高中物理 第6章 相對論與天體物理 6.3 廣義相對論初步教案 魯科版選修34

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1、 廣義相對論初步 狹義相對論在慣性系里研究物理規(guī)律，不能處理引力問題。 1915年，愛因斯坦在數(shù)學(xué)家的協(xié)助下，把相對性原理從慣性系推廣到任意參照系，發(fā)表了廣義相對論。由于這個理論過于抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算過于復(fù)雜，這里只做個大概描述。 2．6．1、 非慣性系與慣性力 牛頓運(yùn)動定律在慣性系里才成立，在相對慣性系做加速運(yùn)動的參照系（稱非慣性系）里，會出現(xiàn)什么情況呢？例如，在一列以加速度 做直線運(yùn)動的車廂里，有一個質(zhì)量為m的小球，小球保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運(yùn)動定律。相對于非慣性系的車廂來觀測，小球以加速度-向后運(yùn)動，而小球沒有受到其他物體力的作用，牛頓運(yùn)動定律不再成立。

2、 不過，車廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力，把牛頓運(yùn)動定律寫為。這樣的力不是其他物體的作用，而是由參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力。如果一非慣性系以加速度相對慣性系而運(yùn)動，則在此非慣性里，任一質(zhì)量為m的物體受到一慣性力，把慣性力計(jì)入在內(nèi)，在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律。當(dāng)汽車拐彎做圓周運(yùn)動時，相對于地面出現(xiàn)向心加速度，相對于車廂人感覺向外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應(yīng)是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。 2．6．2、 慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量 根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，力一定時，物體的加速度與質(zhì)量成反比，牛頓定律中的質(zhì)量度量了物體的慣性，稱為慣性質(zhì)量，以為符號，有

3、 根據(jù)萬有引力定律，兩物體（質(zhì)點(diǎn)）間的引力和它們的質(zhì)量乘積成正比。萬有引力定律中的質(zhì)量，類似于庫侖定律中的電荷，稱為引力質(zhì)量，以為符號。 慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量是兩個不同的概念，沒有必然相等的邏輯關(guān)系，它們是否相等，應(yīng)由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。本世紀(jì)初，匈牙利物理學(xué)家厄缶應(yīng)用扭秤證明，只要單位選擇恰當(dāng)，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，實(shí)驗(yàn)精度達(dá)。后來，人們又把兩者相等的實(shí)驗(yàn)精度提高到。 設(shè)一物體在地面上做自由落體運(yùn)動，此物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量分別為和，以代表地球的引力質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有 , 式中G為萬有引力常量，R為地球半徑，g為物體下落的加速度。

4、因?yàn)椋裕c物體的質(zhì)量無關(guān)。這就是伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)論。 既然慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等，就可以簡單地應(yīng)用質(zhì)量一詞，并應(yīng)用相同的單位。質(zhì)量也度量了物質(zhì)的多少。 2．6．3、 廣義相對論的基本原理 愛因斯坦提出廣義相對論，主要依據(jù)就是引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。既然引力質(zhì)量和慣性相等，就無法把加速坐標(biāo)系中的慣性力和引力區(qū)分開來。比如，在地面上，物體以的加速度向下運(yùn)動。這是地球引力作用的結(jié)果。設(shè)想在沒有引力的太空，一個飛船以做直線運(yùn)動（現(xiàn)在可以做到），宇航員感受到慣性力，力的方向與a的方向相反，這時他完全可以認(rèn)為是受到引力的作用。勻加速的參照系與均勻引力場等效，這是愛因斯坦提出的等

5、效原理的特殊形式。因?yàn)橐|(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，所以，在均勻引力場中，不同的物體以相同的加速度運(yùn)動。這也是伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。它可一般敘述為：在引力場中，如無其他力作用，任何質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律都相同。這是等效原理的另一種表述。 由于等效原理，相對于做加速運(yùn)動的參照系來觀測，任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律都是引力作用的結(jié)果，具有相同的規(guī)律形式。愛因斯坦進(jìn)一步假設(shè)，相對任何一種坐標(biāo)系，物理學(xué)的基本規(guī)律都具有相同的形式。這個原理表明，一切參照系都是平等的，所以又稱為廣義協(xié)變性原理。 等效性原理和廣義協(xié)變性原理是廣義相對論的基本原理。 圖 2-6-1 水星 2．6．4、 廣義相對論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

6、 在廣義相對論的基本原理下，應(yīng)建立新的引力理論和運(yùn)動定律，愛因斯坦完成了這個任務(wù)。這樣，牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律成為一定條件下廣義相對論的近似規(guī)律。根據(jù)廣義相對論得出的許多重要結(jié)論，有一些已得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)。下面介紹幾例。 1、日點(diǎn)的進(jìn)動 按照牛頓引力理論，水星繞日作橢圓運(yùn)動，軌道不是嚴(yán)格封閉的，軌道離太陽最近的點(diǎn)（近日點(diǎn)）也在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，稱為水星近日點(diǎn)的進(jìn)動，如圖2-6-1所示。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)觀測的水星軌道長軸的轉(zhuǎn)動速率有差異。牛頓的引力理論不能正確地給予解釋，而廣義相對論的計(jì)算結(jié)果與觀測值符合。愛因斯坦當(dāng)年給朋友寫信說：“方程給出了進(jìn)動的正確數(shù)字，你可以想象我有多高興，有好些天，我高

7、興得不知怎樣才好?！? 2、光線的引力偏折 在沒有引力存在的空間，光沿直線行進(jìn)。在引力作用下，光線不再沿直線傳播。比如，星光經(jīng)過太陽附近時，光線向太陽一側(cè)偏折，如圖2-6-2所示。這已在幾次日蝕測量中得到了證實(shí)，證明廣義相對論的計(jì)算偏折δ 星球 太陽 圖2-6-2 角與觀測值相符合。 3、光譜線的引力紅移 按照廣義相對論，在引力場強(qiáng)的地方，鐘走得慢，在引力場弱的地方，鐘走得快。原子發(fā)光的頻率或波長。可視為鐘的節(jié)奏。引力場存在的地方，原子譜線的波長加大，引力場越強(qiáng)，波長增加的量越大，稱這個效應(yīng)為引力紅移。引力紅移早已為恒星的光譜測量所證實(shí)。20世紀(jì)60年代，由于大大提高了時間

8、測量的精度，即使在地面上幾十米高的地方由引力場強(qiáng)的差別所造成的微小引力紅移，也已經(jīng)精確地測量出來。這再一次肯定了廣義相對論的正確性。 4、引力波的存在 廣義相對論預(yù)言，與電磁波相似，引力場的傳播形成引力波。星體作激烈的加速運(yùn)動時，發(fā)射引力波。引力波也以光的速度傳播。雖然還沒有直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，但后來對雙星系統(tǒng)的觀測，給出了引力波存在的間接證據(jù)。 廣義相對論建立的初期并未引起人們的足夠重視，后來在天體物理中發(fā)現(xiàn)了許多廣義相對論對天體物理的預(yù)言，如脈沖星、致密X射線源、類星體等新奇天象的發(fā)現(xiàn)以及微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)等。這些發(fā)現(xiàn)一方面證實(shí)了廣義相對論的正確性，另一方面也大大促進(jìn)了相對論的進(jìn)一步發(fā)

9、展。 本章典型例題 例1、放射性物質(zhì)的原子放射出兩個沿相反方向運(yùn)動的電子。在實(shí)驗(yàn)室中測出每個電子的速率為0.6c，c是光速。今以一個電子為參照物，另一個電子的速率是多大？（1）用伽利略變換進(jìn)行計(jì)算；（2）用洛侖茲變換進(jìn)行計(jì)算。并指出哪個不合理。 y x 圖2-6-3 解: （1）設(shè)向右運(yùn)動的電子為系，則按伽利略變換，在系中看另一電子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c，這與光速不變的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾，所以是不合理的。 （2）設(shè)實(shí)驗(yàn)室為參照系S，一個電子參照系為，則相對于S系的速度是0.6c，另一個電子相對于S系的速度為-0.6c，按洛侖茲變換，另一個電子相對于系

10、的速度是，則 = = 這就是說，以一個電子為參照物看另一個電子的速度是0.88c＜c，即小于光速，與實(shí)驗(yàn)相符合，是合理的。 例2、有一條河寬為l，其河水流速是v，船相對河水的速度為，且。今有

11、船A和B分別沿圖2-6-4（a）中所示路徑往返一次，求各需要時間多少？哪條船需時長些？ 圖2-6-4 A B v (a) S y v x yˊ (b) 解 本題是經(jīng)典力學(xué)問題，用力伽利略變換處和即可。設(shè)岸的坐標(biāo)系為S，河水的坐標(biāo)系為，如圖2-6-4（b）所示，若船相對岸的速度為u，則對于A船 ， ， . 由伽利略變換知:,則.而 = = 所以A船往返一次所需時間為 對于B船，相對于岸的往返速度分別為和，所以其往反一次所需要的時間為 因?yàn)?，所?按和展為冪級數(shù)的公式有

12、 = = 所以 , 故，即B往返一次的時間比A船往返一次的時間要長。 y S O x v Oˊ xˊ 圖2-6-5 圖2-5 例3、一個中微子在慣性系S中沿+y方向以光速c運(yùn)動，求對S系以速度v沿+x方向運(yùn)動的觀察者所觀測到的中微子的速度和方向怎樣？ 解: 設(shè)運(yùn)動觀察者為系，他所看到的中微子的速度分量為， ，，則按洛侖茲變換 = = （令） = 因此， 即運(yùn)動中的觀測者測得中微子的速度仍是c，中

13、微子的運(yùn)動方向是 即中微子運(yùn)動方向與軸的夾角。 例4、試證明：物體的相對論能量E與相對論動量P的量值之間有如下關(guān)系： 證明：E- pc=(mc)-(mvc) =mc( c- v)=( c- v) = c - v)= mc=E E=pc+ E 讀者可試為之，從E- E入手證明它等于pc。 例5、一個靜止質(zhì)量為m的粒子以速率 v=運(yùn)動，它和一個同類的靜止粒子進(jìn)行完全非彈性碰撞。求： （1）復(fù)合粒子的速率。 （2）復(fù)合粒子的靜止質(zhì)量。 解: 在微觀領(lǐng)域相對論動量守恒、相對論能量守恒。故有

14、 ① ② ③ 將③代入②得： ④ ③與④代入①得： 即復(fù)合粒子的速率為，靜止質(zhì)量為。 例6、求證：在伽利略變換下，質(zhì)點(diǎn)動量定理具有不變性。 證明：在S系中， 兩邊同時作定積分得： 這就是S系中質(zhì)點(diǎn)的動能定理的數(shù)學(xué)公式。在系中 兩邊同時作定積分可得： 這就是系中的質(zhì)點(diǎn)動量定理的數(shù)學(xué)公式。為回避高等數(shù)學(xué)，可設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿x軸正方向，在平行于x軸的恒定的合外力F作用下作勻加速直線運(yùn)動。經(jīng)過時間t，速度從增大到，根據(jù)牛頓第二定律在S系中

15、有 整理得： 這就是S系中的質(zhì)點(diǎn)動量定理。在系中， 即 此即系中的質(zhì)點(diǎn)動量定理。 例7、一個靜止質(zhì)量為M的物體靜止在實(shí)驗(yàn)室中，裂變?yōu)殪o止質(zhì)量為和的兩部分，試求裂變產(chǎn)物的相對論動能和。 解：根據(jù)相對論能量守恒有 化簡得： ① 根據(jù)相對論動量守恒有 ② 但 將 和 代入②式化簡得: ③ 由①、③兩式可解得： ,, 例8、愛因斯坦的“等效原理”指出，

16、在不十分大的空間范圍和時間間隔內(nèi)，慣性系中引力作用下的物理規(guī)律與沒有引力但有適當(dāng)加速度的非慣性系中的物理規(guī)律是相同的?，F(xiàn)在研究以下問題。 （1）試從光量子的觀點(diǎn)出發(fā)，討論在地面附近的重力場中，由地面向離地面的距離為L處的接收器發(fā)射頻率為的激光與接收器接收到的頻率v之間的關(guān)系。 （2）假設(shè)地球物體沒有引力作用，現(xiàn)在一以加速度a沿直線做勻加速運(yùn)動的箱子中做一假想實(shí)驗(yàn)。在箱尾和箱頭處分別安裝一適當(dāng)?shù)募す獍l(fā)射器和激光接收器，兩者間的距離為L，現(xiàn)從發(fā)射器向接收器發(fā)射周期為的激光。試從地面參考系的觀點(diǎn)出發(fā)，求出位于箱頭處的接收器所到的激光周期T。 （3）要使上述兩個問題所得到的結(jié)論是完全等價(jià)的。則問

17、題（2）中的箱子的加速度的大小和方向應(yīng)如何？ 解: （1）對于能量為的光子，其質(zhì)量，在重力場中，當(dāng)該光子從地面到達(dá)接收器時，增加的重力勢能為mgh。由能量守恒得 得 （2）設(shè)t=0時刻，箱子從靜止開始加速，同時，激光光波的某一振動狀態(tài)從發(fā)射器發(fā)出，任何時刻t，發(fā)射器和接收器的位置分別為 所考察的振動狀態(tài)的位置和比該振動狀態(tài)晚一個周期的振動狀態(tài)的位置分別為： x=ct 設(shè)所考察的振動狀態(tài)在時刻到達(dá)接收器，則有 解得 比所考察的振動狀態(tài)晚一個周期發(fā)出的振動狀態(tài)到達(dá)接收器的時刻為，則有 解得

18、 接收器接收到的激光的周期為 T=t-t =( （3） 比較上述兩式得a=g，即“箱子”的加速度a=g方向豎直向上。 例9、考慮不用發(fā)射到繞太陽運(yùn)動的軌道上辦法，要在太陽系建立一個質(zhì)量為m的靜止空間站。這個空間站有一個面向太陽的大反射面（反射系數(shù)為1），來自太陽的輻射功率L產(chǎn)生的輻射壓力使空間站受到一個背離太陽的力，此力與質(zhì)量為的太陽對空間站的萬有引力方向相反，大小相等，因而空間站處于平衡狀態(tài)。忽略行星對該站的作用力，求： （1）此空間站反射面的面積A。 （2）平衡條件和太陽與空間站之間的距離是否有關(guān)？ （3）設(shè)反射面是邊長為d的正方形，空

19、間站的質(zhì)量為千克，確定d之值。已知太陽的輻射功率是瓦。太陽質(zhì)量為千克。 解: （1）設(shè)空間站與太陽的距離為r，則太陽輻射在空間站反射面上單位面積內(nèi)的功率即光強(qiáng)，太陽光對反射面產(chǎn)生的壓強(qiáng)是光子的動量傳遞給反射面的結(jié)果，這一光壓為 于是反射面受到的輻射壓力 太陽對空間站的萬有引力為 式中G為萬有引力常數(shù)，在空間站處于平衡狀態(tài)時,,即 這就得到，反射面的面積 （2）由上面的討論可知，由于輻射壓力和太陽引力都與成反比，因而平衡條件與太陽和空間站的距離r無關(guān)。 （3）若A=。并以題給數(shù)據(jù)代入前式得到 米。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375