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1、
學(xué)校： 臨清一中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：李洪濤 審稿人：張林
1.5.1 曲邊梯形的面積教案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過對曲邊梯形面積的探求，掌握好求曲邊梯形的面積的四個步驟 —分割、近似代替、求
和、求極限；
2 通過求曲邊梯形的面積、變速運動中的路程，初步了解定積分產(chǎn)生的背景．二、重點、難點
重點：求曲邊梯形的面積；
難點：深入理解“分割、近似代替、求和、求極限”的思想．三、知識鏈接
1、直邊圖形的面積公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；
2、勻速直線運動的時間（ t）、速度（ v）與路程（ S）的關(guān)系 ．
四、學(xué)法指導(dǎo)
2、
探求、討論、體會以直代曲數(shù)學(xué)思想．
五、自主探究
1、概念：如圖，由直線 x=a , x= b , x 軸，曲線 y=f (x)所圍成
的圖形稱為 ．
2、思考：如何求上述圖形的面積？它與直邊圖形的主要區(qū)
別是什么？能否將求這個圖形的面積轉(zhuǎn)化為求直邊圖形的
面積問題？
例１、求由拋物線 y=x2 與 x 軸及 x=1 所圍成的平面圖形的面積S．
分析：我們發(fā)現(xiàn)曲邊圖形與“直邊圖形”的主要區(qū)別是，
曲邊圖形有一邊是
線段，而“直邊圖形”的所有邊都是
線段。 我們可以采用 “以直代曲， 逼近 ”的思想得到解決問題的
思路：
3、將求曲邊梯形面積的問題轉(zhuǎn)化為求
“直邊圖形 ”面積的問題．
解： （ 1）分割
把區(qū)間 [0， 1]等分成 n 個小區(qū)間：
[ 0, 1
], [ 1
, 2 ],
,[ i
1 , i ],
,[ n
1, n ],
n
n
n
n
n
n
n
i
i 1 1
每個區(qū)間的長度為 x
n n n
過各區(qū)間端點作 x 軸的垂線，從而得到 n 個小曲邊梯形，他們的面積分別記作
S1 , S2 , , Si , , Sn .
（2） 以直代曲
Si
f ( i 1) x
(
4、 i 1)2 1
n
n
n
（3）作和
n
S
S1
S2
Sn
i 1
Si
n
n
( i - 1) 2
f( i -1) 1
1
i 1
n
n
i 1n
n
1
2
2
2
(n 1)
2
]
n
3 [0
1 2
（4）逼近
當(dāng)分割
5、無限變細(xì)，即 x 0(亦即n )時，
1 2
n 3 [0
1
(1
6
所以 S
12
22
(n 1) 2 ]
1
1 (n 1)n(2n 1)
1
1
1
n3
6
)(2
n
)
n
3
1 ，即所求曲邊三角形的 面積為 1。
3 3
分割 以曲代直 作和 逼近
當(dāng)分點非常多 （n 非常大） 時，可以認(rèn)為 f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化 （或變化非常小） ，
從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點 xi 對應(yīng)的函數(shù)值 f(xi)作
6、為小矩形一邊的長，于是 f(xi) △ x 來近似表示小曲邊梯形的面積
f (x 1 ) x f(x 2 ) x f(x n ) x
表示了曲邊梯形面積的近似值。
變式拓展：求直線 x=0,x=2,y=0 與曲線 y=x2 所圍成的曲邊梯形的面積．
反思 :
例 2 ：一輛汽車在筆直的公路上變速行使
,設(shè)汽車在時刻
t
的速度為
( )
2
2 (單位
v t
t
km
7、/ h) ，求它在 0 t
1(單位： h )這段時間內(nèi)行使的路程
S ( 單位 : km )．
變式拓展：一輛汽車在筆直的公路上變速行使
,設(shè)汽車在時刻
t
的速度為
( )
2
5 (單位
v t
t
km / h) ,
2
(
單位
:
)
這段時間內(nèi)行使的路程
(
:
)
．
求它在 0 t
h
S
單位
km
反思 :
六、目標(biāo)檢測
見學(xué)案
七、作業(yè)布置 P50 B 組 1． 2（ 1）（ 2）
八、小結(jié)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
《曲邊梯形的面積》教案李洪濤
