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1、
第2章 2.1.2
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.與點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0)連線的斜率之和為-1的動點(diǎn)P的軌跡方程是( )
A.x2+y2=3 B.x2+2xy=1(x≠±1)
C.y= D.x2+y2=9(x≠0)
解析: 設(shè)P(x,y),∵kPA+kPB=-1,
∴+=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).
答案: B
2.已知兩點(diǎn)M(-2,0)、N(2,0),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn),滿足|·|+·=0,則動點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為( )
A.y2=-8x B.y2
2、=8x
C.y2=4x D.y2=-4x
解析: 由|·|+·,得
4×+(4,0)·(x-2,y-0)=0,
∴y2=-8x.
答案: A
3.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )
A.π B.4π
C.8π D.9π
解析: 設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|得
=2,
整理得x2-4x+y2=0
即(x-2)2+y2=4.
所以點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,
故S=4π.
答案: B
4.已知A(-1,
3、0),B(1,0),且·=0,則動點(diǎn)M的軌跡方程是( )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=1(x≠±1) D.x2+y2=2(x≠±)
- 1 - / 6
解析: 設(shè)動點(diǎn)M(x,y),則=(-1-x,-y),
=(1-x,-y).
由·=0,得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0,
即x2+y2=1.故選A.
答案: A
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.已知點(diǎn)A(0,-1),當(dāng)點(diǎn)B在曲線y=2x2+1上運(yùn)動時,線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是________.
解析: 設(shè)點(diǎn)B(x0,y0)
4、,則y0=2x+1.①
設(shè)線段AB中點(diǎn)為M(x,y),則x=,y=,
即x0=2x,y0=2y+1,代入①式,得
2y+1=2·(2x)2+1.
即y=4x2為線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.
答案: y=4x2
6.已知動圓P與定圓C:(x+2)2+y2=1相外切,又與定直線l:x=1相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是________.
解析: 設(shè)P(x,y),動圓P在直線x=1的左側(cè),
其半徑等于1-x,則|PC|=1-x+1,
即=2-x,
整理得y2=-8x.
答案: y2=-8x
三、解答題(每小題10分,共20分)
7.設(shè)過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸
5、的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若B=2P,且O·A=1.求P點(diǎn)的軌跡方程.
解析: 由B=2P,P(x,y)可得B(0,3y),A,
∴A=.
∵Q與P關(guān)于y軸對稱,
∴Q(-x,y),且=(-x,y).
由O·A=1得x2+3y2=1(x>0,y>0).
8.過點(diǎn)P1(1,5)作一條直線交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)P2(2,7)作直線P1A的垂線,交y軸于點(diǎn)
B,點(diǎn)M在線段AB上,且BM∶MA=1∶2,求動點(diǎn)M的軌跡方程.
解析: 如圖所示,
設(shè)過P2的直線方程為y-7=k(x-2)(k≠0),
6、則過P1的直線方程為y-5=-(x-1),
所以A(5k+1,0),B(0,-2k+7).①
設(shè)M(x,y),則由BM∶MA=1∶2,
得②
消去k,整理得12x+15y-74=0.
故點(diǎn)M的軌跡方程為12x+15y-74=0.③
尖子生題庫☆☆☆
9.(10分)已知圓C:x2+(y-3)2=9,過原點(diǎn)作圓C的弦OP,求OP中點(diǎn)Q的軌跡方程.(分別用直接法、定義法、代入法求解)
解析: 方法一(直接法):
如圖,因?yàn)镼是OP的中點(diǎn),
所以∠OQC=90°.
設(shè)Q(x,y),由題意,得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,
即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9,
所以x2+2=(去掉原點(diǎn)).
方法二(定義法):
如圖所示,因?yàn)镼是OP的中點(diǎn),
所以∠OQC=90°,則Q在以O(shè)C為直徑的圓上,故Q點(diǎn)的軌跡方程為x2+2=(去掉原點(diǎn)).
方法三(代入法):設(shè)P(x1,y1),Q(x,y),
由題意,得,即,
又因?yàn)閤+(y1-3)2=9,
所以4x2+42=9,
即x2+2=(去掉原點(diǎn)).
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