2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第五章 第六節(jié)數(shù)列的綜合問題 文

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1、 第六節(jié)　數(shù)列的綜合問題 在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題. 知識(shí)梳理 一、等差、等比數(shù)列的一些重要結(jié)論 1．等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq. 2．等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq. 3．等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m － S3m，……仍為等差數(shù)列． 4．等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m － S3m，……仍為等比數(shù)列(m為偶數(shù)且公比為－1的情況除外)．

2、 5．兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和、差構(gòu)成的數(shù)列{an＋bn}，{an－bn}仍為等差數(shù)列． 6．兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{anbn}，，仍為等比數(shù)列． 7．等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列． 8．等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列． 9．若{an}為等差數(shù)列，則(c>0)是等比數(shù)列． 10．若{bn}(bn>0)是等比數(shù)列，則{logcbn}(c>0且c≠1)是等差數(shù)列． 二、幾個(gè)數(shù)成等差、等比數(shù)列的設(shè)法 三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a－d，a，a＋d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d

3、. 三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：，a，aq；四個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：，，aq，aq3(因?yàn)槠涔葹閝2>0，對(duì)于公比為負(fù)的情況不能包括)． 三、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列 1．對(duì)于等差數(shù)列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)( 2 / 8 n，an)是位于直線上的若干個(gè)離散的點(diǎn)；當(dāng)d＞0時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列． 若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．當(dāng)p＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)

4、p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題． 2．對(duì)于等比數(shù)列an＝a1qn－1，可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解． 當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列； 當(dāng)a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列； 當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列； 當(dāng)q＜0時(shí)，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列． 四、數(shù)列應(yīng)用的常見模型 1．等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差數(shù)列模型，增加(或減少)的量就是公差 2．等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比數(shù)列模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比． 3

5、．遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an－1的遞推關(guān)系，或前n項(xiàng)和Sn與Sn－1之間的遞推關(guān)系 基礎(chǔ)自測 1．設(shè){an}，{bn}分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)2＞b2　　　 B．a(chǎn)3＜b3 C．a(chǎn)5＞b5 D．a(chǎn)6＞b6 解析：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，由題可得d＝－1，q＝，于是a2＝3＞b2＝2.故選A. 答案：A 2．在等差數(shù)列{an}中，已知前三項(xiàng)和為15，最后三項(xiàng)和為78，所有項(xiàng)和為155，則項(xiàng)數(shù)n＝(

6、　　) A．8 B．10 C．12 D．15 解析：由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝＝＝155，得n＝10. 答案：B 3．(2012湖南師大附中測試)在數(shù)列和中，bn是an與an＋1的等差中項(xiàng)，a1＝2且對(duì)任意n∈N*都有3an＋1－an＝0，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________________________． 答案：bn＝43－n. 4. 一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每

7、3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過________分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)． 解析：依題意可知：a0＝2，a1＝22，a2＝23，…，an＝2n＋1，64MB＝64210＝216KB，令2n＋1＝216，得n＝15.∴開機(jī)后45分鐘該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存． 答案：45 　 　　　　　　　　　　 　　　　　 　　 1．(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________. 解析：因?yàn)閍1，a3是

8、方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1， 所以a1＝1，a3＝4，則公比q＝2， 因此S6＝＝63. 答案：63 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k，并求an； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)當(dāng)n＝k∈N*時(shí)，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝－k2＋k2＝k2，故k＝4，從而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，∴an＝－n. (2)設(shè)bn＝＝，∵Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.

9、1．(2013東北三校第二次聯(lián)考文改編)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－，an＋1＝，n∈N*，則|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝________. 解析：依題意a2＝－2，a3＝1，a4＝－，a5＝－2，…，所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，因?yàn)閨a1|＋|a2|＋|a3|＝，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝33＋|a100|＝＋|a1|＝＝116. 答案：116 2．已知數(shù)列{an}，{bn}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝(n－1)2n＋1. (1)若數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1和公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a

10、n}的通項(xiàng)公式． (2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是否是等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由． (3)求證：<. (1)解析：依題意，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1(n∈N*)， 由a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝(n－1)2n＋1， 可得a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝(n－2)2n－1＋1(n≥2)， 兩式相減，可得anbn＝n2n－1，即an＝n. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，從而對(duì)一切n∈N*，都有an＝n. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n. (2)解析：(法一)設(shè)等差數(shù)列

11、{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d. 由(1)得anbn＝n2n－1，即bn＝(n≥2)． ∴bn＝＝. 要使是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝d≠0，即當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1＝d≠0時(shí)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式是bn＝. 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1≠d時(shí)，數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列． (法二)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d. 由(1)得anbn＝n2n－1，即bn＝(n≥2)． 若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，則 ＝，要使上述比值是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，需且只需a1＝d≠0，即當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1＝d≠0時(shí)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式是bn＝； 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1≠d時(shí)，數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列． (3)證明：由(1)知anbn＝n2n－1， ＝＋＋＋＋…＋， <＋＋＋＋…＋＝＋＋ ≤＋＋＝(n≥3)， 當(dāng)n＝1時(shí)，＝1<；當(dāng)n＝2時(shí)， ＋＝1＋＝<，故<. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！