2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第八章 第六節(jié)空間圖形的垂直關(guān)系 文

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1、 第六節(jié) 空間圖形的垂直關(guān)系 1.認(rèn)識和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. 2.能運(yùn)用定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題. 知識梳理 一、空間圖形的垂直關(guān)系 直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直. 二、直線與直線垂直 定義:兩條直線所成的角為90°,則稱兩直線垂直,包括兩類:相交垂直與異面垂直. 三、直線與平面垂直 1.定義:如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個平面叫做直線的垂面. 2.直線與平面垂直的判定. 類別 語言表述 應(yīng)

2、用 判定 (定義)如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直 證直線和平面垂直 (定理)如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面 證直線和平面垂直 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面 證直線和平面垂直 3.直線與平面垂直的性質(zhì). 類別 語言表述 圖示 字母表示 應(yīng)用 1 / 9 性質(zhì) 如果一條直線和一個平面垂直,那么這條直線和這個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直 ?a⊥b 證兩條直線垂直 如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行 ?a

3、∥b 證兩條直線平行 四、二面角 1.定義:從一條直線AB出發(fā)的兩個半平面(α和β)所組成的圖形叫做二面角.記作二面角αABβ,AB叫做二面角的棱,兩個半平面(α和β)叫做二面角的面. 2.二面角的平面角:在二面角的棱AB上任取一點O,過O分別在二面角的兩個面α,β內(nèi)作與棱垂直的射線OM,ON,我們把∠MON叫做二面角αABβ的平面角,用它來度量二面角的大?。?  平面角是直角的二面角叫做直二面角. 五、兩個平面垂直的判定和性質(zhì) 1.定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直. 2.兩個平面垂直的判定和性質(zhì). 類別 語言表述 圖示 字母表示

4、 應(yīng)用 判定 根據(jù)定義,證明兩平面所成的二面角是直二面角 ∠AOB是二面角αaβ的平面角,且∠AOB=90°,則α⊥β 證兩 個平 面垂直 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直 a?α a⊥β ?α⊥β 性質(zhì) 如果兩個平面垂直,那么它們所成二面角的平面角是直角 α⊥β,∠AOB是二面角αaβ的平面角,則∠AOB=90° 證兩 條直 線垂直 如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 α⊥β α∩β=l a?α a⊥l ?a⊥β 證直

5、線和 平面 垂直 基礎(chǔ)自測 1.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應(yīng)增加的條件是(  ) A.m∥n    B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 解析:已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,應(yīng)增加條件n⊥m,才能使得n⊥β. 答案:B 2.(2013·珠海二模)設(shè)α,β是兩個不同的平面,l是一條直線,以下命題正確的是(  ) A.若l⊥α,α⊥β,則l?β B.若l∥α,α∥β,則l?β C.若l⊥α,α∥β,則l⊥β D.若l∥α,α⊥β

6、,則l⊥β 解析:A選項中,還可能l∥β;B選項中,也可能l∥β;D中,也可能l∥β.故選C. 答案:C 3.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當(dāng)點M滿足________時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可) 解析:∵底面四邊相等,∴BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA. ∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. ∴BD⊥PC. 故當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,有PC⊥平面MBD, 從而有平面PCD⊥平面MBD. 4.設(shè)l,m,n為三條不同的直線,α為

7、一個平面,下列命題中正確的是________. ①若l⊥α,則l與α相交; ②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α; ③若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α; ④若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l∥n. 解析:由于直線與平面垂直是相交的特殊情況,故命題①正確;由于不能確定直線m,n是否相交,不符合線面垂直的判定定理,命題②不正確;根據(jù)平行線的傳遞性,l∥n,故當(dāng)l⊥α?xí)r,一定有n⊥α,命題③正確;m⊥α,n⊥α,則m∥n,又l∥m,即l∥n,命題④正確. 答案:①③④ 1.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.

8、直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則(  ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l 解析:顯然α與β相交,不然由α∥β?m∥n,與m,n為異面矛盾,排除選項A;當(dāng)α與β相交時,設(shè)交線為l′,由m⊥平面α,n⊥平面β知,l′⊥m,l′⊥n,而l⊥m,l⊥n,于是易知l′∥l.故選D. 答案:D 2.(2013·廣東卷)如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點,AD=AE,F(xiàn)是BC的中點,AF與DE交于點G,將△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐

9、A-BCF,其中BC=. (1)證明:DE//平面BCF; (2)證明:CF⊥平面ABF; (3)當(dāng)AD=時,求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG. (1)證明:在等邊三角形ABC中,AD=AE. ∴=,在折疊后的三棱錐ABCF中也成立, ∴DE∥BC,∵DE?平面BCF, BC?平面BCF,∴DE∥平面BCF. (2)證明:在等邊三角形ABC中,F(xiàn)是BC的中點,所以AF⊥BC,① BF=CF=. ∵在三棱錐A-BCF中,BC=,∴BC2=BF2+CF2, ∴CF⊥BF,② ∵BF∩CF=F,∴CF⊥平面ABF. (3)解析:由(1)可知GE∥CF,結(jié)合

10、(2)可得GE⊥平面DFG. ∴VF-DEG=VE-DFG=×·DG·FG·GE=××××=. 1.(2013·惠州一模)已知集合A、B、C,A={直線},B={平面},C=A∪B.若a∈A,b∈B,c∈C,給出下列四個命題: ①?a∥c,②?a∥c,③?a⊥c, ④?a⊥c. 其中所有正確命題的序號是________. 解析:對于①,當(dāng)c表示平面時,根據(jù)a∥b且c∥b,不一定有a∥c成立,可能a?c,故①不正確; 對于②,以正方體過同一個頂點的三條棱為a,b,c,

11、可得a⊥b,c⊥b,但是a,c是相交直線,故②不正確; 對于③,當(dāng)c表示平面時,由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立,故③不正確; 對于④,用與③相同的方法,可證出a⊥c成立,故④正確. 綜上,正確命題的序號為④. 答案:④ 2.(2013·惠州二模)正方體ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E為棱CC1的中點. (1) 求證:B1D1⊥AE; (2) 求證:AC∥平面B1DE; (3) 求三棱錐A-BDE的體積. (1)證明:連接BD,則BD∥B1D1, ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵CE⊥面ABCD,∴CE⊥BD. 又AC∩CE=C,

12、∴BD⊥面ACE. ∵AE?平面ACE,∴BD⊥AE, ∴B1D1⊥AE. (2)證明:連接AF、CF、EF. ∵E、F是CC1、BB1的中點,∴CE綊B1F, ∴四邊形B1FCE是平行四邊形, ∴CF∥B1E,CF?平面B1DE,B1E?平面B1DE, ∴CF∥平面B1DE, ∵E,F(xiàn)是CC1、BB1的中點,∴EF綊BC, 又BC綊AD,∴EF綊AD. ∴四邊形ADEF是平行四邊形,∴AF∥ED, ∵AF?平面B1DE,ED?平面B1DE, ∴AF∥平面B1DE, ∵AF∩CF=F,∴平面ACF∥平面B1DE. 又∵AC?平面ACF,∴AC∥平面B1DE . (3)解析:三棱錐A-BDE的體積,即為三棱錐E-ABD的體積,∴V=××AD·AB·EC=××2×2×1=. 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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