中考數(shù)學(xué)試題分類28 圖形的相似與位似

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1、第28章圖形的相似與位似 一、選擇題 1. （2011浙江金華，9，3分）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 2.（2011安徽，9，4分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90，AB=AD=2，CD=，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若P到BD的距離為 ，則點(diǎn)P的個數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B

2、 3. （2011廣東東莞，31,3分）將左下圖中的箭頭縮小到原來的，得到的圖形是（ ） 【答案】Ａ 4. （2011浙江省，6，3分）如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則S△BCE：S△BDE等于（ ） A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21 【答案】B 5. （2011浙江臺州，5,4分）若兩個相似三角形的面積之比為1:4，則它們的周長之比為（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1

3、:5 D. 1:16 【答案】A 6. （2011浙江省嘉興，7，4分）如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（　?。? （A） （B） （C） （D） （第7題） 【答案】B 7. （2011浙江麗水，9，3分）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 8. （2011臺灣臺北，26）圖(十)為一，其中D、E兩

4、點(diǎn)分別在、上，且＝31，＝29，＝30，＝32。若，則圖中、、、的大小關(guān)系，下列何者正確？ A．＞ B．＝ C．＞ D．＝ 【答案】D 9. （2011甘肅蘭州，13，4分）現(xiàn)給出下列四個命題：①無公共點(diǎn)的兩圓必外離；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面積等于兩條對角線的積；④對角線相等的四邊形是矩形。其中真命題的個數(shù)是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 10．（2011山東聊城，11，3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B

5、′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（ ） A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2） 【答案】D 11. （2011廣東汕頭，31,3分）將左下圖中的箭頭縮小到原來的，得到的圖形是（ ） 【答案】Ａ 12. （2011四川廣安，7，3分）下列命題中，正確的是（ ） A．過一點(diǎn)作已知直線的平行線有一條且只有一條 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．兩條邊及一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 D．位似圖形一定是相似圖形

6、【答案】D 13. （ 2011重慶江津， 8，4分）已知如圖(1)、(2)中各有兩個三角形,其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注,圖(2)中AB、CD交于O點(diǎn),對于各圖中的兩個的兩個三角形而言,下列說法正確的是( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 35 75 75 70 (1) A B C D O 4 3 6 8 (2) 第8題圖 【答案】A 14. (2011重慶綦江，4，4分)若相似△ABC與△DEF的相似比為1 ：3，則△ABC與△D

7、EF的面積比為（ ） A．1 ：3 B．1 ：9 C．3 ：1 D． 1 ： 【答案】：B 15. （2011山東泰安，15 ，3分）如圖，點(diǎn)F是□ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯誤的是 A.= B.= C. = D.= 【答案】C 16. （2011山東濰坊，3，3分）如圖，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位線，下面三個結(jié)論：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面積與△ABC的面積之比為 1 : 4。其中正確的有

8、（ ） A . 0 個 B.1個 C . 2 個 D.3個 【答案】D 17. （2011湖南懷化，6，3分）如圖3所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3， 則CE的值為 A.9 B.6 C.3 D.4 【答案】B 18. （2011江蘇無錫，7，3分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角形．若OA∶OC = OB∶OD，則下 列結(jié)論中一定正確的是

9、 ( ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 A B C D O ① ②⊙o⊙ ③⊙o⊙ ④⊙o⊙ （第7題） 【答案】B 19. （2011廣東肇慶，5，3分）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n 與a、b、c分別交于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，則BF ＝ a b c A B C D E F m n A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5 【答案】B 20．（2011湖南永州，12，3分）下列說

10、法正確的是（ ） A．等腰梯形的對角線互相平分． B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形． C．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等． D．兩邊對應(yīng)成比例且有一個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 【答案】C 21. （2011山東東營，11，3分）如圖，△ABC中，A，B兩個頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1，0)．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（ ） A． B． C． D． B′ A′ 第11題 -1

11、 x 1 O -1 1 y B A C 【答案】D 22. （2011重慶市潼南,5,4分）若△ABC～△DEF，它們的面積比為4：1，則△ABC與△DEF的相似比為 A．2：1 B．1 ：2 　 C．4：1 D．1：4 【答案】A 23. （2011廣東中山，3,3分）將左下圖中的箭頭縮小到原來的，得到的圖形是（ ） 【答案】Ａ 24. （2011湖北荊州，7，3分）如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有 A．1對　　B．2對　　　C．3對　　　　D

12、．4對　 【答案】C 二、填空題 1. （2011廣東廣州市，14，3分）如圖3，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是 ． 圖3 O A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 【答案】 2. （2011四川重慶，12，4分）如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交邊AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若AD：AB＝1：3，則△ADE與△ABC的面積比為 ． 【答

13、案】1：9 3. （2011江蘇蘇州，17,3分）如圖，已知△ABC的面積是的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于__________（結(jié)果保留根號）. 【答案】 三、解答題 1. （2011江西，25，10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下： 設(shè)∠BAC=（0＜＜90）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上. 活動一： 如圖甲所示，從點(diǎn)A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直，A1A2為第1根小棒. 數(shù)學(xué)思考： （1）小棒能無限擺下去嗎？答：

14、 .（填“能”或“不能”） （2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1. ①= 度； ②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）. 活動二： 如圖乙所示，從點(diǎn)A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2= AA1. 數(shù)學(xué)思考： （3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則= ，= ，= ；（用含的式子表示） （4）若只能擺放4根小棒，求的范圍. 【答案】解：（1）能 （2）①22

15、.5 ②方法一： ∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+. 又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5， ∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2= A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2, ∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2. 方法二： ∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+. 又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠

16、A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5， ∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6， ∴，∴a3==(+1)2. an=(+1)n-1. (3) (4)由題意得，∴15＜≤18. 2. （2011江蘇宿遷,28,12分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝1，BC＝，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E． ?。?）求AE的長度； （2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，

17、設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由． （第28題） 【答案】 解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝ ∵BC＝CD，AE＝AD ∴AE＝AC－AD＝． （2）∠EAG＝36，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝ ∴＝ ∴△FAE是黃金三角形 ∴∠F＝36，∠AEF＝72 ∵AE＝AG，F(xiàn)A＝FE ∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA ∴∠EAG＝∠F＝36． 3. （2011廣東汕頭，21，9分）如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與D

18、E重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A 順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）. （1）問：始終與△AGC相似的三角形有 及 ； （2）設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)2的情況說明理由）； （3）問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？ 【解】（1）△HGA及△HAB； （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴，即， 所以， （3）當(dāng)CG＜時，∠GA

19、C=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此時，△AGH不可能是等腰三角形； 當(dāng)CG=時，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形； 此時，GC=，即x= 當(dāng)CG＞時，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，則AC=CG，此時x=9 綜上，當(dāng)x=9或時，△AGH是等腰三角形． 4. （2011湖南懷化，21，10分）如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EF

20、GH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M. (1) 求證： (2) 求這個矩形EFGH的周長. 【答案】 (1) 解：∵四邊形EFGH為矩形 ∴EF∥GH ∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ （2）由（1）得設(shè)HE=x，則HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH的周長為2（12+24）=72cm. 5. （2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=9

21、0，BC=30，AB=50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，求CM的長； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點(diǎn)A、M、E分別與△ENB的頂點(diǎn)E、N、B對應(yīng)），求AP的長． 圖1 圖2 備用圖 【答案】（1）∵∠ACB=90，∴AC===40．

22、∵S==, ∴CP===24． 在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=， ∴． ∴CM===26． （2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=． 在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴． ∴EM===． ∴PM=PN===． ∵AP+PN+NB=50，∴x++y =50． ∴y =(0 < x < 32)． （3） 第三問：由于給出對應(yīng)頂點(diǎn)，那么解法一可以直接運(yùn)用相似和三角比求出對應(yīng)邊長再列比例式求解。本題還可以通過角度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換求解，個人認(rèn)為從角度入手更加簡潔直觀方法如下： ①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時， △AME∽△ENB，．∵EM=EN，∴．設(shè)AP=x，

23、由（2）知EM=，AM==，NB=． ∴ 解得x1=22，x2=0（舍去）． 即AP=22． ②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時， 根據(jù)外角定理，△ACE∽△EPM，∴．∴CE==．設(shè)AP=x，易得BE=，∴CE=30．∴30=．解得x=42．即AP=42． ∴AP的長為22或42． 6. （2011四川綿陽25，14） 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90，D是腰AC上的一個動點(diǎn)，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E,如圖1. (1)若BD是AC的中線，如圖2，求的值； (2)若BD是∠ABC的角平分線，如圖3，求的值； (3)結(jié)合（1)、（2)，請你推斷的值的取值

24、范圍（直接寫出結(jié)論，不必證明），并探究的值能小于嗎？若能，求出滿足條件的D點(diǎn)的位置；若不能，請說明理由. 【答案】(1)設(shè)AD=x,則AB=2x,根據(jù)勾股定理，可得BD=x,∵△ABD∽△CDE, ,可得CE=x,所以= （2）設(shè)AD=x,根據(jù)角平分線定理，可知DC=x，AB=x+x,由 勾股定理可知BD= △ABD∽△CDE，, ∴EC=,=2, (3)由前面兩步的結(jié)論可以看出，,所以這樣的點(diǎn)是存在的，D在AC邊的五等分點(diǎn)和點(diǎn)A之間 7. （2011湖北武漢市，24，10分）（本題滿分10分） （1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且D

25、E∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P．求證：． （2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90，正方形DEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)． ①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長； ②如圖3，求證MN2=DMEN． 【答案】（1）證明：在△ABQ中，由于DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ， ∴DP/BQ＝AP/AQ． 同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ． ∴DP/BQ＝EP/CQ． （2）． （3）證明：∵∠B＋∠C=90，∠CEF＋∠C=90． ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC， ∴△BGD∽△EFC． ∴DG/CF＝BG/EF， ∴DGEF＝CFBG 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CFBG 由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)(EN/CF) ∴MN2＝DMEN 8. （2011河北，20，8分）如圖10，在68網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn). （1）以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1︰2； （2）連接（1）中的AA′,求四邊形AA′C′C的周長.（結(jié)果保留根號） 【答案】（1）如下圖. （2）四邊形AA′C′C的周長=4+6