《曲邊梯形的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、 一、教學(xué)內(nèi)容解析 微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．導(dǎo)數(shù)和定積分都是微積分的核心概念，它們有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用． 二.學(xué)生學(xué)情分析： 本節(jié)課的教學(xué)對象是臨漳一中美術(shù)班的學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較一般，理解能力、運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)交流能力較差． 學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)初步具備的認(rèn)知基礎(chǔ)有如下幾個(gè)方面. （1）在過去的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道“直邊圖形”面積的求法。 （2）學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)前已經(jīng)知道如何對數(shù)列進(jìn)行求和. 學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中將會(huì)面臨兩個(gè)難點(diǎn)：一是如何“以直代曲”，即學(xué)生如何將割圓術(shù)中“以直代曲、無限逼近”的思想靈活地遷移到一般的

2、曲邊梯形上，二是對“極限”和“無限逼近”的理解，即理解為什么將直邊圖形面積和取極限正好是曲邊梯形面積的精確值. 三、教學(xué)目標(biāo)分析 依據(jù)教學(xué)大綱，結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定如下： （1）知識(shí)與技能:從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；掌握求曲邊梯形面積的方法及步驟； （2）情感、態(tài)度與價(jià)值觀:讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，提升學(xué)生的交流合作意識(shí)，體驗(yàn)“有限與無限對應(yīng)統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn). 四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：探究求曲邊梯形面積的方法. 難點(diǎn)：把“以直代曲”的思想方法轉(zhuǎn)化為具體可操作的步驟，理解“無限逼近”思想方法. 五、教具分析 為更好的完成教

3、學(xué)目標(biāo)，利用實(shí)物投影展現(xiàn)學(xué)生研究成果；借助教學(xué)課件形象直觀的展示問題；利用幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示分割變細(xì)過程，感悟無限逼近的極限思想. 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)： 為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，根據(jù)“啟發(fā)性原則”和“循序漸進(jìn)原則”，我把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為“問題引入--尋找方案--實(shí)施方案--解覺問題--提煉本質(zhì)”五個(gè)階段． （-）問題引入，點(diǎn)出課題： 1. 展示圖片，抽象概念 曲邊梯形的概念：如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形． 2.具體化問題： 求與軸及所圍成的平面圖形面積S？ 設(shè)計(jì)意圖：在初等數(shù)

4、學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單圖形的面積，但實(shí)際生活中出現(xiàn)的圖形常是具有不規(guī)則的曲邊，這是定積分要解決的問題，產(chǎn)生學(xué)生的認(rèn)知矛盾，激發(fā)學(xué)生的探究欲望,設(shè)置兩個(gè)問題也符合學(xué)生的認(rèn)知水平，符合從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程. （二）實(shí)施方案： 1.分割： 學(xué)生活動(dòng)：請討論：如何分割？ 展示學(xué)習(xí)小組的部分分割的方案： （1）豎向分割 （2）橫向分割 （3）隨意分割 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的思維是比較發(fā)散的，分割的時(shí)候可能有不同的角度，表揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，通過對比交流，確定容易操作的分割方案，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維意識(shí). 學(xué)生

5、活動(dòng)：請討論：分割多少份合適？ 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生只知道分割，具體分割多少份不知道如何確定，利用劉徽的割圓術(shù)，知道分割的越多，誤差越小，為了便于計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用n控制分割的份數(shù)，把[0,1]分割成n等份. 2.近似代替： 學(xué)生活動(dòng)：以什么樣的直邊圖形近似代替小曲邊梯形？ 展示部分近似代替的方案： （1） （2） （3） 矩形 矩形 梯形 不足 過剩 代替 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生分割后，轉(zhuǎn)化成n個(gè)曲邊梯形，利用直邊圖形

6、代替，不同的小組可能有不同的方案，通過學(xué)生合作交流確定方案，讓學(xué)生感受不同角度思考問題，每一種方案都體現(xiàn)出學(xué)生的智慧，對學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)有很大的促進(jìn)作用. 3.求和： 學(xué)生活動(dòng)：如何用n的式子表示直邊圖形面積的和？ 展示學(xué)習(xí)小組部分計(jì)算結(jié)果： （1）以方案（1）計(jì)算： （2）.以方案（2）計(jì)算 設(shè)計(jì)意圖：通過分割、近似代替兩步以后，肯定要進(jìn)行求和，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的方案計(jì)算出面積和，發(fā)現(xiàn)每一種和結(jié)果的代數(shù)式子不一樣，為后面引入極限做個(gè)鋪墊，讓學(xué)生體現(xiàn)成功的喜悅. 4．取極限 學(xué)生活動(dòng)：請討論：對控制變量n怎樣理解，面積S變化趨勢怎樣？ (1)幾何畫板演示，隨變量n變大

7、，它們的變化趨勢. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在教學(xué)中先分別用形、數(shù)兩種方式體會(huì)無限逼近的過程，再在此基礎(chǔ)上引出取極限的合理性，使學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，實(shí)現(xiàn)從感性到理性的過渡．為以后定積分的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ) 取極限： （1）當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)， 設(shè)計(jì)意圖：以上三種方案得到的面積都是用n表示的表達(dá)式，而曲邊梯形的面積應(yīng)該是一個(gè)常數(shù)，如何確定這個(gè)常數(shù)，學(xué)生已經(jīng)知道分割的份數(shù)越多，誤差就越小，利用前面導(dǎo)數(shù)的概念，可以確定當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是該圖形面積的值，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)無限逼近的思想方法，理解極限的含義. （三）引申探究 學(xué)生活動(dòng)：在求小矩形的面積時(shí)，我們提到了可

8、以取在區(qū)間上任意一點(diǎn)處的值作為小矩形的高，會(huì)有怎樣的結(jié)果？ 展示學(xué)生結(jié)果： 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解定積分的本質(zhì)，進(jìn)一步理解無限逼近、極限的含義，掌握數(shù)學(xué)符號(hào)的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). (四)課堂總結(jié) 學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)交流，談?wù)劚竟?jié)課的收獲？ 1. 求曲邊梯形面積的步驟是：分割--近似代替--求和--取極限； 2. 學(xué)習(xí)到的基本數(shù)學(xué)方法是：以直代曲、無限逼近. 八、課后作業(yè)設(shè)置 1.請用數(shù)學(xué)式子表示1.5-1對應(yīng)的曲邊圖形的面積 2．課本練習(xí)題；（作業(yè)本） 3．課時(shí)訓(xùn)練九——強(qiáng)化練 3．閱讀課本 設(shè)計(jì)意圖：通過不同的作業(yè)，掌握解決具體問題的步驟與方法，交給學(xué)生能操作的知識(shí)與手段，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念，形成能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 九、板書設(shè)計(jì) 曲邊梯形的面積 一、曲邊梯形概念 二、求曲邊梯形面積的步驟 1.分割 2.近似代替 3.求和 4.求極限 三、思想與方法 1.割補(bǔ)法 2.以直代曲 3.無限逼近（極限）