《直線(xiàn)的傾斜角與斜率》優(yōu)質(zhì)課比賽（說(shuō)課）教案

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1、直線(xiàn)的傾斜角與斜率 課題說(shuō)明：本節(jié)課是新人教A版數(shù)學(xué)必修2的3.1.1節(jié)的內(nèi)容. 內(nèi)容分析：本節(jié)課的主要內(nèi)容有兩個(gè)概念（直線(xiàn)的傾斜角、直線(xiàn)的斜率）及一個(gè)公式（斜率計(jì)算公式）. 直線(xiàn)的傾斜角是反映直線(xiàn)傾斜方向的量，它也是確定直線(xiàn)位置的一個(gè)重要的幾何要素，它實(shí)質(zhì)上能從“形”的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度. 直線(xiàn)的斜率指傾斜角不是的直線(xiàn)，其傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率.教材是從生活中斜坡的坡度遷移到直線(xiàn)的斜率概念的.直線(xiàn)的斜率可看作是比值，實(shí)質(zhì)上是數(shù)值，所以直線(xiàn)的斜率從本質(zhì)上可看成是從“數(shù)”的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度.華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微”.顯然，與傾斜角相比，用斜率

2、刻畫(huà)傾斜程度會(huì)更細(xì)致. 關(guān)于過(guò)已知兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式：因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)是唯一確定的，所以其傾斜程度也就確定（即直線(xiàn)的斜率也是確定的）.從而在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)就有密不可分的聯(lián)系.斜率不僅反映了這種聯(lián)系，并用代數(shù)方法表示了出來(lái)，而且在公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)涵了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想. 學(xué)情分析：本節(jié)課是高中解析幾何部分的起始課，學(xué)生具備的知識(shí)基礎(chǔ)是在直角坐標(biāo)系中會(huì)用坐標(biāo)表示點(diǎn)，明確了坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，不僅能反映出數(shù)學(xué)概念離不開(kāi)生活，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，而且蘊(yùn)涵了幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想，從知識(shí)點(diǎn)及研究方法上，為后繼

3、判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系以及建立直線(xiàn)的方程等內(nèi)容起著關(guān)鍵性的鋪墊作用. 教學(xué)目標(biāo)分析： 1.探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素，感受傾斜角這個(gè)反映傾斜程度的幾何量的形成過(guò)程. 2.通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)學(xué)中直線(xiàn)的斜率，感受數(shù)學(xué)概念來(lái)源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想. 3.充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面，刻畫(huà)直線(xiàn)相對(duì)于x軸傾斜程度的兩個(gè)量這一事實(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想. 4.經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程，初步掌握過(guò)已知兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率計(jì)算公式，滲透幾何問(wèn)題代數(shù)化的解析幾何研究思想. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 重點(diǎn)： 1.感悟并形成傾斜角與斜

4、率兩個(gè)概念； 2.推導(dǎo)并初步掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式； 3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用. 難點(diǎn)：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過(guò)程. 教學(xué)方法：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合.即在多媒體課件支持下，讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過(guò)程，體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過(guò)程，主動(dòng)建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 教學(xué)過(guò)程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 問(wèn)題1：（出示幻燈片）給出的兩點(diǎn)P、Q相同嗎？如何區(qū)分這兩個(gè)點(diǎn)？ 從形的角度看，它們有位置之分，但無(wú)大小與形狀之分. 從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個(gè)點(diǎn)？（用坐標(biāo)區(qū)分） 問(wèn)題2：過(guò)這兩點(diǎn)可作什么圖形？（唯一嗎？）只

5、經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)（如點(diǎn)P）可作多少條直線(xiàn)？若只想定出其中的一條直線(xiàn)，除了再用一點(diǎn)外，還有其他方法嗎？可以增加一個(gè)什么樣的幾何量？（估計(jì)不少學(xué)生能意識(shí)到需要有一個(gè)角） 由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線(xiàn)位置可有兩種方式: （1）已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)； （2）已知直線(xiàn)上一點(diǎn)和直線(xiàn)的傾斜程度. 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納確定直線(xiàn)位置的幾何要素. 問(wèn)題3：角的形成還需一條線(xiàn)，也就是說(shuō)要有刻畫(huà)傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線(xiàn)為基準(zhǔn)形成刻畫(huà)傾斜程度的角？（學(xué)生可能回答x軸或y軸） 以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用x軸. 問(wèn)題4：過(guò)點(diǎn)P與x軸形成45角的直線(xiàn)有幾

6、條？ （學(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果）如何區(qū)分清楚這兩條直線(xiàn)呢？估計(jì)學(xué)生能想到還需要確定方向. 選擇哪個(gè)角來(lái)描述直線(xiàn)的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線(xiàn)都有唯一的角與它對(duì)應(yīng)呢？ （教師引導(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來(lái)描述角，并區(qū)分L1與L2） 數(shù)學(xué)概念來(lái)刻畫(huà)事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述這個(gè)角呢？（揭示課題） 傾斜角的定義：在平面直角坐標(biāo)系下，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí)，軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角，叫做直線(xiàn)的傾斜角. 學(xué)生練習(xí)畫(huà)出過(guò)點(diǎn)P的各種傾斜角的直線(xiàn). 學(xué)生容易忽略與軸平行的直線(xiàn)，補(bǔ)出圖（4），問(wèn)傾斜角在哪兒？ 如何規(guī)定？ 規(guī)

7、定：當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0. 自然有傾斜角的范圍是[0，180）. 這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線(xiàn)都有唯一一個(gè)確定的傾斜角與它對(duì)應(yīng).傾斜程度相同的直線(xiàn)，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線(xiàn)，其傾斜角不相等. 以上定義了一個(gè)從“形”的角度用傾斜角刻畫(huà)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線(xiàn)的傾斜程度. 【設(shè)計(jì)意圖】?jī)A斜角的形成離不開(kāi)“基準(zhǔn)”與“直線(xiàn)方向”的規(guī)定，同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念是自然的以及數(shù)學(xué)定義的統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，從而提示本節(jié)課的課題. 二、鞏固舊知，同化新知 生活中，我們都有過(guò)爬山、爬坡的體驗(yàn)，對(duì)于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來(lái)反映？（坡角與坡度） 初中對(duì)坡度是如何定義的？ （

8、即坡角的正切值）. 當(dāng)坡角增大時(shí)，坡度如何變化？ 當(dāng)坡角=90與0時(shí)，升高量、前進(jìn)量分別是什么？坡度又分別是什么？ 坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線(xiàn)的傾斜角，而坡度則對(duì)應(yīng)于直線(xiàn)的斜率. 斜率：傾斜角不是90的直線(xiàn)，其傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，即. 問(wèn)題5：生活中坡角沒(méi)鈍角，當(dāng)為鈍角時(shí)，直線(xiàn)的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角上） ， . 如：傾斜角，則斜率. 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生會(huì)用轉(zhuǎn)化思想求為鈍角時(shí)的斜率，明確課本腳注的用法. 問(wèn)題6：當(dāng)在[0，180）內(nèi)變化時(shí)，斜率k如何變化？ 【設(shè)計(jì)意圖】更條理、更全面地認(rèn)識(shí)斜率與傾斜角的變

9、化關(guān)系. 問(wèn)題7：傾斜角與斜率都能刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？ 傾斜角能從形的角度刻畫(huà)傾斜程度，而斜率是比值，實(shí)質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些. 【設(shè)計(jì)意圖】突出斜率刻畫(huà)傾斜程度的優(yōu)越性是更細(xì)致入微，使用方便簡(jiǎn)潔. 三、嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí) 兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，可見(jiàn)由兩點(diǎn)也就確定了直線(xiàn)的傾斜程度，即傾斜角與斜率.由此看來(lái)，直線(xiàn)上兩點(diǎn)與直線(xiàn)的斜率有著密不可分的聯(lián)系. 問(wèn)題8：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1x2，能否用P1 、P2的坐標(biāo)來(lái)表示直線(xiàn)斜率k？ 學(xué)生活動(dòng)：隨意在坐標(biāo)系下畫(huà)兩點(diǎn)P1 、P2及直

10、線(xiàn)P1P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析.教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類(lèi)似升高量、前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線(xiàn)段長(zhǎng)，并請(qǐng)學(xué)生敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)果. 解：設(shè)直線(xiàn)P1 P2傾斜角為（90），當(dāng)直線(xiàn)P1P2方向向上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P1作軸的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P2作軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為（x2，y1）. （1）當(dāng)為銳角時(shí)，，，， 在中，. （2）當(dāng)為鈍角時(shí)，（設(shè)=），，， =， 在中，， （可讓學(xué)生分組推導(dǎo)）. 同理，當(dāng)直線(xiàn)P2P1方向向上時(shí)，無(wú)論為銳角或鈍角，也有， 即. 【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生提供充分的自主探索的時(shí)間與空間，克服

11、公式推導(dǎo)中不易把握的兩點(diǎn)（①兩點(diǎn)坐標(biāo)與的聯(lián)系；②圖形分析不全面），培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的思想，促進(jìn)思維的獨(dú)立性、全面性，邏輯性. 思考：①各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與P1、P2這兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？ ②當(dāng)直線(xiàn)垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？ ③斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？ 【設(shè)計(jì)意圖】熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征及適用范圍. 鞏固練習(xí)：求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)直線(xiàn)的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角. （1）A（3,2）,B（-4,1）.（） （2）A（3,2）,B（4,1）.（） （3）A（3,2）,B（3,-1）.（不存在） （4）A（3,2）,B（-4,2）.（） 四、反思小

12、結(jié)，概括提煉 （同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？） 1.明確了確定直線(xiàn)位置的幾何要素. 2.理解了刻畫(huà)傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法），. 3.經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫(huà)斜率的過(guò)程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想. 五、板書(shū)設(shè)計(jì) 直線(xiàn)的傾斜角與斜率 1.傾斜角的定義 范圍[0，180） 2.直線(xiàn)的斜率 （） 為鈍角時(shí)， （學(xué)生展示推導(dǎo)斜率公式的圖形） 六、作業(yè)： ①自學(xué)課本P.85：例1、例2； ②作業(yè)本：P.89：1、2、3. 預(yù)期效果分析： 1.兩個(gè)概念的形成，估計(jì)通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置，學(xué)生能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，而且這樣設(shè)計(jì)之后，概念得出是自然的，不是強(qiáng)加于人的. 2.斜率公式的推導(dǎo)可能存在學(xué)生對(duì)圖形考慮不全面的問(wèn)題，需要教師適當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo). 第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè)