人教版七年級上冊數學 第一章 有理數全章講義

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1、 初一數學有理數全章講義 1.1正數和負數 知識點歸納 一、 正數和負數的定義 正數：大于0的數叫做正數。根據需要，有時在正數前面加上正號“+”，但是正數前面的正號“+”，一般省略不寫。 負數：在正數前面加上負號“-”的數叫做負數。負數前面的負號“-”不能省略。 注：對于正數和負數的概念，不能簡單地理解為帶“+”的數就是正數，帶“-”的數就是負數。 eg：-a不一定是負數，因為字母a可以表示任何數，當a是正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a則是一個正數，而不是負數；當a表示0時，-a就是在0前面加上一個負號，仍是0,0不分正負。 二、具有相反意義的量

2、 正數和負數表示具有相反意義的量。若用正數表示某種意義的量，則負數就表示與其相反的量，反之亦然。 常見的表示相反意義的量：零上和零下、前進和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、升高和下降。 三、0的意義（重點理解） 數0既不是正數，也不是負數。0是正數和負數的分界線。0℃是一個確定的溫度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意義已經不僅是表示“沒有”。 典型例題 1、下列說法不正確的是（ ） A．0不是正數，也不是負數 B．負數是帶有“-”的數，正數是帶有“+”的數 C．非負數是正數或0 D．0是一個特殊的整數，它并不只是

3、表示“沒有” 2、水位上升-0.5cm的意義是（ ） A．水位上升0.5cm B．水位下降0.5cm C．水位沒有變化 D．水位下降了5cm 3、下列說法錯誤的是（ ） A．-5一定是負數 B．在正數前面加上“-”就成了負數 C．自然數一定是正數 D．-a不一定是負數 4、下列說法正確的有（ ） ①不帶負號的數都是正數 ②帶負號的數不一定是負數 ③0℃表示沒有溫度 ④0既不是正數，也不是負數 A.0個 B.1個 C.2個 D3個 5、在跳遠測驗中，合格標準是4.00m，小明跳

4、出了4.18m，記作+0.18m，小華跳出了3.96m，應記作＿＿＿＿ 6、-1,2，-3,4，-5＿＿，＿＿，＿＿，…第81個數是＿＿，第2005個數是＿＿。 7、峨眉山上某天的最高氣溫為12℃，最低氣溫為-4℃，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高（ ） A.4 B.8℃ C.12℃ D.16℃ 8、一架飛機在距離地面1500米的高空飛行，它第一次下降了-200米，第二次又上升了-100米，第三次下降了300米，此時飛機距離地面多高？ 9、某蓄水池的標準水位記為0m，如果用正數表示水面高于標準水位的高度，那么 （1）0.08m和-0.2m各表示什么

5、？ （2）水面低于標準水位0.1m和高于標準水位0.23m各表示什么？ 10、2006年我國全年平均降水量比上年減少24毫米，2005年比上年增長8毫米，2004年比上年減少20毫米。用正數表示這三年我國全年平均降水量比上年的增長量。 1.2.1有理數 知識點歸納 一、有理數的概念 正整數、0、負整數、正分數、負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。 注：（1）正整數、0、負整數統稱為整數。 （2）正分數和負分數統稱為分數。 （3）對于小數，只有能化成分數的小數才是有理數。 （4

6、）我們把有限小數和無限循環(huán)小數都看做分數，因此有限小數和無限循環(huán)小數是有理數。 （5）無限循環(huán)小數不能化成分數，因此它不是分數，也不是整數，所以就不是有理數。 二、有理數的分類（重點） 按數的種類分 按有理數的性質分 有理數 有理數 注：（1）有理數的分類必須按同一標準，不漏、不重。 （2）0和正整數統稱為非負整數。 （3）0和負整數統稱為非正整數。 （4）0和正有理數統稱為非負數。 （5）0和負有理數統稱為非正數。

7、 典型例題 1、-7是（ ） A.自然數 B.負分數 C.非負數 D.負整數 2、所有的正整數和負整數結合在一起構成（ ） A.整數集合 B.有理數集合 C.自然數集合 D.以上說法都不對 3、關于0的說法，正確的有（ ） ①是整數 ②不是正數，也不是負數 ③是最小的整數 ④是自然數 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4、下列說法不正確的是（ ） A.-0.5是分數 B.0不是正數也不是負數 C.整數和分數統稱為有理數 D.0是最小的正數 5、下列說法錯誤的是（ ）

8、A．負整數和負分數統稱為負有理數 B．正整數，0，負整數統稱為整數 C．正有理數和負有理數組成全體有理數 D．3.14是小數，也是分數 6、下列說法正確的的是（ ） A.有理數是指整數、分數、正有理數、0、負有理數 B.一個有理數不是整數就是負數 C.一個有理數不是整數就是分數 D.以上說法都正確 7、0.四個數中，有理數的個數為（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 8.有理數中，是整數而不是正數的是（ ），是分數而不是正分數的是（ ）。 9、有理數中，最小

9、的自然數是（ ）,最小的正整數是（ ）。 10、整數與分數統稱為（ ），整數包括（ ），分數包括（ ）。 11、通常把（ ）和（ ）統稱為非負整數，把（ ）和（ ）統稱為非正整數；把（ ）和（ ）統稱為非負數，把（ ）和（ ）統稱為非正數。 12、將下列各數按要求分別填入相應的集合中。 0.2. (1)正整數集合：{ } (2)負整數集合：{

10、 } (3)正分數集合：{ } (4)負分數集合：{ } (5)整數集合：{ } (6)分數集合：{ } (7)有理數集合：{

11、 } 1.2.2數軸 知識點歸納 一、數軸的概念 規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。 注意事項： （1）數軸是一條兩端無限延長的直線。 （2）原點，正方向，單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可。 （3）同一數軸上的單位長度要統一。 （4）數軸的三要素都是根據實際需要規(guī)定的。 （5）定義中的“規(guī)定”二字，是說原點的規(guī)定、正方向的選取、單位長度大小的確定，都是根據實際需要規(guī)定的，通常取向右為正方向。 二、數軸的畫法（重點） 畫數軸時，關鍵要體現數軸的三要素：原點、正

12、方向、單位長度，三者缺一不可。 其步驟如下： 1、畫一條水平的直線； 2、在直線上任意選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下方標上“0”）； 3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來； 4、選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度選取一點，依次表示1,2,3，…；從原點向左，每隔一個單位長度選取一點，依次表示-1，-2，-3，…。 三、數軸上的點與有理數的關系（重點、難點） 一般地，設a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個長度單位；表示數-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個長度單位。所有的有理數都可以用數軸上的點表示，正

13、有理數可以用原點右邊（或上邊）的點表示，負有理數可以用原點左邊（或下邊）的點表示，0用原點表示。 注：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應的關系。 四、利用數軸比較大小（重點、難點） 1、數軸上的數的大小比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數比左邊的數大 2、有理數大小比較法則：（1）正數都大于0 （2）負數都小于0 （3）正數大于負數 （4）兩個負數比較大小：距原點距離遠的數比距離遠點近的數小，即在原點的左側，離原點越遠，數越小。 典型例題 1、規(guī)定了（ ）、（ ）、（ ）的直線叫做數

14、軸。 2、在數軸上表示數-3的點在原點的（ ），與原點的距離為（ ）個長度單位。 3、在數軸上到原點距離是2.5個長度單位的點表示的數是（ ）。 4、P點表示的數是-1，到P點4個單位長度的點表示的數是（ ）。 5、一個動點從表示1的點出發(fā)，先向左移動2個單位，再向右移動3個單位長度，則終點離原點的距離是（ ）個單位長度。 6、若點A表示數-3，點B表示數7，那么A、B間的距離是（ ）。 7、下列圖中表示數軸的是（ ）. A. B.

15、 C. D. 8、數軸上表示整數的點稱為整點，某數軸的單位長度是1cm，若在這個數軸上隨意畫出一 條長2005cm的線段AB，則線段AB蓋住的整點有（ ） A. 2003或2004個 B.2004或2005個 C.2005或2006個 D.2006或2007個 9、畫出數軸，用數軸畫出表示下列各點的數并用“>”連接起來。 4，-2，-4.5，0， 10、如圖，寫出數軸上點A、B、C、D、E表示的數。 11、小敏家、學校、郵

16、局、圖書館坐落在同一條東西走向的大街上，依次記為A，B，C，D， 學校位于小敏家西150m，郵局位于小敏家東100m，圖書館位于小敏家西400m。 （1） 用數軸表示A，B，C，D的位置. （2） 一天小敏從家里以每分鐘50m的速度先去郵局寄信后又往圖書館方向共走了8min.試問小敏這時約在什么位置？距離圖書館和學校各約多少米？ 1.2.3相反數 知識點歸納 一、相反數的概念 只有符號不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數；特別地，0的相反數是0. 注：（1）“0的相反數是0”是相反數定義的一部分，千萬不能把它漏掉. （2）相反數是成對出現的，不能單

17、獨存在，單獨的一個數不能說是相反數. （3）“只有符號不同的兩個數”中的“只有”指的是除符號不同以外數字完全相同，不要理解為只要符號不同的兩個數就是互為相反數. 二、相反數的意義 任何一個數都有相反數，而且只有一個相反數，正數的相反數一定是負數；負數的相反數一定是正數；0的相反數仍是0. 幾何意義：互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側；反之，位于原點兩側且到原點距離相等的點所表示的兩個數互為相反數。 代數意義：相反數中，“相反”的意思是說：“只有符號相反”，即兩個數除符號不同外其余都相同。 【注意】：（1）一個數的相反數的相反數是它本身.

18、 （2）注意區(qū)別“相反數” 與“相反意義的量”。前者是指具有相反符號的一對數，后者指相對具有相反意義的量。 三、相反數的表示方法 一般的，一個數a的相反數可以表示為-a。 根據相反數的意義，只改變原數的符號即可得到原數的相反數，就是說只要在一個數的前面加“-”號即可得到這個數的相反數。 【注意】（1）數a表示任意一個數，可以是正數、負數和0，還可以表示任意的一個式子。 （2）一個數的前面加上“-”號表示這個數的相反數，加上“+”號表示這個數本身。 四、相反數的求法 求一個數的相反數，只要在它的前面添上“-”號即可得到原數的相反數；當原數是多個數的和差時，要用括號括起來再添

19、“-”號；若原數是單個數且前面有“-”則也應先括起來再添“-”號，然后化簡。如：（1）-a的相反數是-（-a），即a；（2）a+b的相反數是-（a+b）；（3）-（-2）的相反數是-[-(-2)]，即-2. 五、多重符號的化簡 當“-”號的個數為偶數時，化簡結果為正；當“-”號個數為奇數時，化簡結果為負。 六、相反數的性質 任何一個數都有相反數，而且只有一個。正數的相反數一定是負數；負數的相反數一定是正數；0的相反數仍是0。 【注意】 （1）若兩個數互為相反數，則它們的和為0. （2）數軸上表示相反數的兩個數關于原點對稱. （3）相反數等于它本身的數只有0. （4）相反數是成

20、對出現的，不能單獨存在. （5）“只有符號不同的兩個數”中的“只有”指的是除符號不同以外數字完全相同，不要理解為只要符號不同的兩個數就是互為相反數. 典型例題 1、 判斷下列說法是否正確。 （1）-3與互為相反數。（ ） （2）5的相反數是。（ ） （3）0的相反數是-0，所以0與-0不是互為相反數。（ ） 2、下列敘述正確的是（ ） A.符號不同的兩個數互為相反數 B.一個數的相反數一定是負數 C.非負數的相反數是非整數 D.正數的相反數是分數 3、如果a=-a，那么表示a

21、的點在數軸上的位置是（ ） A.原點左側 B.原點右側 C.原點 D.原點或原點右側 4、一個數的相反數小于它本身，這個數是（ ） A.正數 B.負數 C.非正數 D.非負數 5、一個數的相反數大于它本身，這個數是（ ） A.正數 B.負數 C.非正數 D.非負數 6、一個數的相反數是非負數，則這個數一定是（ ） A.正數 B.負數 C.正數或0 D.負數或0 7、一個數的相反數是非正數，則這個數一定是（ ） A.正數

22、 B.負數 C.正數或0 D.負數或0 8、下面兩個數互為相反數的是（ ） A.與0.2 B.與-0.333 C.與-2.25 D.-[-（-5）]與[+(-5)] 9、-（+4）是（ ）的相反數；-（-7）是（ ）的相反數。 10、a的相反數是（ ），當a=13時，a的相反數是（ ），當a=-5時，a的相反數是（ ），當a=0時，a的相反數是（ ）。 11、如果-a=-9，那么-a的相反數是（ ）。 12、如果-x的相反數是-2，那么x=（ ）；如果x-3的相反數是0，那么x=（

23、 ）。 13、求下列各數的相反數。 ，，0,1,0.1，-a，-2xy，a-b， 14、化簡： （1） （2） （3）-[+（-2）] （4） （5）+{-[-(-2)]} 15、已知a-4與-1互為相反數，求a的值。 16、已知x與y互為相反數，y與z互為相反數，已知z=2，求x、y的值。 17、數軸上離原點的距離小于3.5的整數點的個數為m，距離原點等于3.5的點的個數為n，求m-n的值。 1.2.4 絕對值 知識點歸納 一、 絕對值的概念 數軸上表示數a的點與原

24、點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|，讀作“a的絕對值”。 【注意】（1）一個數的絕對值就是在數軸上表示這個數的點與原點的距離，由于距離總是正數和零，所以一個數的絕對值是正數或零，即是一個非負數，這就是絕對值的一個重要性質——非負性。 （2）在數軸上，表示這個數的點離原點的距離越遠，絕對值越大；反之離原點距離越近，絕對值越小。 （3） 一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的。 二、絕對值的意義 1、絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小。 2、絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身，一個負

25、數的絕對值是它本身的相反數，0的絕對值是0. 三、絕對值的表示方法（重點） ||= 【注意】（1）非負數的絕對值等于他本身，即 （2）非正數的絕對值等于它本身的相反數，即 四、絕對值得性質（重點、難點） 1、絕對值具有非負性，任何一個數的絕對值總是正數或零，即：。 2、0的絕對值是0，絕對值等于0的數是0，絕對值最小的數是0，即：。 3、互為相反的兩個數絕對值相等，即：。 4、絕對值相等的兩個數相等或互為相反數，即：或。 5、絕對值等于同一個整數的數有兩個，它們互為相反數，即：。 6、若幾個數的絕對值的和為0，則這幾個數分別為0，即：。 五、絕對值的求法

26、 1、在數軸上找到表示這個數a的點，這個點與原點的距離就是這個數a的絕對值。 2、一個正數在數軸上對應的點與原點的距離恰好等于這個數本身，所以正數的絕對值是它本身。 3、一個負數在數軸上對應的點與原點的距離是這個數的相反數，所以一個負數的絕對值是它本身的相反數。 4、表示0的點就是原點，原點與原點的距離是0，所以|0|=0。 【注意】在求一個數a的絕對值時要注意：先判斷這個數a是正數、負數還是0，再根據絕對值的代數意義求出這個數的絕對值。 六、利用絕對值比較兩個負數的大?。ㄖ攸c） 1、比較兩個負整數的大?。焊鶕^對值大的數反而小 2、比較兩個負分數的大小時，有兩點必須注意：①絕對

27、值大的數反而小；②比較絕對值時，分母相同，分子大的數大；分子相同，分母大的數反而小，也可以將分數轉化為小數進行比較。 3、利用絕對值比較兩個負數大小的步驟：①分別計算兩個數的絕對值；②比較絕對值的大??；③判定兩個數的大?。ǜ鶕^對值大的數反而?。?。 七、含有字母的絕對值的化簡求值（重點、難點） 化簡絕對值要分兩步走，即“先判后去”——先判斷這個數是正數、零還是負數，再由絕對值的意義確定去掉絕對值的符號的結果是等于它本身還是等于它本身的相反數或零。 e.g：化簡 第一步：取0點：令，得； 第二步：取范圍：和或和； 第三步：在各范圍內化簡： ①當時，， ②當時，，

28、 典型例題： 1、-5的絕對值是（ ） A.5 B. C.-5 D.0.5 2、若且，則的值為（ ） A. B. C. D.不能確定 3、數軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數是（ ） A.6或-6 B.6 C.-6 D.3或-3 4、 下列各式錯誤的是（ ） A. B. C. D. 5、若則的關系是（ ） A.相等 B.互為相反數 C.相等或互為相反數 D.以上均不正確 6、下列說法中錯誤的個數是（ ） ①絕對值是它本

29、身的數有兩個，它們是0和1 ②一個有理數的絕對值必是正數 ③2的相反數的絕對值是2 ④任何有理數的絕對值都不是負數 A.0 B.1 C.2 D.3 7、在下列四個數中，比0小的數是（ ） A.0.5 B.-2 C.1 D.3 8、下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D. 9、有理數在數軸上對應的點如圖所示，則，，的大小關系是（ ） A. B. C..

30、 D. 10、滿足的數有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 無數個 11、已知，則的值為（ ） A. B. C. D. 以上答案均不正確 12、若，則為（ ） A. B. C. D. 13、設是最小的正整數，是最大負整數的相反數，是絕對值最小的有理數，則的大小關系是（ ） A. B. C. D. 14、下列推理：①②③ ④，其中正確的個數為（ ） A.

31、1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 15、為有理數，且，則的大小順序是（ ） A. B. C. D. 16、求下列各數的絕對值，并將所有數在數軸上表示出來。 （1） （2） （3） （4） 17、比較下列各組數的大小。 （1）和 （2）和 （3）和 （4）和 18、計算： （1） （2） (3) （4） 19、把下列各式去掉絕對值的符號。 （1）

32、 （2） 20、已知，求的值 21、已知且，求的值 1.3.1有理數的加法 知識點歸納 一、有理數加法的定義 1、把兩個有理數合成一個有理數的運算叫作有理數的加法。 2、兩個有理數相加，有以下幾種情況： （1）兩數都是正數；（2）兩數都是負數；（3）兩數異號，即一個是正數，一個是負數； （4）一個是正數，一個是0；（5）一個是負數，一個是0；（6）兩個數都是0. 二、有理數的加法法則 1、有理數的加法法則共有4條： （1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加； （2）異

33、號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； （3）互為相反的兩個數相加得0； （4）一個數與0相加，仍得這個數。 2、用字母表示加法法則： （1）同號兩數相加 若則；若則； （2）異號兩數相加，絕對值不相等時， 若且則 若且則 （3）互為相反的兩個數相加：若且則 （4） 一個數與0相加： 【注意】理解與運用有理數的加法法則應該注意以下幾點： （1）符號相同的兩個數相加的算法，實際上有兩種：兩個正數相加或兩個負數相加。兩個數相加后得一個數，符號不變，絕對值相加，實際上說明了這類題的算法。 （2）絕對值不相等的異號兩數相加時，

34、最后結果是由大的絕對值減去小的絕對值和較大的加數的符號兩部分組成，千萬不要兩個絕對值相加。 （3）互為相反的兩個數相加時，也可以用絕對值不相等的異號兩數相加的法則進行計算。 （4）任何數同0相加仍得任何數，在小學就接觸過，不同的是中學還接觸到負數與0相加，仍得這個負數。 （5）計算時不能只計算絕對值，忘記確定符號。計算時要牢記步驟，不管是同號還是異號兩數相加，一定要先確定符號，再計算絕對值。 （6）不要將“同號兩數相加”和“異號兩數相加”的法則弄混，要熟練掌握法則，準確計算絕對值的加減。 （7）不能認為和一定大于加數：受小學加法的影響，認為和一定大于每個加數，這是錯誤的。要打破小學學

35、習中的思維定式。 三、有理數加法的運算步驟 進行有理數加法運算時，應按以下“一判二定三加減”的步驟： （1）判斷類型，根據類型確定用哪一個法則； （2）根據加數的絕對值的大小及加數的符號確定和的符號； （3） 對絕對值進行加減運算確定數值。 四、有理數加法的運算律 有理數加法運算律 加法交換律 文字語言 兩個數相加，交換加數的位置，和不變。 符號語言 加法結合律 文字語言 三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。 符號語言 五、有理數加法運算律運算技巧 利用有理數的加法運算律，可以使計算簡捷，實際運算常采用下列技巧： （1

36、）互為相反的兩個數可以先相加； （2）幾個數的和為0可先相加； （3）幾個數相加可得整數的可先相加； （4）同分母的分數可先相加； （5）異號且絕對值相近的兩數可先相加； （6）符號相同的數可先相加。 1.3.2有理數的減法 知識點歸納 一、 一、有理數減法的意義 1、 有理數的減法，就是已知兩個有理數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。 2、 有理數的減法與加法互為逆運算。 3、 任意兩個數都可以進行減法運算。 4、 幾個有理數相減，差仍為有理數，差由兩部分構成：（1）性質符號；（2）數字即數的絕對值。 二、有理數的減法法則 內容：減去一個數，等于

37、加上這個數的相反數，即。這里的表示任意有理數。 這樣一來，就把有理數的減法運算轉化為加法運算了，具體步驟是： （1） 將減號變成加號，把減數的相反數變成加數； （2） 按照加法運算的步驟去做。 【注意】 （1） 有理數的減法是有理數加法的逆運算，做減法時常用轉化的思想，把減法轉化成加法計算； （2） 進行減法運算時，首先應弄清減數的符號）（是“+”還是“-”）； （3） 將有理數減法轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一個是把運算符號“-”變?yōu)椤?”；另一個是改變減數的性質符號，變成它的相反數，如： （-5）-（+3）=（-5）+（-3）=-8 （-5）-（-3）=

38、（-5）+（+3）=-2 三、有理數的加減混合運算 對有理數的加減混合運算應作如下理解： （1）因為減法可以轉化為加法運算，于是加減混合運算可以統一為加法運算，用式子表示為：這稱為幾個數的代數和。 （2）代數和中，加號和括號可以省略。 【特別提示】只有把加減法統一成加法后，才能寫成代數和，正數要帶著性質符號（當正數在式子的第一項時可以省略）。 四、有理數加減混合運算的方法和步驟 1、運用有理數的減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法； 2、寫成省略加號和括號的形式； 3、運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡化運算。 【注意】（1）簡化和的形式后，要注意“+”“-”

39、的理解和使用.既可看作運算符號，也可看作數的性質符號. （2）運用加法運算律時，第一。交換加數位置時，要連同它的性質符號一起交換位置，千萬不要把符號漏掉；第二，在應用結合律時，應突出湊整、同分母、同號的特點。 五、運用作差法比較兩個有理數的大小 運用有理數的減法運算律可以比較兩個有理數的大小，這就是“作差法”。要比較兩個有理數與的大小，可先求出與的差。 （1）當時，； （2）當時，； （3）當時，. 以上結論，反過來也成立。 1.4.1有理數的乘法 知識點歸納 一、有理數的乘法法則 1、異號兩數相乘得負數，并把絕對值相乘.

40、 2、任何數與0相乘，都得0. 3、同號兩數相乘得正數，并把絕對值相乘。 【注意】（1）有理數的乘法法則可以簡述為:兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數與0相乘，都得0. （2）不為0的兩數相乘，先確定符號，再把絕對值相乘. （3）當因數中有負號時，必須用括號括起來. （4）數字與字母、字母與字母、數字與括號之間相乘時可省略乘號. （5）有理數的乘法實質是通過符號法則，將有理數的乘法轉化為小學算術乘法來完成. 二、有理數乘法的運算律 有 理 數 乘 法 運 算 律 乘法交換律 文字語言 兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。 符號語言

41、 乘法結合律 文字語言 三個數相乘，先把前兩個因數相乘，然后把結果與第三個數相乘；或者先把后兩個數相乘，再把第一個數與所得的結果相乘，積不變。 符號語言 乘法分配律 文字語言 一個數與來那個個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加。 符號語言 【注意事項】 （1）乘法交換律和乘法結合律，是指因數的位置交換和因數的結合，它們都包含性質符號. （2）用乘法分配律時，要平均分配，不能漏乘，且要注意符號法則的應用. （3）進行乘法運算時，一定要把小數轉化為分數，帶分數轉化為假分數，能約分的要先約分。 （4）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理

42、數相乘，可以任意交換因數的位置，或者把其中的幾個因數相乘.如：一個數同幾個數的和相乘，等于把這個數分別同這幾個數相乘，再把積相加。 （5）利用乘法分配律去掉括號時要注意以下兩個方面： A.括號外面是正數時，去掉括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相同； B.括號外面的因數是負數時，去掉括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反，另外還要特別注意再去括號時，不要漏項。 三、有理數乘法法則的推廣 1、幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時，積為負；當負因數的個數有偶數個時，積為正。 2、幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于

43、0. 【注意事項】 （1）在有理數的乘法中，每一個乘數都叫做一個因數； （2）幾個不等于0的有理數相乘，先根據負因數的個數確定符號，然后把絕對值相乘； （3）幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0.反之，如果積為0，那么至少有一個因數為0. 四、兩個有理數的乘法步驟 1、確定積的符號，根據同號得正，異號得負這一結論。 2、把絕對值相乘，這與小學里的乘法一致。 五、幾個非零有理數的乘法步驟 1、先確定積的符號，積的符號由負因數的個數決定.當負因數由奇數個時，積為負；當負因數的個數由偶數個時，積為正。 2、再把絕對值相乘。 注：進行有理數的乘法運算時，一般來說，把小數

44、化成分數，把帶分數化成假分數進行計算時簡單些。 1.4.2有理數的除法 知識點歸納 一、倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數 【注意事項】 （1）“互為倒數”的兩個數是相互依存的； （2）0和任何數相乘都等于0而不是1，因此0沒有倒數； （3）的倒數是； （4）倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數； （5）互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）。 二、倒數的求法 1、求一個數的倒數，可以直接寫成這個數的幾分之一，即的倒數是 2、求一個分數的倒數，只要將分子、分母交換一下位置即可，即的倒數是 3、求一個帶分數的倒數，應先將帶

45、分數化成假分數再求其倒數 4、求一個小數的倒數，先將小數化成分數，然后再求倒數 5、求一個數的負倒數，先求這個數的倒數，再求倒數的相反數即可。（乘積為-1的兩個數互為負倒數） 三、有理數的除法法則 1、除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數 2、兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除 3、0除以任何一個不等于0的數，都得0 有理數的除法公式 【注意事項】 （1）一般在不能整除的情況下，應用第一個法則，在能整除的情況下應用第二個法則 （2）因為找不到一個與0相乘結果不為0，所以0不能當除數 （3）第二個法則與有理數的乘

46、法法則相似，兩數相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值。 四、有理數的乘除混合運算 有理數的乘除混合運算通常先統一為乘法，變成多個有理數相乘。 1、因為乘法與除法是同一級運算，應按從左到右的順序運算 2、結果的符號由算式中負數的個數決定，負數的個數為偶數個時結果為正；負數的個數是奇數個時結果為負 3、化成后，應先約分再相乘 五、有理數的加減乘除混合運算 有理數的四則混合運算，應遵循有括號先算括號（一般先算小括號，再算中括號，最后算大括號）里面的運算，無括號則應按“先乘除，后加減”的順序計算。 知識點歸納 一、乘方的概念 定義：求n個相同因數的積的運算，叫作乘方，

47、即，記作，讀作的n次方。 【注意】其實乘方運算是求若干相同因數的積的一種簡便運算，這里要注意因數一定要相同。 二、冪的概念 定義：乘方的結果叫作冪。 【注意事項】 （1）乘方與冪不同，乘方是一種運算，冪是乘方運算的一種結果，乘方與冪的關系，就如同乘法與積的關系一樣； （2）只有乘方才有冪，不能單獨出現一個數就叫冪。 三、指數、底數的概念 定義：相同因數的個數叫指數，相同因數叫底數。如在n中，叫底數，n叫指數。 注意：底數一定是相同的因數 四、乘方運算法則 正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。 【注意事項】 （1）有時一個數也可看作它本身的一

48、次方 （2）有理數的乘方是有理數乘法的簡便運算，因此有理數乘方的符號源于有理數乘法的符號法則。 五、有理數的混合運算 1、運算順序： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加減； （2）同級運算，從左到右進行； （3）如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號。大括號依次進行。 （4）通常把六種基本運算分為三級：加減是第一級運算，乘除是第二級運算，乘方和開方是第三級運算。 （5）運算順序的規(guī)定是先做高級運算，再做低級運，同級運算是指加與減（或乘與除）在一起的運算。 【注意事項】 （1）在計算時，應強化順序意識，但該簡便運算時還應簡便運算； （2）要活用運算順序，不能一味強調順

49、序計算。如：同級運算，按從左到右的順序進行；將加減法統一成加法，乘除運算統一成乘法后就不可按這個順序進行，各根據需要運用交換律、結合律靈活選擇運算順序；對于有括號的，則先做括號內的運算，可以用分配律時就可以先去括號而不是先算括號里的等； （3）應注意數的性質符號的變化，不能出錯。 六、-1的n次方 -1的奇次冪為-1，-1的偶次冪為1，用式子表示為（-1）2n =1，（-1）2n+1 =-1.（n為正整數） 【推廣】用字母表示有理數，為正整數，則有： （1）當時，； （2）當時，； （3）當. 1.5.2科學計數法 知識點歸納 一、絕對值大于10的數的科學計數法 1、科學

50、計數法：把一個絕對值大于10的數寫成的形式（其中是整數位只有一位的數，是正整數），這種計數的方法就是科學計數法。 2、用科學計數法計數時應注意： （1）不能改變數的大??； （2）表示成的形式； （3）； （4）負數也可以用科學計數法表示，“-”照寫，其他與正數一樣。 3、一個數寫成的形式時，的整數位只有一位，否則錯誤。 4、把一個數寫成的形式時，若這個數是大于10的數，則比這個數的整數位少1. 二、把科學計數法形式的數轉化為原數 1,、根據10的指數來確定，是幾，就把小數點向右移動幾位。 2、把科學計數法表示的數中的指數加上1，就得到了原數的整數位。 【注意事項】 （1

51、）當把科學計數法形式的數轉化成原數時，可在以上方法中任選一種，便可解決問題。 （2）化繁為簡的思想方法：用科學計數法表示數，易讀、易寫、易記，不易出錯，減少閱讀書寫和記憶的麻煩，這滲透了化繁為簡的思想。 1.5.3近似數 知識點歸納 一、準確數和近似數 1、準確數往往是生活中可以用自然數表示的人數或物體的個數等。 2、在實際問題中有的量不可能或者沒有必要用準確數表示，而用有理數近似地表示出來，這個數就是這個量的近似數（或近似值）。 注：一般地，表示測量出來的數，通常是近似數。 二、有效數字 一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到末尾數字為止，所有的數字都叫做這個數的有效數

52、字。 【提示】 1、有效數字的確定，要注意以下幾點： （1）從左邊第一個非零數字起，為第一個有效數字； （2）到精確的數位上，后面的數字按四舍五入處理； （3）有效數字包括重復數字和0、 2、對于同一個數字取近似值時，有效數字個數越多，精確度越高。 3、特別地，用科學計數法表示的近似數，規(guī)定它的有效數字是中的有效數字。 4、還可根據保留幾位有效數字取近似數。 三、近似數精確度的表示 近似數和準確數的接近程度可以用精確度表示，一個近似數四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位，精確度是精確程度。精確度有兩種形式：一是精確到哪一位，二是保留幾個有效數字。 四、近似數和有效數字的確定方法 1、對一般數字的近似數有兩個原則：一是非零數字都是有效數字；二是前面的“0”都不是有效數字，夾在非零數字中間的“0”和后面的“0”都是有效數字。 2、對用科學計數法表示的數：由中的的確定，的有效數字就是這個近似數的有效數字，與無關。 3、對帶有計數單位的近似數，方法同上，如1.2萬，同有兩個有效數字1、2，而不是5個有效數字1、2、0、0、0。 【注意事項】 （1）有些近似數大小是相同的，但精確度和有效數字不同。 （2）有些近似數表現形式不同，但數值大小、精確程度和有效數字是相同的。