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自動(dòng)控制原理輔導(dǎo)資料六
主 題：時(shí)域分析法的輔導(dǎo)文章——穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差分析
學(xué)習(xí)時(shí)間：2014年11月3日—11月9日
內(nèi) 容：
我們這周主要還是學(xué)習(xí)課件第3章時(shí)域分析法的部分內(nèi)容。希望通過下面的內(nèi)容能使同學(xué)們加深對(duì)時(shí)域分析法的相關(guān)知識(shí)的理解。
一、 穩(wěn)定性（重點(diǎn)掌握內(nèi)容）
1.穩(wěn)定性的基本概念
如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了平衡點(diǎn)，但當(dāng)擾動(dòng)消失后，能回到平衡點(diǎn)，稱這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，就是不穩(wěn)定的。
2．線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件
設(shè)系統(tǒng)原平衡點(diǎn)為。現(xiàn)在加入擾動(dòng)輸入，即。
設(shè)擾動(dòng)輸入引起系統(tǒng)輸出的閉環(huán)傳遞函
2、數(shù)為
（1）
輸出的拉普拉斯變換為
（2）
式中。
對(duì)（2）式進(jìn)行等效變換寫成部分分式和的形式，并取拉普拉斯反變換得
（3）
式中，系數(shù)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。
對(duì)式（3）分析如下：
1) 若特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；
2) 復(fù)數(shù)根對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩的；
3) 實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出為指數(shù)衰減形式；
4) 若特征方程的根中有一個(gè)或一個(gè)以上是正數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；
5) 特征方程中有實(shí)部為零的根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。
3.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充
3、分必要條件
系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部?；蛘f閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于左半平面。
表1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡單例子
4.勞斯判據(jù)
1）系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別
設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為
式中，所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，即。
2）勞斯判據(jù)
若系統(tǒng)特征方程式為
則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是：
a. 要求，且系統(tǒng)特征方程式各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)。
b. 勞斯陣列中第一列系數(shù)均為正數(shù)。
其中，勞斯陣列表中系數(shù)計(jì)算方法為：
，，，…
直至其余項(xiàng)均為零。
，，，…
按此規(guī)律一直計(jì)算到行
4、為止。
說明：
(1).系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行到其余的系數(shù)項(xiàng)全為0止，直到行；系數(shù)的完整陣列為倒三角形；
(2).為了簡化計(jì)算，可用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各元素，并不影響穩(wěn)定性結(jié)論。
5.赫爾維茨判據(jù)
若系統(tǒng)特征方程為:
赫爾維茨判據(jù)認(rèn)為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是的情況下，赫爾維茨行列式對(duì)角線上所有子行列式均大于零。
赫爾維茨行列式根據(jù)特征方程的系數(shù)按下述規(guī)則構(gòu)成：主對(duì)角線上為特征方程式自第2項(xiàng)系數(shù)寫至系數(shù)；在主對(duì)角線以下的各行中各項(xiàng)元素的下標(biāo)依次減少；而在主對(duì)角線以上的各行中各項(xiàng)元素的下標(biāo)依次增加；當(dāng)元素的下標(biāo)大于或小于0時(shí)，行列式中的該項(xiàng)取0。赫爾維茨行列式的階數(shù)是系統(tǒng)特征方程
5、的階數(shù)，如下所示：
二、穩(wěn)態(tài)誤差分析（重點(diǎn)掌握內(nèi)容）
在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，不僅要求系統(tǒng)具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，還應(yīng)具有令人滿意的穩(wěn)態(tài)控制精度。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，它體現(xiàn)了系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，實(shí)際輸出與希望輸出之間的偏差。
1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念
系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下
圖1 圖2
定義在輸入端的誤差
定義在輸出端的誤差
兩種誤差之間存在內(nèi)在聯(lián)系：
對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，即，有，所以可以反映，且便于測量。
誤差時(shí)域表達(dá)式，令時(shí)，得穩(wěn)態(tài)誤差：
2.穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算
若控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為
說明系統(tǒng)有
6、個(gè)積分環(huán)節(jié)串接，有重的極點(diǎn)。因?yàn)橄到y(tǒng)的類型常按其開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目分類，所以稱此系統(tǒng)為型系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，則分別稱之為0型、Ⅰ型、Ⅱ型、…系統(tǒng)。
表2 參考輸入作用下各系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（該表比較重要）
系統(tǒng)
階躍輸入
斜坡輸入
拋物線輸入
0型
Ⅰ型
0
Ⅱ型
0
0
三、典型例題解析
1. 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是系統(tǒng)特征方程式的所有根均在s平面的( )。
A.左半部分 B.右半部分
C.上半部分 D.下半部分
答案：A
2. 應(yīng)用勞斯判據(jù)可以判別( )。
A.系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性
B.系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性
C.求解系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界參數(shù)
D.分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響
答案：ABCD
3. 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅與系統(tǒng)( )的分布有關(guān)。
A.開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) B.開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)
C.閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) D.閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)
答案：C
四、本周需要同學(xué)掌握的重點(diǎn)內(nèi)容為
1. 掌握線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。
2. 會(huì)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
3. 重點(diǎn)掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法。
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大工14秋《自動(dòng)控制原理》輔導(dǎo)資料六
