shù)隨著 x 的值增大， y 的值相應(yīng)的增大。師（面向全體學(xué)生）：大家同意生 4 的回答嗎？ 生 4：老師，我有補(bǔ)充，應(yīng)該說(shuō)：該函數(shù)在區(qū)間（ -∞，+∞）上隨著 x 的值增大， y 的值相應(yīng)的增大。 師：生 5 補(bǔ)充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的變化情況，那么函 數(shù) y x2 呢？ 生 5：函數(shù) y x2 在區(qū)間（ -∞，0）上隨著 x 的值增

10、大， y 的值相應(yīng)的減小；在 區(qū)間（ 0， +∞）上是隨著 x 的值增大， y 的值相應(yīng)的增大。 師：在數(shù)學(xué)上，我們把 y 隨著 x 的增大而增大，稱為增函數(shù)；把 y 隨著 x 的增 大而減小，稱為減函數(shù)。 三．探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí) 問(wèn)題 4：如何從解析式的角度說(shuō)明 f ( x) x 2 在 [ 0, ) 為增函數(shù)？ 生 6：因?yàn)?1<2, f (1) f (2) ,所以 f ( x) x 2 在 [ 0, ) 為增函數(shù)．

11、 生 7 ：因?yàn)? 1 2 3 4 5 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 所以 f ( x) 2 在 ， x [ 0, ) 為增函數(shù)． 生 8：不對(duì)，以上只在兩個(gè)或有限個(gè)特殊值之間進(jìn)行比較，不能代替所有值。師：很好，所有的都拿出來(lái)比較，能做到嗎？一一列舉行嗎？（意圖：通過(guò)這 一問(wèn)題，讓學(xué)生聯(lián)想到用字母符號(hào)來(lái)表示任意的數(shù)值） 生：拿兩個(gè)就行了。 師：原來(lái)不都是每次拿兩個(gè)來(lái)進(jìn)行比較的嗎？為什么不行？ 生（終于明白）：任意兩個(gè)。 師：找任意兩個(gè)？怎樣能做到這

12、一點(diǎn)。 生：用字母表示數(shù)字。 師：更清晰一點(diǎn)說(shuō)呢？ 生：用 x1 , x2 表示兩個(gè)變量，用 f ( x1 ), f ( x2 ) 表示對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。 師：好，請(qǐng)大家回想一下上述過(guò)程，試用  x1, x2 、  f ( x1 ), f (x2 ) 來(lái)刻畫增函數(shù)的 定義。 學(xué)生嘗試用符號(hào)表達(dá)單調(diào)增函數(shù)的定義，師生共同修正： 任取  x1, x2  [ 0,  ), 且 x1  x2 ,因?yàn)?  x1  2  x2 

13、 2  ( x1  x2 )( x1  x2 )  0 ,即  x1  2  x2  2 ， 所以  f (x) x2 在 [ 0, ) 為增函數(shù)． 對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答， 引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析 ,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量 x1 , x2 ． 〖設(shè)計(jì)意圖〗 把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度 , 完成對(duì)概念的 第二次認(rèn)識(shí)．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊 .

14、 四．抽象思維，形成概念 問(wèn)題 5：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎 ? 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義． 板書定義： 函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?I. 如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1,x2, 當(dāng) x1f(x2), 則稱函數(shù) y=f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。 如果函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù) y=

15、f(x) 在這一區(qū)間上 具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間。 師：你能否舉出一個(gè)具體函數(shù)的例子，使它在區(qū)間 ( , ) 上對(duì)任意 x1 x2 ，總有 f (x1)  f (x2 ) 生：  f ( x)  x 師：你能否舉出一些具體的例子，使它在區(qū)間 (0 ) 上，對(duì)任意的 x1 x2 ，總有 f (x1)  f ( x2  ) 生：  f ( x)  1  ， f (

16、x)  x2 x 【設(shè)計(jì)意圖】 打通抽象與具體之間的聯(lián)系。單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言 的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性；對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可 以是整個(gè)定義域 (如一次函數(shù) )，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間 (如二次函數(shù) )，也可以根本不單調(diào) (如常函數(shù) )，因此單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。 問(wèn)題 6：依據(jù)上述定義，試判斷函數(shù) f ( x) x 在（ 0，+∞）上是增函數(shù)還是 x 1 減函數(shù)，并給予證明。（小組合作交流） 【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)化，形式化的必要性。 生 9：老師，該函數(shù)的圖象是什

17、么？ 師：這位同學(xué)問(wèn)得非常好，那么在不知圖象的前提下，我們能得知該函數(shù)是增還是減嗎？（讓學(xué)生大膽的去猜想） 生 10：可以用定義法證明函數(shù) f ( x) x 在（ 0，+∞）上是增函數(shù)。 x 1 師：那么具體怎么證明呢？帶著這個(gè)問(wèn)題讓我們先來(lái)看例 1. 例 1. 證明函數(shù) f ( x) 1 在 (0, ) 上是增函數(shù)． x 1．分析解決問(wèn)題 針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流． 證明：任取 x1, x2 (0, ), 且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 x1

18、 x2 x2 x1 x1x2 x1 x2 , ∴ x1 x2 0, x1 x2 0 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f (x1 ) f ( x2 ), ∴函數(shù) f ( x) x 2 在 ( 2, ) 上是增函數(shù)． x 2．歸納解題步驟  設(shè)元 求差 變形 斷號(hào) 定論 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步

19、驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論． 問(wèn)題 7：能用定義法證明 f (x) 1 在 ( ,0) 上是增函數(shù)么？ x 問(wèn)題 8：能證明 f ( x) 1 在 ( ,0) (0, ) 上是增函數(shù)么？ x 〖設(shè)計(jì)意圖 〗函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間 A, B 上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在 A B 上是增（或減）函數(shù)． 五、鞏固概念，適當(dāng)延展 練習(xí)  1：試判斷函數(shù)  f ( x)  x 

20、 在（ 0，+∞）上是 x 1 增函數(shù)還是減函數(shù)，并給予證明。 （最后教師用 “幾何畫板 ”作出 f (x)  x  的圖象） x 1 練習(xí) 2：證明函數(shù) f ( x) x 在 [ 0, ) 上是增函數(shù)． 問(wèn)題 8：要證明函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (a, b) 上是增函數(shù)， 除 了 按 以 上 步 驟 來(lái) 證 ， 如 果 可 以 證 得 對(duì) 任 意 的 x1 , x2 (a, b) ， x1 x2 ，都有 f (x2 ) f (x1 ) 0 可以嗎 ?

21、 x2 x1 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性． 讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù) f (x) x 在 [ 0, ) 上是增函數(shù)． 〖設(shè)計(jì)意圖 〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一 步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆． (2) 鞏固概念 練習(xí) 3：判斷題： 1） 已知 f (x) 1 ,因?yàn)?f ( 1) f ( 2), 所以函數(shù) f ( x)是增函數(shù) ． x 2）函數(shù) f ( x) 2 , 對(duì)任意 x>0滿足 f ( x)

22、f (0), 則函數(shù) f (x) 在 ， 上為增函數(shù) ． x [0 ) ） 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) 1 ,0)和 (0, ) 上都是減函數(shù)，所以 1 在 3 在區(qū)間 ( f ( x) x x ( ,0) (0, ) 上是減函數(shù) . 〖設(shè)計(jì)意圖 〗讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過(guò)對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的 第三次認(rèn)識(shí) . 六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí) 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體

23、會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生 合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié) (1) 概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論． (3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等． 2. 課后探究： 研究函數(shù) y x 1 (x 0) 的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖． x 5. 【課堂教學(xué)實(shí)錄】 教學(xué) 教學(xué)活動(dòng) 問(wèn)題呈現(xiàn) 環(huán)節(jié) 一、創(chuàng)設(shè)情 境，引入課 題  課前布置任務(wù)：

24、 (1) 由于某種原因， 2008 年北京奧運(yùn)會(huì)開幕式時(shí)間由原定的 7 月 25 日推遲到 8 月 8 日，請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因 . (2) 通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天氣溫變化情況 . 課上通過(guò)交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣 的原因，北京的天氣到 8 月中旬，平均氣溫、平均降雨 量和平均降雨天數(shù)等均開始下降， 比較適宜大型國(guó)際體 育賽事 . 下圖是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小時(shí)內(nèi)氣溫隨 時(shí)間變化的曲線圖 .

25、 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 生 1（主動(dòng)回答）： 0～4 時(shí)，溫度下降， 4～ 14 時(shí)溫度上升， 14～ 24 時(shí)溫度下降。 歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化， 函數(shù)值是變大還是變?。?  問(wèn)題 1：請(qǐng)同學(xué)們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學(xué)生獨(dú)立思考）

26、 問(wèn)題 2：還能舉出生活 中其他的數(shù)據(jù)變化情況 嗎？ 預(yù)案：水位高低、 燃油價(jià)格、股票價(jià)格等． 問(wèn)題 3：觀畫出 y=x 和 生 1：一次函數(shù) y=x 其定義域上是上升的， 二次函 y x2 的函數(shù)圖象，回 數(shù) y x2 是先下降后上升。 師：這樣回答準(zhǔn)確嗎？ 生 2：一次函數(shù) y=x 在區(qū)間（ -∞，+∞）上是“上升 ” 的；二次函數(shù) y=x2 在區(qū)間（-∞，0）上是 “下降 ”的，（ 0，-∞）上是 “上升 ”的。 這時(shí)學(xué)生們思維較為混亂， 無(wú)從下手。教師及時(shí)通 過(guò) "幾何畫板 "

27、展示 y=x 圖象上任意 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，讓學(xué)生觀察 x， y 值的變化。 師（及時(shí)提問(wèn)）：同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把 y=x 圖象"上升 "的特征描述出來(lái)嗎？ 生 3：該函數(shù)隨著 x 的值增大， y 的值相應(yīng)的增大。師（面向全體學(xué)生）：大家同意生 4 的回答嗎？ 生 4：老師，我有補(bǔ)充，應(yīng)該說(shuō)：該函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上隨著 x 的值增大， y 的值相應(yīng)的增大。 師：生 5 補(bǔ)充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對(duì)  答下面兩個(gè)問(wèn)題： ⑴ 分別指出上面兩個(gè)函數(shù)的圖象在哪個(gè)區(qū)間是上升的，在哪個(gè)區(qū)間是下降的？ ⑵ 同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言 把這兩個(gè)函數(shù)圖象“上升

28、”或“下降 ”的特征描述出來(lái)嗎？ 二 借 助 圖象，直觀感知  應(yīng)區(qū)間上的變化情況，那么函數(shù) y x2 呢？ 生 5：函數(shù) y x2 在區(qū)間（ -∞， 0）上隨著 x 的值 增大， y 的值相應(yīng)的減小；在區(qū)間（ 0， +∞）上是隨著 x 的值增大， y 的值相應(yīng)的增大。 師：在數(shù)學(xué)上，我們把 y 隨著 x 的增大而增大， 稱為增函數(shù)；把 y 隨著 x 的增大而減小，稱為減函數(shù)。 生 6 ：因?yàn)? 1<2, f (1) f (2) ,所 以 f ( x)

29、 x 2 在 [ 0, ) 為增函數(shù)． 生 7：因?yàn)? 1 2 3 4 5 ， f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 所 以 f (x) x 2 在 [0, ) 為增函數(shù)． 問(wèn)題 4：如何從解 生 8：不對(duì)，以上只在兩個(gè)或有限個(gè)特殊值之間進(jìn) 析 式 的 角 度 說(shuō) 明 行比較，不能代替所有值。 f ( x) x 2 在 [0, ) 為 師：很好，所有的都拿出來(lái)比較，能做到嗎？一一 增函數(shù)？

30、 三．探究規(guī) 律，理性認(rèn) 識(shí)  列舉行嗎？（意圖：通過(guò)這一問(wèn)題，讓學(xué)生聯(lián)想到用字母符號(hào)來(lái)表示任意的數(shù)值） 生：拿兩個(gè)就行了。 師：原來(lái)不都是每次拿兩個(gè)來(lái)進(jìn)行比較的嗎？為什么不行？ 生（終于明白）：任意兩個(gè)。 師：找任意兩個(gè)？怎樣能做到這一點(diǎn)。 生：用字母表示數(shù)字。 師：更清晰

31、一點(diǎn)說(shuō)呢？ 生：用 x1, x2 表示兩個(gè)變量， 用 f ( x1 ), f ( x2 ) 表示對(duì)應(yīng) 的函數(shù)值。 師：好，請(qǐng)大家回想一下上述過(guò)程，試用 x1 , x2 、 f ( x1 ), f ( x2 ) 來(lái)刻畫增函數(shù)的定義。 學(xué)生嘗試用符號(hào)表達(dá)單調(diào)增函數(shù)的定義 師生共同修正： 任 取 x1 , x2 [ 0, ), 且 x1 x2 , 因 為 x12 x2 2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) 0 , 即 x1 2 x2 2 ， 所 以 f ( x) x 2 在 [0, )

32、為增函數(shù)． 對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和 文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析 ,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變 量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取 兩個(gè)自變量 x1 , x2 ． 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義， 然后學(xué)生類比 得出減函數(shù)的定義． 板書定義： y y f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 O x1 xx2 x x O 1 2 x  （一）、函數(shù)的單調(diào)性概

33、 念 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?A， 區(qū)間 I , 如果對(duì)于任意的 x1 、 x２∈Ｉ ，當(dāng) x1

34、遞減的） ，則稱 f(x) 是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增或遞減的性質(zhì)統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào) 性。 師：你能否舉出一個(gè)具體函數(shù)的例子，使它在區(qū)間 ( , ) 上對(duì)任意 x1 x2 ，總有 f (x1 ) f (x2 ) 生： f (x) x 師：你能否舉出一些具體的例子，使它在區(qū)間 (0 ) 上，對(duì)任意的 x1 x2 ，總有 f ( x1 ) f ( x2 ) 生： f (x) 1 ， f (x)x2 x 

35、 問(wèn)題 5：你能用準(zhǔn)確的 數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增 函數(shù)的定義嗎 ? 生 9：老師，該函數(shù)的圖象是什么？ 師：這位同學(xué)問(wèn)得非常好，那么在不知圖象的前提下，我們能得知該函數(shù)是增還是減嗎？ （讓學(xué)生大膽的去猜想） 生 10 ：可以用定義法證明函數(shù) f (x) x 在（ 0，+∞） x 1 上是增函數(shù)。 師：那么具體怎么證明呢？帶著這個(gè)問(wèn)題讓我們先來(lái)看 例 1. 例 1. 證明函數(shù) f ( x) 1 在 (0, )上是增函數(shù)． x 1．分析解決

36、問(wèn)題 針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流． 四．抽象思 維，形成概 念  證明：任取 x1 , x2 (0, ), 且x1 x2 , 設(shè)元 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 求差 x1 x2 x2 x1 變形 x1x2 x1 x2 , ∴ x1 x2 0, x1 x2 0 ∴ f ( x1 )

37、f (x2 ) 0, 即 f (x1 ) f ( x2 ), 斷號(hào) ∴函數(shù) f ( x) x 2 在 ( 2, ) 上是增函數(shù) . 定論 x 2．歸納解題步驟 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論． 結(jié)論：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間 A, B 上都是增（或減） 函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在 A B 上是增（或減）函數(shù)． 問(wèn)題 6：依據(jù)上述定義， 試判斷函數(shù) f (x) x x

38、1 在（ 0， +∞）上是增函 x 數(shù)還是減函數(shù)，并給予 在（ 0，+∞）上是增函 證明。（小組合作交流） 練習(xí) 1：試判斷函數(shù) f (x) x 1 數(shù)還是減函數(shù)，并給予證明。（最后教師用 “幾何畫板 ” 作出 f ( x) x 的圖象） x 1 練習(xí) 2：證明函數(shù) f ( x) x 在 [0, ) 上是增函數(shù)． 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性． 讓學(xué)生嘗 試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)  f ( x) 

39、 x 在 [ 0,  ) 上是增 函數(shù)． 練習(xí) 3：判斷題： 1） 已知函數(shù) f (x) 1 ，因?yàn)?f ( 1) f (2) ，所以函數(shù) f(x) 是增函數(shù) x 2） 已知函數(shù) f ( x) x2 ，對(duì)任意 x 0 ，都有 f (x) f (0) ， 因此 f(x) 是 (0, ) 上增函數(shù)。 3） 已知 f (x) 1 在

40、( ,0) 和 (0, ) 上都是減函數(shù)，則 x 在 ( ,0) (0, ) 上也是減函數(shù)。 小結(jié) : 1、函數(shù)單調(diào)性的概念，增（減）函數(shù)的概念，注意關(guān) 鍵詞 2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法： （ 1）圖像法（從“形”的角度） （2）定義法（從“數(shù)”的角度） 問(wèn)題 7：能用定義法證 3、函數(shù)單調(diào)性的證明步驟： 明 f (x) 1 在 ( ,0) 上 x 取值——作差——變形

41、——判斷符號(hào)——下結(jié)論。 是增函數(shù)么？ 1 4、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想。 問(wèn)題 8：能證明 f ( x) x 在 ( ,0) (0, ) 上是 課后探究： 研究函數(shù) y x 1 ( x 0) 的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法 增函數(shù)么？ x 畫出函數(shù)的草圖． 問(wèn)題 9：要證明函 數(shù) f (x) 在區(qū)間 ( a, b) 上 是增函數(shù)，除了按以上

42、 步驟來(lái)證，如果可以證 得 對(duì) 任 意 的 x1 , x2 ( a,b) ， x1 x2 ， 都 有 f (x2 ) f (x1 ) 0 x2 x1 可以嗎 ? 五、鞏固概 念，適當(dāng)延 展 六、歸納小 結(jié)，提高認(rèn)

43、 識(shí) 6. 【教學(xué)路線圖】 根據(jù)課堂活動(dòng)的情況，本課的教學(xué)路線圖如下： 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 借助圖像，直觀感之 探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí) 抽象思維，形成概念 鞏固概念，適當(dāng)延展  通過(guò)生活實(shí)例，初步引導(dǎo)學(xué)生觀察 函數(shù)圖像上升下降趨勢(shì)。 通過(guò)具體函數(shù)，從感性認(rèn)識(shí)初步上 升到理性認(rèn)識(shí)。

44、 探究具體函數(shù)單調(diào)性的定義，能用 數(shù)學(xué)符號(hào)表示。 探究一般函數(shù)單調(diào)性的定義，能用 數(shù)學(xué)符號(hào)表示。 運(yùn)用定義，證明一般函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)突出注 歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí) 意點(diǎn)。 7. 【教學(xué)過(guò)程的整體分析】 本節(jié)課通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在教師的有 效指導(dǎo)下解決問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)說(shuō)在知識(shí)的學(xué)習(xí)、能力的培養(yǎng)二個(gè)方面收獲都比較大，基本上達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中收獲了以下幾點(diǎn)心得： 1、概念教學(xué)就是對(duì)知識(shí)發(fā)生

45、過(guò)程的了解，數(shù)學(xué)概念是一系列常識(shí)不斷精細(xì)化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求。本案例通過(guò)“直觀 ”到 “抽象 ”的跨越，使學(xué)生意識(shí)到自己能力上的缺陷， 從而引發(fā)認(rèn)知上的不平衡，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。 2、概念形成困難的原因在于新舊知識(shí)結(jié)構(gòu)上的矛盾（如語(yǔ)言形式上的差異太 大，學(xué)生認(rèn)知水平、抽象水平與新內(nèi)容的要求落差大等），所以解決的策略應(yīng)是要 培植知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，搭建恰當(dāng)?shù)哪_手架。為此，我循序漸進(jìn)、螺旋式地設(shè)計(jì)了問(wèn)題 組和運(yùn)用了信息技術(shù)， 是學(xué)生從 “形 ”到“數(shù)”有了清新的認(rèn)識(shí)。 學(xué)生的知識(shí)得到不斷重 組和內(nèi)化，從而使學(xué)生形成了完整的知識(shí)體系和良

46、好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也優(yōu)化了課堂的 教學(xué)結(jié)構(gòu)。 3、以學(xué)為本，因?qū)W論教，圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)需求設(shè)計(jì)和推進(jìn)學(xué)習(xí)過(guò)程。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，把學(xué)習(xí)的權(quán)利還給學(xué)生，把思考的時(shí)間留給學(xué)生，把發(fā)現(xiàn)的過(guò)程給學(xué)生，把概括總結(jié)的機(jī)會(huì)給學(xué)生，使學(xué)生說(shuō)出自己的思路、講述研究的過(guò)程、表達(dá)形成的 見解、闡述最終的成果。實(shí)際的教學(xué)效果是學(xué)生自主創(chuàng)新力有所提高參與積極性高，但“角色 ”轉(zhuǎn)換不太到位，不能放開手腳自主擔(dān)當(dāng)。 4、在教學(xué)過(guò)程中，注重了小組合作這一有效地實(shí)現(xiàn)調(diào)動(dòng)、研討、交流、合作的學(xué)習(xí)形式，突出了個(gè)體和集體力量的和諧統(tǒng)一，在挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)的潛能、促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展以及綜合素質(zhì)的提高上，有所效

47、果，使教學(xué)成為課程創(chuàng)生與開發(fā)的過(guò)程，這是新課程理念所倡導(dǎo)的。 5、在教學(xué)中相信學(xué)生也是非常重要的，教師要敢于放手，學(xué)生才能有效地自主學(xué)習(xí)，相信學(xué)生的能力，相信學(xué)生的工作，教師要做的就是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給予學(xué)生合適的指導(dǎo)和幫助，但在討論問(wèn)題時(shí)，場(chǎng)面有些混亂，學(xué)生不能高效學(xué)習(xí)，對(duì)課本依賴性強(qiáng)，教師的引導(dǎo)不到位。 學(xué)生的潛能太大了，需要我們提供和搭建一個(gè)讓他們盡情發(fā)展的平臺(tái)。新課程改革就是要通過(guò)我們的努力工作，通過(guò)我們的不斷實(shí)施，為他們創(chuàng)造這樣的一個(gè)最有利于他們發(fā)展的機(jī)會(huì)，給他們以時(shí)間和空間，幫助他們成才，幫助他們成功。 8. 【教學(xué)過(guò)程的局部分析】 1.情境問(wèn)題的處理：

48、本著 “以新課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，注重過(guò)程，探究合作” 的原則進(jìn)行設(shè)計(jì)與教學(xué)，因此創(chuàng)設(shè)情境的關(guān)鍵是有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題從而揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，本節(jié)課創(chuàng)設(shè)的情境既體現(xiàn)了單調(diào)性的本質(zhì)，又與學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，基本上達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。 2.例題教學(xué)： 本課例題教學(xué)的兩個(gè)目的：一是讓學(xué)生進(jìn)一步了解單調(diào)性內(nèi)涵，二是讓學(xué)生感知單調(diào)性證明的要點(diǎn)與方法。本課講解的例題證明過(guò)程注重?cái)?shù)形結(jié)合，先讓學(xué)生觀察圖像，形成感性認(rèn)識(shí)；再給出形式化證明，突出了證明單調(diào)性常用方法，從形和數(shù)兩方面加強(qiáng)對(duì)單調(diào)性理解，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。通過(guò)小組合作、交流學(xué)習(xí)的形式使學(xué)生體驗(yàn)了知識(shí)

49、形成的過(guò)程。但是仍以教師講授為主，學(xué)生自主探究能力仍然得不到提升。 3.數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)： 本節(jié)課中教師所運(yùn)用的語(yǔ)言十分值得我們學(xué)習(xí)，在學(xué)生回答問(wèn)題后教師的各種評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)的話都十分的友好和善。在提出問(wèn)題后，這位教師并沒有直接的進(jìn)行評(píng)價(jià)，而是一步一步的分析或者請(qǐng)其他同學(xué)補(bǔ)充回答。教師在概念給出后對(duì)于細(xì)節(jié)的把握很是到位，對(duì)于可以斟酌的內(nèi)容，則使用了商量的語(yǔ)氣和話語(yǔ)。是學(xué)生不至于被教師的一句話帶入只聽從權(quán)威的錯(cuò)誤情況， 給予學(xué)生充分的考慮和理解以及提出質(zhì)疑的空間，這些都是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要注意的地方。 《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 一、教學(xué)內(nèi)

50、容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)， 是函數(shù) 學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對(duì) 于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面： （ 1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言去刻畫圖象 的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的； （ 2） 單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證 能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)． 二、教 學(xué)目標(biāo)的確定 根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、

51、 教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平， 從三 個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過(guò)程和對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；強(qiáng)調(diào)判斷、 證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語(yǔ)言表達(dá)能力、推理論證能力的 培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成． 三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課， 采用教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形 成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來(lái)輔助教學(xué)，目的是充分發(fā)揮其快捷、 生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)． 四、教學(xué) 過(guò)程的設(shè)計(jì) 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)， 突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施： （ 1） 在探索概念階段 , 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，完成 對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí) ,使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入． （ 2）在應(yīng)用概念階段 , 通過(guò)對(duì)證 明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟． （ 3）考慮到我校學(xué)生數(shù) 學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對(duì)判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱梗由顚?duì)定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．