大學(xué)物理第一章 矢量分析

《大學(xué)物理第一章 矢量分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)物理第一章 矢量分析（60頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁

2、波電磁場與電磁波31. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢

3、量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波4矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示zAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波5（1）矢量的加減法）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量

4、分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波6（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）兩矢量的標(biāo)量積也稱為點(diǎn)積兩矢量的標(biāo)量積也稱為點(diǎn)積(本書稱為標(biāo)積本書稱為標(biāo)積)。定義一個矢量在另一矢量上的投影與另一矢定義一個矢量在另一矢量上的投影與另一矢量模的乘積，結(jié)果為標(biāo)量。量模的乘積，結(jié)果為標(biāo)量。AB第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波7（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）寫成行列式形式為寫成行列式形式為 亦稱叉積，結(jié)果仍為一個矢量，用矢量亦稱叉積，結(jié)果仍為一個矢量，用矢量C表示，表示，C的大小的大小為為A和和B

5、組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量A和和B構(gòu)成構(gòu)成的平面且的平面且A、B和和C三者符合右手螺旋法則。三者符合右手螺旋法則。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波8（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波9 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波

6、理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波10第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波11 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyzdxdy

7、dxezdzeydxdydzdydzexdLo第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波12第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波13圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系xyzpddrezdzerdydzdzdzdzedrpdpdpdodL第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波14第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波15 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xyzrderedreddrrsindrsindrsindrd

8、rrddrrsindodL第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波164. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波171.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場標(biāo)量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場：流速場、重力場重力場、電場、磁場等。、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)

9、，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波181.1. 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列

10、取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波19方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波20第第

11、1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波212. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波22梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波

12、電磁場與電磁波23標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波2

13、4 解解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為 例例1.3.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場。試求：場。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ooo60cos45cos60cosz

14、yxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波25表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為對于給定的對于給定的P P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波26而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波271.4 矢量場的通量與散

15、度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場 的方向。的方向。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波282. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大?。咳绾味棵枋鍪噶繄龅拇笮?？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 通量的概念通量的概念 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合

16、曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波29通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的

17、物理意義通量的物理意義第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波30 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的稱為矢量場的散度散度。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量

18、分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波310Fdiv0Fdiv0Fdiv第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波32直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積點(diǎn)的微體積 V 為一直平行六面體，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波33根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散

19、度 表達(dá)式為表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波34圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波354. 散度定理散度定理 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合

20、曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波361.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 1. 矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是

21、閉合的，它對于任量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何何閉合曲面的通量為零閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中。但在場所定義的空間中閉合路徑的積閉合路徑的積分不為零分不為零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波37環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即 例如：流速場。例如：流速場。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波38 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉

22、合曲線所圍曲面的電如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即流成正比，即上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。 特點(diǎn)特點(diǎn)：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波39（2）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度稱為矢量場在點(diǎn)稱為矢量場在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。n 過點(diǎn)過點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲

23、線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0時，極限時，極限n第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波40 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。矢量場的旋度。 矢量場在矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為矢量，其數(shù)值為M M點(diǎn)的環(huán)面密度點(diǎn)的環(huán)面密度的最大值，其方向

24、為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向的最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積元的法線方向即：即：max0|d1limrotCSlFSnF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波41rot (coscoscos ) (rotrotrot)nnyyxzxxyzzFerotFeeeeFeFeF任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點(diǎn)最大環(huán)流面密度的投影：任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點(diǎn)最大環(huán)流面密度的投影：nSCMFnerotF計(jì)算矢量場的旋度計(jì)算矢量場的旋度rot F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場

25、與電磁波42而而 推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計(jì)算計(jì)算 的示意圖的示意圖 rotxF 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式的表達(dá)式rotxFrotyFrotzF4321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzyyyFMFFMzzz)(2zzFMFFMyyy)(3)(1MFFyy)(4MFFzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波43于是于是 同理可得同理可得故得故得物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質(zhì)性質(zhì)：rot FF yyx

26、xzzxyzxyzxyzFFFFFFrot FeeeyzzxxyeeexyzFFF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波44旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式: : 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波45q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的

27、環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波46旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波473. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個

28、變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波484. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波491. 矢量場的源矢量

29、場的源散度源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點(diǎn)的散度；場在該點(diǎn)的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密

30、度等于 （或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波502. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì):梯度的旋度恒為零梯度的旋度恒為零證明：證明：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波510dClF性質(zhì)性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。無旋場無旋場可以用標(biāo)量場的梯度

31、表示為可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場例如：靜電場0EEuF()0Fu 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波52（2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即0 F旋度的性質(zhì)旋度的性質(zhì):任意矢量的旋度的散度恒為零任意矢量的旋度的散度恒為零 由此可知：對于任何一個散度為零的矢量場由此可知：對于任何一個散度為零的矢量場B B，必然可以，必然可以表示為某個矢量場的旋度。即表示為某個矢量場的旋度。即 ： 磁場的散度為零磁場的散度為零，則則磁場強(qiáng)度可磁場強(qiáng)度可表為表為某一矢量的旋度某一矢量的旋度. .性質(zhì)

32、性質(zhì)：0dSSF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波53（3）無旋、無散場無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波541.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1. 拉普拉斯運(yùn)算拉普拉斯運(yùn)算直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系計(jì)算公式計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第第1 1章章 矢量分析矢量分析

33、矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波55概念概念：即即注意注意：對于非直角分量，對于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波562. 格林定理格林定理 設(shè)任意兩個標(biāo)量場設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場 及及 滿足下列等式：滿足下列等式： 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成以上兩式稱為以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第

34、一格林定理。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波57基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟弦虼?，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。場的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用

35、格林定理求解另一種場如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。格林定理廣泛地用于電磁理論。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波58亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理: : 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為表示為 式中：式中： 亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū)亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度

36、、旋度及邊界條件唯一確定。域，矢量場可由其散度、旋度及邊界條件唯一確定。1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波59 在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波60 前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，概括起來包括：概括起來包括：