高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)的簡單應用學案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)的簡單應用 [考綱傳真]　1.了解函數(shù)y＝AsinF(ωx＋φ)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖像變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． (對應學生用書第45頁) [基礎知識填充] 1．函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意義 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相

2、 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2. 用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示 x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3. 由y＝sin x的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖像 先平移后伸縮　　　　　　　　先伸縮后平移 ?　　　　　　　　　　　　? [知識拓展] 1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換中，應向左平移個單位長度，而非φ個單位長度． 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)

3、的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)利用圖像變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長度一致．(　　) (2)將y＝3sin 2x的圖像左移個單位后所得圖像的解析式是y＝3sin.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像的兩個相鄰對稱軸間的距離為一個周期．(　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(　　) [答案]　(1)　(2

4、)　(3)　(4)√ 2．(20xx四川高考)為了得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點(　　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向上平行移動個單位長度 D．向下平行移動個單位長度 A　[把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點向左平行移動個單位長度就得到函數(shù)y＝sin的圖像．] 3．(20xx山東高考)函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期為(　　) A．　　　 B．　　　 C．π　　　 D．2π C　[y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，T＝＝π. 故選C．] 4．將函數(shù)y＝sin(

5、2x＋φ)的圖像沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則φ的一個可能取值為(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．0　　　　 D．－ B　[把函數(shù)y＝sin(2x＋φ)沿x軸向左平移個單位后得到函數(shù)y＝sin 2＝sin為偶函數(shù)，則φ的一個可能取值是.] 5．(教材改編)電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)變化的函數(shù)關系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的初相、周期分別是________． 【導學號：00090097】 ，　[由初相和周期的定義，得電流I變化的初相是，周期T＝＝.] (對應學生用書第46頁) 函數(shù)y＝Asin(

6、ωx＋φ)的圖像及變換 　(1)(20xx全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結論正確的是(　　) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線 向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線 向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向 右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向 左平移個單位長度，得到曲線C2

7、 D　[因為y＝sin＝cos＝cos，所以曲線C1：y＝cos x上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos. 故選D．] (2)已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. ①畫出函數(shù)f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖； ②將函數(shù)y＝sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？ [解]?、倭斜砣≈担? x π π π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個關鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖

8、． ②先把y＝sin x的圖像向右平移個單位，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f(x)的圖像． [規(guī)律方法]　1.變換法作圖像的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用ωx＋φ＝ω確定平移單位． 2．用“五點法”作圖，關鍵是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，描點得出圖像．如果在限定的區(qū)間內作圖像，還應注意端點的確定． [變式訓練1]　(1)(20xx全國卷Ⅰ)將函數(shù)y＝2sin的圖像向右平移個周期后，所得圖像對應的函數(shù)為(　　) A．y＝2sin B．y＝2si

9、n C．y＝2sin D．y＝2sin (2)(20xx長春模擬)要得到函數(shù)f(x)＝cos的圖像，只需將函數(shù)g(x)＝sin的圖像(　　) 【導學號：00090098】 A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 (1)D　(2)C　[(1)函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖像向右平移個周期即個單位長度，所得圖像對應的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D． (2)f(x)＝cos＝sin， 故把g(x)＝sin的圖像向左平移個單位，即得函數(shù)f(x)＝sin的圖像，即得到

10、函數(shù)f(x)＝cos的圖像，故選C．] 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 　(1)(20xx全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖341所示，則(　　) 圖341 A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖像的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 (1)A　(2)D　[(1)由圖像知

11、＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又圖像的一個最高點坐標為，所以A＝2，且2＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，結合選項可知y＝2sin.故選A． (2)由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值為4，最小值為0，可知b＝2，A＝2.由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，得ω＝4.由直線x＝是其圖像的一條對稱軸，可知4＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2.] [規(guī)律方法]　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法 (1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝； (2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得

12、ω＝； (3)求φ：常用的方法有： ①代入法：把圖像上的一個已知點代入(此時A，ω，b已知)或代入圖像與直線y＝b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)． ②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口．“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)時ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖像的“峰點”)時ωx＋φ＝；“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)時ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖像的“谷點”)時ωx＋φ＝；“第五點”時ωx＋φ＝2π. [變式訓練2]　(20xx石家莊一模)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖像如圖342所示，則f的

13、值為(　　) 圖342 A．－　　　 B．－　　　 C．－　　　 D．－1 D　[由圖像可得A＝，最小正周期T＝4＝π，則ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，則f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故選D．] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像與性質的應用 　(20xx天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tan xsincos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性． 【導學號：00090099】 [解]　(1)f(x)的定義域為. 2分 f(x)＝4tan xcos xc

14、os－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 設A＝，B＝xk∈Z，易知A∩B＝. 所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上是增加的，在上是減少的. 12分 [規(guī)律方法]　討論函數(shù)的單調性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助

15、角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)． [變式訓練3]　設函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin. 3分 因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又ω＞0，所以＝4，因此ω＝1. 5分 (2)由(1)知f(x)＝－sin. 6分 當π≤x≤時，≤2x－≤， 所以－≤si

16、n≤1，則－1≤f(x)≤. 10分 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，－1. 12分 三角函數(shù)模型的簡單應用 　某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)． (1)求實驗室這一天的最大溫差； (2)若要求實驗室溫度不高于11 ℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？ [解]　(1)因為f(t)＝10－2 ＝10－2sin， 2分 又0≤t＜24， 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 4分 當t＝2時，sin＝1； 當t＝14時，sin＝－1. 于是f(t)在[0

17、,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故實驗室這一天最高溫度為12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4 ℃.6分 (2)依題意，當f(t)＞11時實驗室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin＞11， 即sin＜－. 9分 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18. 故在10時至18時實驗室需要降溫. 12分 [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)模型在實際中的應用體現(xiàn)在兩個方面：一是用已知的模型去分析解決實際問題，二是把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題，建立三角函數(shù)模型解決問題，其關鍵是合理建模． 2．建模的方法是認真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程． [變式訓練4]　(20xx陜西高考)如圖343，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　) 圖343 A．5　　　　 B．6　　　　 C．8　　　　 D．10 C　[根據(jù)圖像得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.]